代数结构课件.ppt

为广群 半群是一种特殊的代数系统，它在形式语言、自动机等领域中，都有具体的应用5-3 半半 群群2024/9/2437代数结构定义5-3.2 一个代数系统，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算，如果：（1）运算是封闭的；（2）运算*是可结合的，即对任意的x,y,zS，满足 (x*y)*z=x*(y*z)则称代数系统为半群2024/9/2438代数结构【例5.3.1】设集合Sk={x|xI∧x≥k},k≥0,那么是一个半群，其中+是普通的加法运算解 ： 因为运算+在Sk上是封闭的，而且普通加法运算是可结合的所以， 是一个半群 在例题1中， k≥0这个条件是重要的，否则，如果k<0，则运算+在Sk上将是不封闭的2024/9/2439代数结构【习题5-3.1】对于正整数k，Nk={0,1,2,…,k-1}，设*k是Nk上的一个二元运算，使得a*kb=用k除a·b所得的余数，这里a，b∈Nka)当k=4时，试造出*k的运算表b)对于任意正整数k，证明是一个半群解 a)当k=4时， *k的运算表如下：*k 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 12024/9/2440代数结构b)对于任意的a，b∈Nk ， a*kb= a·b-nk= r，0≤r≤k-1，所以运算*k在Nk上是封闭的。

对于任意的a，b，c∈Nk ，有 (a*kb) *kc=(a·b-n1k) ·c- n2k = r1 0≤r1≤k-1 = a·b·c-k(n1 c+n2) a*k ( b *kc)=a·(b·c -n3k) - n4k = r2 0≤r2≤k-1 = a·b·c-k(n3a+n4)可见r1和r2都是a·b·c用k除所得的余数，所以r1 = r2 所以(a*kb) *kc= a*k ( b *kc)，即*k满足结合律因此，是半群2024/9/2441代数结构【例5.3.2】 设S={a,b,c}，在S上的一个二元运算Δ 定义如表5-3.1所示验证是一个半群Δ a b cabca b ca b ca b c解 从表5-3.1中可知运算Δ是封闭的，同时a,b和c都是左幺元。

所以，对于任意的x,y,zS，都有 xΔ(yΔz)=xΔz=z=yΔz=(xΔy)Δz因此，是半群明显地，代数系统和都不是半群，这里，-和/分别是普通的减法和除法2024/9/2442代数结构【练习】 设*是实数集R上的运算，其定义如下： a*b=a+b+2ab1)求2*3，3*（-5）和7*1/22)是半群吗？*可交换吗？3)求R中关于*的幺元（单位元）4)R中哪些元素有逆元，逆元素是什么？2024/9/2443代数结构解 1) 2*3=17，3*（-5）=-32，7*1/2=14.52)运算*在R上是封闭的 对任意a，b，c∈R，(a*b)*c=(a+b+2ab)*c=a+b+2ab+c+2(a+b+2ab )c =a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abca*(b*c)=a*(b+c+2bc)=a+b+c+2bc+2a(b+c+2bc) =a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abc所以(a*b)*c= a*(b*c)因此是半群。

可交换3)R中关于*的幺元是04)R中除-1/2外所有元素都有逆元，a的逆元素是-a/（1+2a）2024/9/2444代数结构二、子半群二、子半群定理定理5-3.15-3.1 设为一半群, BS且在B上封闭，那么也是一个半群，称为的子半群证明思路：结合律在B上仍成立证明：因为在S上是可结合的，而BS且在B上封闭，所以在B上也是可结合的，因此，也是一个半群例5.3.3】设· 表示普通的乘法运算，那么<[0,1], · >、<[0,1), · >和都是的子半群解 首先，运算· 在R上是封闭的，且是可结合的，所以是一个半群其次，运算· 在[0,1]、[0,1)和I上都是封闭的，且[0,1]R，[0,1）R，IR因此，由定理5-3.1可知<[0,1], · >、<[0,1), · >和都是的子半群2024/9/2445代数结构练习 若是半群，a∈S，M={an|n ∈ N}，证明是的子半群证明 只须证明运算*在M上是封闭的。

任取an ， am ∈ M， an * am =（ an * a）* am -1 = an +1 * am -1 =（ an+1 * a）* am -2 = an +2 * am -2 =…… = an +m ∈ M所以是的子半群2024/9/2446代数结构定定理理5-3.25-3.2 设S,*是半群，S是有限集，则必有aS，使得a*a=a 证明：bS，由*在S上的封闭性知： b2=b*bS b3=b2*bS …2024/9/2447代数结构 因为S是有限集，所以必有i＜j使 bi=bj 令p=j–i，则p=j–i≥1，而j=p＋ i bi=bj=bp+i=bp*bi 于是下式成立： bq=bp*bq q≥i 因为p=j–i≥1，总可以找到k≥1，使得kp≥i 对于S中的元素bkp，就有 bkp=bp*bkp =bp*(bp*bkp) =b2p*bkp =b2p*(bp*bkp) =… =bkp*bkp 令a=bkp，a*a=a2024/9/2448代数结构【习题5-3.1】对于正整数k，Nk={0,1,2,…,k-1}，设*k是Nk上的一个二元运算，使得a*kb=用k除a·b所得的余数，这里a，b∈Nk。

我们已经证明了是一个半群当k=4时， *k的运算表如下：*k 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1找出中的等幂元0和1都是等幂元2024/9/2449代数结构前面已验证是一个半群这里a，b，c都是等幂元例5-3.2】 设S={a,b,c}，在S上的一个二元运算Δ 定义如表5-3.1所示验证是一个半群Δ a b cabca b ca b ca b c2024/9/2450代数结构三、独异点三、独异点三、独异点三、独异点定义定义5-3.3 5-3.3 设代数系统为半群，若含有关于  运算的幺元,则称它为独异点(monoid)，或含幺半群例如，代数系统是一个独异点，因为是一个半群，且0是R中关于运算+的幺元。

另外，代数系统,,都是具有幺元1的半群，因此它们都是独异点代数系统虽是一个半群，但关于运算+不存在幺元，所以，这个代数系统不是独异点2024/9/2451代数结构 有代数系统，其中S ={a，0，1}，运算*由下表定义，证明是独异点a 01aa 0100 0111 01证明 1）运算*是封闭的 2）对于任意x，y∈S，(x*y)*a=x*y x*(y*a)=x*y(x*y)*0=0 x*(y*0)=x*0=0(x*y)*1=1 x*(y*1)=x*1=1所以运算*是可结合的3）a是S中关于运算*的幺元因此是独异点2024/9/2452代数结构定理定理5-3.3 5-3.3 设是一个独异点,则在关于运算 的运算表中任何两行或两列都是不相同的证明: 因S 中关于运算的幺元是e，因为对于任意的元素a,bS，且a≠b时，总有 e  a = a ≠ b= e  b 和 a  e = a ≠ b= b  e 所以，在的运算表中不可能有两行或两列是相同的。

2024/9/2453代数结构【例5.3.4】设I是整数集合，m是任意正整数，Zm是由模m的同余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元运算+m和×m分别如下：对于任意的[i]，[j]Zm [i] +m[j]=[(i+j)(mod m)] [i]×m[j]=[(i×j)(mod m)] 试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都是不相同的 证明：考察代数结构< Zm , +m >和< Zm , ×m > ，只须证明和都是独异点先分三步证明< Zm , +m >是独异点，再利用定理定理5-3.35-3.3的结论： 1）根据运算定义，证明两个运算在Zm上封闭； 2）根据运算定义，证明两个运算满足结合律； 3）根据运算定义，证明[0]是< Zm , +m >的幺元，[1]是< Zm , ×m >的幺元 本例题的实例见 表5-3.2和表5-3.32024/9/2454代数结构(1)由运算+m和×m的定义，可知它们在Zm上都是封闭的2)对于任意[i]，[j]，[k]Zm([i]+m[j])+m[k]=[i]+m([j]+m[k]) =[(i+j+k)(mod m)]([i]×m[j])×m[k]=[i]×m([j]×m[k]) =[(i×j×k)(mod m)]即运算+m和×m都是可结合的。

3)因为[0]+m[i]=[i]+m[0]=[i]，所以，[0]是中的幺元 因为[1]×m[i]=[i]×m[1]=[i]，所以，[1]是中的幺元因此，代数系统， 都是独异点由定理5-3.3可知，这两个运算的运算表中任何两行或两列都不相同2024/9/2455代数结构 上例中，如果给定m=5，那么+5和×6的运算表分别如表5-3.2和表5-3.3所示5[0] [1] [2] [3] [4][0][1][2][3][4][0] [1] [2] [3] [4][1] [2] [3] [4] [0][2] [3] [4] [0] [1][3] [4] [0] [1] [2][4] [0] [1] [2] [3]×6[0] [1] [2] [3] [4][0][1][2][3][4][0] [0] [0] [0] [0][0] [1] [2] [3] [4][0] [2] [4] [1] [3][0] [3] [1] [4] [2][0] [4] [3] [2] [1]表表5-3.2表表5-3.3显然，上述运算表中没有两行或两列是相同的。

2024/9/2456代数结构定理定理5-3.4 5-3.4 设是独异点，a,bG且a, b均有逆元，则 ⑴ (a–1)–1=a ⑵ a*b有逆元，且(a*b)–1=b–1*a–1 证明： ⑴ 因a*a–1=a–1*a =e，故(a–1)–1=a ⑵ 因(a*b)*(b–1* a–1)=(a*(b*b–1)*a–1 =a*e*a–1=a*a–1=e又 (b–1* a–1)*(a*b)=(b–1*a–1)*(a*b) =b–1*(a–1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e故 (a*b)–1=b–1*a–12024/9/2457代数结构一、群一、群定义定义5-4.15-4.1 称代数结构为群(groups),如果（（1 1）） 中运算是封闭的2 2）） 中运算是可结合的。

3 3）） 中有么元e.（（4 4）） 中每一元素x都有逆元x-1例如，，

等都是群5-4 群与子群群与子群2024/9/2458代数结构【例5.4.1】 设R={0°,60°,120°,180°,240°,300°}表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能情况，设★是R上的二元运算，对于R中任意两个元素a和b，a★b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角度并规定旋转360°等于原来的状态，就看作没有经过旋转验证是一个群2024/9/2459代数结构【例5.4.1】解：由题意，R上二元运算★的运算表如表5-4.1所示★060120180240300006012018024030060601201802403000120120180240300060180180240300060120240240300060120180300300060120180240由表5-4.1可见，运算★在R上是封闭的表5-4.12024/9/2460代数结构 对于任意的a,b,cR，(a★b)★c表示将图形依次旋转a,b和c,而a★(b★c)表示将图形依次旋转b,c和a,而总的旋转角度都等于a+b+c(mod 360º)，因此， (a★b)★c=a★(b★c)。

0º是幺元 60º,180º,120º的逆元分别是300º,180º ,240º 因此是一个群2024/9/2461代数结构定义定义5-4.25-4.2 设 为一群若 G为有限集，则称为有限群（finite group）, 此时G的元素个数也称G的阶(order),记为|G|；否则，称 为无限群（infinite group）例题5.4.1中所述的就是一个有限群，且|R|=6例5.4.2】 试验证代数系统是一个群，这里I是所有整数的集合，+是普通加法运算解 明显地，二元运算+在I上是封闭的且是可结合的幺元是0对于任一aA，它的逆元是-a所以是一个群，且是一个无限群2024/9/2462代数结构 代数系统小结代数系统小结代数系统小结代数系统小结封闭封闭广群广群半群半群独异点独异点群群结合结合含幺含幺可逆可逆广广群群半半群群独异点独异点群群2024/9/2463代数结构定理定理5-4.15-4.1 设为群，那么当G ≠{e}时, G无零元。

即群中不可能有零元证明: 因当群的阶为1时，它的唯一元素是视作幺元e 设|G|>1 且群有零元那么群中任何元素x G，都有 x   =   x =  ≠ e，所以，零元就不存在逆元，与是群的假设矛盾 由定理5-2.4可知，群中任何一个元素的逆元必定是唯一的由群中逆元的唯一性，我们可以有以下几个定理2024/9/2464代数结构定理定理5-4.25-4.2 设为群，对于a,bG，，必存在xG ，，使得使得关于x的方程ax＝b，xa＝b都有唯一 证明: 1）先证解存在性 设a的逆元a-1，令 x = a-1  b （构造一个解） ax＝ a （ a-1  b ） ＝（ a  a-1 ）  b ＝ e  b ＝ b 2）再证解唯一性 若另有解x1满足a x1 ＝ b ，则 a-1  （a x1）＝ a-1  b x1 ＝ a-1  b2024/9/2465代数结构 定理定理5-4.35-4.3 设为群，那么，对任意a,b,cG ab = ac 蕴涵 b = c ba = ca 蕴涵 b = c G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立。

证明: 设ab＝ac,且a的逆元a-1，则有 a-1（ a  b ）＝ a-1（ a  c ） e  b ＝ e  c b ＝ c 同理可证第二式2024/9/2466代数结构定义定义5-4.35-4.3 设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换譬如，对于集合S={a,b,c,d}，将a映射到b，b映射到d，c映射到a，d 映射到c是一个从S到S上的一个一对一映射，这个置换可以表示为即上一行中按任何次序写出集合中的全部元素，而在下一行中写每个对应元素的象2024/9/2467代数结构 定理定理5-4.45-4.4 设为群，那么，运算表中的每一行或每一列都是群G的元素的置换 证明: 先证G中每一个元素只出现一次 用反证法：设a对应行有两个元素b1、b2对应的都是c, 即ab1＝ab2＝c,且b1≠b2 由可约性得b1＝b2 与假设矛盾。

再证G中每一个元素必出现一次 对于元素aG的那一行，设b是G中的任意一个元素，由于b=a（a-1b），所以b必定出现在对应于a的那一行 再由运算表中任何两行或两列都是不相同的得出要证的结论对列的证明过程类似 2024/9/2468代数结构定理定理5-4.5 5-4.5 在群中，除幺元e之外，不可能有任何别的等幂元定义定义5-4.45-4.4设为代数系统，如果存在aG，有a  a= a ，则称 a为等幂元 证明: 因为e  e = e ，所以e是等幂元 现设 aG， a≠e 且 a  a= a 则有 a=ea=(a-1a)a =a-1(aa)=a-1a=e 与假设 a≠e 且矛盾 2024/9/2469代数结构二、子群二、子群 定义定义5-4.55-4.5 设为群如果S是G的非空子集 ，如果为一群，则称是的子群(subgroups) 定理定理5-4.65-4.6 设为群，为的子群，那么， 中的幺元e必定也是中的幺元 。

证明: 设中的幺元为e1 ，对于任意一个元素 xSG, 必有 e1  x = x = e  x  e1  (x  x-1 ) =e  ( x x-1 ) 则有 e1 = e 定义定义5-4.65-4.6 设为群，为的子群，如果， S ={e}或S =G，那么称为 的平凡子群2024/9/2470代数结构【例5.4.3】 是一个群，设IE={x|x=2n,nI}，证明< IE,+>是的一个子群2)运算+在IE上保持可结合性3)中的幺元0也在IE中证明 (1)对于任意的x,y IE，不妨设x=2n1,y=2n2,n1,n2I,则 x+y=2n1+2n2=2(n1+n2)而 n1+n2I所以 x+yI即+在IE上封闭 (4)对于任意的xIE，必有n使得x=2n，而 -x=-2n=2(-n)，nI所以-xIE，而x+(-x)=0，因此，< IE,+>是的一个子群。

2024/9/2471代数结构定定理理5-4.7 5-4.7 设G,*>是群，A是G的非空子集，如果A是一个有限集，只要运算*在A上封闭，则是G,*>的子群 证明：G,*是群，则G,*是半群，因为运算*在A上封闭，所以A,*是半群以下证明A中有幺元e且A中每一个元素都有逆元 ⑴ 证明A中有幺元e bA ，因为运算*在A上封闭，所以 b2=b*bA b3=b2*bA … 由于A是有限集，所以必存在正整i和j，不妨设i＜j，使得bi=bj 从而有 bi=bi*bj–i和bi=bj–i*bi 根据群中的消去律得bj–i=e，即bj–i是群G,*的幺元且这个幺元也在G的非空子集A中2024/9/2472代数结构 ⑵ 证明S中每一个元素都有逆元 如果j–i＞1，那么bj–i=b*bj–i–1和bj–i=bj–i–1*b，即bj–i–1是b的逆元，b–1= bj–i–1且bj–i–1A。

如果j–i=1，b=bj–i，那么b是幺元所以b–1= b2024/9/2473代数结构 【例5.4.4】设G4={p=|pi {0,1}}, 是G4上的二元运算，定义为，对任意X=,Y= G4X Y=其中 的运算表如表5-4.2所示证明<{<0,0,0,0>,<1,1,1,1>},  >是群< G4,  >的子群0 01 1 0 10 1 0 10 1 1 0 1 0表表表表 5-4.25-4.22024/9/2474代数结构证明：首先对于任意的X=,Y=,Z= G4。

因为 xi yi {0,1}所以 X  Y G4因为 (xi  yi)  zi=xi  (yi  zi)所以 (X  Y)  Z=X (Y Z)<0,0,0,0>是幺元X  X = <0,0,0,0>，即任一X，以他自身为逆元所以，是一个群其次，由于{<0,0,0,0>,<1,1,1,1>} G4,且{<0,0,0,0>,<1,1,1,1>}在{<0,0,0,0>,<1,1,1,1>} 上是封闭的，由定理5-4.7可知<{<0,0,0,0>,<1,1,1,1>} ,  >是的子群2024/9/2475代数结构 定理定理5-4.85-4.8 设为群,S为G的非空子集,如果对于任意元素a,bS有a△b-1S,那么, 必定是 的子群 分四步证明: 1）先证G中的幺元e也是S中的幺元 对任意元素aSG, e=a △ a-1S的（ 在a△b-1中用a替换b） 且 a△e=e△a=a，即e也是S中的幺元 2）再证S中的每一个元素都有逆元 对任意元素aS中， 因为eS， 所以 e△a-1S ，即a-1S 。

3）最后证明△在S中是封闭的对任意元素 a,bS, b-1S, 而b=(b-1)-1 所以 a△b=a△(b-1)-1S 4） 结合律是保持的 2024/9/2476代数结构【例5.4.5】 设和都是群的子群，试证明也是的子群证明 设任意的a,bH∩K，因为和都是子群，所以b-1H∩K，由于*在H和K中的封闭性，所以a*b-1H∩K，由定理5-4.8即得也是的子群2024/9/2477代数结构一、阿贝尔群（一、阿贝尔群（一、阿贝尔群（一、阿贝尔群（ AbelAbel 群）群）群）群）定义定义 5-5.15-5.1 设 为一群,若  运算满足交换律,则称G为交换群或阿贝尔群(Abel group)阿贝尔群又称加群，常表示为 （这里的 + 不是数加，而泛指可交换二元运算）加群的幺元常用0来表示， 元素x的逆元常用-x来表示。

5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群2024/9/2478代数结构例题1 设S={a,b,c,d}，在S上定义一个双射函数 f : f (a)=b, f (b)=c,f (c)=d,f (d)=a,对于任一xS，构造复合函数 f 2 (x)=f o f (x)=f ( f (x)) f 3 (x)=f o f 2(x)=f ( f 2(x)) f 4 (x)=f o f 3(x)=f ( f 3(x))如果用 f 0表示S上的恒等映射，即 f 0(x)=x xS很明显地有 f 4(x)= f 0(x)，记 f 1=f，构造集合F={ f 0 , f 1 , f 2, f 3 } ，那么是一个阿贝尔群2024/9/2479代数结构解 对于F中任意两个函数的复合，可以由表5-5.1给出of 0 f 1 f 2 f 3f 0f 1f 2f 3f 0 f 1 f 2 f 3f 1 f 2 f 3 f 0f 2 f 3 f 0 f 1f 3 f 0 f 1 f 2可见，复合运算o关于F是封闭的，并且是可结合的。

f 0的逆元就是它本身， f 1和f 3互为逆元， f 2的逆元也是它本身由表5-5.1的对称性，可知复合运算o是可交换的因此是一个阿贝尔群2024/9/2480代数结构再看5-4节例题1【例5.4.1】 设R={0°,60°,120°,180°,240°,300°}表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能情况，设★是R上的二元运算，对于R中任意两个元素a和b，a★b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角度并规定旋转360°等于原来的状态，就看作没有经过旋转已经验证了是群由运算表的对称性知运算★是可交换的，因此是阿贝尔群★0601201802403000060120180240300606012018024030001201201802403000601801802403000601202402403000601201803003000601201802402024/9/2481代数结构【练习5-5.1】设是一个独异点，并且对于G中的每一个x都有x*x=e，其中e是幺元，证明是一个阿贝尔群证明：x*x=e说明G中的每一个元素x都是自身的逆元，所以是一个群。

任取x，y∈G，则x*y∈G因为x*y=（x*y）-1=y-1*x-1=y*x所以是一个阿贝尔群此题的推论：若群中每个元素的逆元都是它自己，则该群必是可交换群2024/9/2482代数结构例题例题2 设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合，矩阵乘法运算ο作为定义在集合G上的二元运算，则是一个不可交换群解 任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个非奇矩阵，所以运算ο是封闭的矩阵乘法运算ο是可结合的N阶单位阵E是G中的幺元任意一个非奇矩阵A存在唯一的逆阵A-1，使 A-1οA=AοA-1=E 但矩阵乘法运算ο是不可交换的，因此是一个不可交换群2024/9/2483代数结构定理定理 5-5.15-5.1 设 为一群, 是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,bG，有（ab）（ab）=（aa）（bb）证明: 1）先证充分性从条件“（ab）（ab）=（aa）（bb）”出发，推出“是阿贝尔群”的结论： 对于元素a,bG，有(ab)(ab)=(aa)(bb)因为 右端=a(ab)b=(aa)(bb)=(ab)(ab)=a(ba)b 即 a(ab)b=a(ba)b 由可约性得，用a-1左上式，再用b-1右上式， (ab)=(ba)2024/9/2484代数结构2）再证必要性 从“是阿贝尔群”的结论出发 ，推出 “(ab)(ab)=(aa)(bb)” 对任意的a, bG，有a*b=b*a，因此， (a*b)*(a*b) =a*(b*a)*b =a*(a*b)*b =(a*a)*(b*b) 即(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)2024/9/2485代数结构二、循环群二、循环群定义定义5-5.25-5.2 设为群，如果在G中存在元素 a ,使 G以{a}为生成集，G的任何元素都可表示为 a 的幂（约定e=a0）,称为循环群(cyclic group)，这时a称为循环群G的生成元（generater）。

例如，60º就是群 <{0º ,60º ,120º ,180º ,240º ,300º}, ★>的生成元，因此，该群是循环群2024/9/2486代数结构定理定理 5-5.25-5.2 设任何一个循环群必定是阿贝尔群 证明思路:循环群是阿贝尔群 设 是一个循环群， a是该群的生成元，则对于任意的x,yG ，必有r,sI，使得 x= ar 和 y = as 而且 xy=aras=ar+s =as+r =asar =yx因此，运算可交换，是阿贝尔群2024/9/2487代数结构 定义定义5-5.3 5-5.3 设为群，aG，如果an= e, 且n为满足此式的最小正整数,则称 a 的阶(order)为n，如果上述n不存在时,则称a有无限阶. 定理定理 5-5.3 5-5.3 设为循环群，aG是该群的生成元，如果G的阶数是n ，即| G |= n ，则an = e,且 G={a1, a2, a3,..., an-2, an-1, an=e}其中， e是群的幺元。

n是使an=e的最小正整数2024/9/2488代数结构证明思路:先证a的阶为n 设对于某个正整数m,m是一个循环群，所以对于G中任意的元素都能写为ak (k I),而且k=mq+r,其中q是某个整数,0≤r是一个循环群α β γ δαβγδ α β γ δ β α δ γ γ δ β α δ γ α β2024/9/2490代数结构解：由运算表5-5.2可知，运算*是封闭的， α是幺元。

β， γ 和 δ的逆元分别是 β， δ 和γ 可以验证运算*是可结合的所以 < G,* >是一个群在这个群中，由于 γ * γ= γ2=β， γ3=δ， γ4=α以及 δ * δ = δ2=β ， δ3=γ， δ4=α故群 < G,* >是有 γ或 δ 生成的，因此< G,* >是一个循环群从例题3中可以看到：一个循环群的生成元可以不是唯一的2024/9/2491代数结构又如整数加群，任取i∈I，若i>0，则i=1+1+…+1=1i（ i个1相加）若i=0，因为0是单位元，由定义，有0=10 ；若i<0，设i=-ji=-j=(-1)+(-1)+…+(-1) =(-1)j=(1-1)j=1-j=1i （ j个-1相加）所以，群的，任何元素都可以写成1的幂，即是循环群，1是循环群的生成元1也是循环群的生成元2024/9/2492代数结构本节里，将讨论群论中一种常见而又重要的群：置换群特别在研究群的同构群时，置换群扮演着极重要的角色在正式讨论置换群以前，需要先作些必要的准备5-6 置换群与伯恩赛德定理置换群与伯恩赛德定理2024/9/2493代数结构复习复习一、非空集合S上的一个双射称为S的一个置换。

二、若集合S的阶为n，则S上的双射有n！个，即S上有n！个不同置换三、等价关系，集合S上的二元关系R满足自反性、对称性、传递性，则称R是S上的一个等价关系自反性：设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，有R，则称R是自反的对称性：设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x，yX，每当R，就有R，则称R是对称的传递性：设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x，y，zX，每当R，R时就有R，则称R是传递的2024/9/2494代数结构四、等价类：设R为集合S上的等价关系，对任何a S ，集合[a]R={x|x S ，aRx}称为元素a形成的R等价类五、定理：集合S上的等价关系R，决定了S的一个划分，该划分就是商集S /R六、商集：集合S上的等价关系R，其等价类的集合{[a]R|a S}称为S关于R的商集，记作S /R 所以集合S上的等价关系R，决定了S的一个划分，该划分的每一块都是一个等价类2024/9/2495代数结构一、置换群一、置换群 对于一个具有n个元素的集合S，将S上所有n!个不同置换所组成的集合记作Sn。

定义定义5-6.15-6.1 设π1, π2Sn，Sn上的二元运算ο和◇ ，使得π1οπ2和π2 ◇ π1都表示对S的元素先应用置换π2接着再应用置换π1所得到的置换二元运算ο和◇分别称为左复合和右复合2024/9/2496代数结构例1 设 S={a,b,c,d}，S4中的两个元素则 π1οπ2=π2◇◇π12024/9/2497代数结构为确定起见，下面只对左复合进行讨论定理定理5-6.15-6.1 是一个群，其中ο是置换的左复合运算证明： 首先证明二元运算ο在Sn上的封闭性对于任意的π1, π2Sn，如果a，b S且a≠b，那么，当π2将a，b分别映照成c，d S时，必定有c ≠ d；同样地，当 将c，d分别映照成e，f S时，必定有e ≠ f，于是， π1οπ2必定将S中任意两个不同元素映照到S中的两个不同元素因此， π1οπ2Sn2024/9/2498代数结构 其次，证明二元运算ο在Sn上的可结合性对于任意的π1, π2 , π3 Sn，如果对于任一x S，有π3 (x)=y, π2 (y)=z , π1 (z)=w，那么，由于π1οπ2(y)= π1(π2(y))= π1(z)=w所以(π1οπ2) οπ3(x )= (π1οπ2) (π3(x ))= (π1οπ2) (y)=w同样地，由于 (π2οπ3) (x )= π2 ( π3 (x ) )= π2 ( y ) =z所以π1ο ( π2οπ3 ) (x )= π1ο ( π2οπ3 (x ))= π1 (z)=w因此 π1ο ( π2οπ3 ) = (π1οπ2) οπ3 如果将S中的每个元素映射到它自身的那个置换，记作πe，那么对于任一πx Sn 都有， πeοπx= πxοπe=πx ，因此， Sn中存在幺元πe ，称它为幺置换。

最后，对于任意的πSn ，必定存在着对应的π-1 Sn ，使得如果π将xS映照到y，那么π-1将y映照到x，因此 ποπ-1= π-1οπ=πe2024/9/2499代数结构置换即是双射，故Sn中的元素满足下列四个性质：(1) (π1)(π2)(π1, π2 Sn π1 ◇π2 Sn π2 ◇π1 Sn)(2) (π1)(π2)(π3)(π1 , π2 , π3 Sn(π1 ◇π2 )◇ π3 =π1 ◇(π2 ◇π3 ))(3) (πe)(πeSn ∧ (π)(πSn πe◇π=π◇πe=π))(4) (π)(πSn (π-1)(π-1 Sn ∧π◇π-1=π-1◇π=πe))(1)表明Sn对于◇是封闭的；(2)表明Sn对于◇是可结合的；(3)表明Sn中有幺置换；(4)表明Sn中每个置换都有反置换 因此，可知是一个群，并称它为对称群若QSn ，则称由Q和◇构成的群为置换群2024/9/24100代数结构定义定义5-6.25-6.2 的任何一个子群，称为集合S上的一个置换群。

特别地，置换群称为集合S的对称群 例题1 设S={1,2,3}，写出S的对称群以及S上的置换群解：S的对称群为S3={πe，π1 ，π2，π3，π4，π5} 其中，πe，π1 ，π2，π3，π4，π5如图5-6.1所示上的复合运算ο如表5-6.1所示2024/9/24101代数结构1 12 23 31 12 23 31 12 23 31 12 23 31 12 23 31 12 23 31 12 23 31 12 23 31 12 23 31 12 23 31 12 23 31 12 23 3○○πe，，π1 ，，π2，，π3，，π4，，π5πeπ1π2π3π4π5πe，，π1 ，，π2，，π3，，π4，，π5π1，，πe ，，π5，，π4，，π3，，π2π2，，π4 ，，πe，，π5，，π1，，π3π3，，π5 ，，π4，，πe，，π2，，π1π4，，π2 ，，π3，，π1，，π5，，πeπ5，，π3 ，，π1，，π2，，πe，，π42024/9/24102代数结构 由定理5-4.6知群的幺元也是其子群的幺元，所以子群中应包含幺置换πe； 又S3是有限集，其子集B也是有限集，由定理5-4.7知只要运算ο在B上封闭， 就是的子群。

< {πe }，ο>是的子群，<{πe ,π1}，ο>, <{πe ,π2}，ο>, <{πe ,π3}，ο>, <{πe ,π4 ,π5}，ο>,都是的子群，即都是S上的置换群2024/9/24103代数结构【练习5-6.2】设p是质数，证明从a种颜色不同的珠子中选取p粒串成手镯，只有同色手镯保持旋转不变证明：由p粒珠子串成的手镯，其珠子的颜色分别记为c1,c2,…,cp 顺时针方向旋转一粒珠子的位置后，若要不变，则必有c2=c1,c3=c2,…,cp=cp-1,c1=cp,即必有c1=c2=c3=…cp，所以，只有用同色珠子串成的手镯才能保持旋转一粒珠子位置后不变由于p是质数，故不可能有k，1独立于集合S中各个元素，但却依赖于集合S中的元素个数这就是说，任何三个其它元素的集合都会生成“同样”的置换，这就是为什么将对称群写成的理由。

此外，把集合S的基数称为对称群的次数因此，是三次六阶群，因为|S3|=3!=62024/9/24105代数结构o一般地说来，由n个元素的集合而构成的所有n!个n阶置换的集合Sn与复合置换运算◇构成群，它便n次n!阶对称群o若说置换是个关系即有序对集合，那么由置换和◇构成置换群，它会确立怎样的二元关系呢？下面就来回答这个问题2024/9/24106代数结构二、伯恩赛德定理二、伯恩赛德定理 定义定义5-6.35-6.3 设是S的一个置换群，称R={|π(a)=b, πG}为由所诱导的S上的二元关系验证是S的一个置换群例2 设 S={a,b,c,d}，G={πe,π1,π2,π3},其中2024/9/24107代数结构 由诱导的S上的二元关系可以由图5-6.2所示2024/9/24108代数结构 定理定理5-6.25-6.2 由置换群所诱导的S上的二元关系是一个等价关系证明：所诱导的S上的二元关系为 R={|π(a)=b, πG}因为幺置换πeG，所以对任一xS，必有R;设R，则必有πG，使得π(a)=b，由于是一个群，所以π-1G，即有R;设R和R ，则必有π1和π2G，使得 π1(a)=b和π2(b)=c，因为π2οπ1G，而π2ο π1(a)=π2 (π1(a) )=π2(b)=c，即有R 。

因此R是S上的一个等价关系2024/9/24109代数结构 一个集合上的等价关系可以确定该集合的一个划分，这个划分中的每一个分块都是一个等价类 给定一个集合S以及S上的一个置换群，由诱导的S上的等价关系R必将产生S的一个划分，我们常常要计算划分中等价类的数目伯恩赛德(Burnside)提出了一种计算等价类数目的方法2024/9/24110代数结构例如，置换作用下的不变元为a,b,c,d, Ψ(πe)=4作用下的不变元为c,d, Ψ(π1)=2先介绍有关置换作用下不变元的概念定义定义5-6.45-6.4 如果一个置换将一个元素映照到它自身，那么这个元素就称为在这个置换作用下的不变元用Ψ(π)表示在置换π作用下的不变元个数2024/9/24111代数结构 定理定理5-6.35-6.3（伯恩赛德定理） 由S的置换群所诱导的等价关系将S划分所得的等价类数目等于证明：首先，对于任一sS，设η(s)表示G中使s不变的置换个数由于 和 都是G中置换作用下的不变元总数，因此2024/9/24112代数结构 其次，设a和b是属于同一等价类的S中的两个元素，则可证明在G中恰存在η(a)个将a映照到b的位置。

设 Xa={πx|πx (a)=a且πxG}显然，| Xa |= η(a)因为a，b在同一等价类中，所以比存在一个置换πtG，使得πt (a)=b构造集合Xt ={πt○πx|πxXa}，那么， Xt中每一个元素都是将元素a映照到元素b的位置对于任意的πi，πj Xa ，如果πt○πi= πt○πj ，必有πt-1○ (πt○πi)= πt-1 ○ (πt○πj)，即 πi= πj ，所以，Xt中的置换都不相同；故有| Xt |= | Xa |= η(a)2024/9/24113代数结构还可以证明，除了Xt中的置换外，在G中不可能有别的置换能将a映照到b了，这是因为：假设另一个置换πyG且 πy   Xt 且πy (a)=b，那么由πt-1 (πy(a))= πt-1 (b)=a可知，πt-1 ○πy Xa，就有 πt ( πt-1 ○πy)  Xt 即 πy Xt 因此，在G中恰有η(a)个置换将a映照到b 最后，设a,b,c,……..,h是S中属于同一等价类的元素，于是在G的每一个置换中，a只能映照到其所属等价类中的某一个元素，因此，我们只能将G中的所有置换分为以下各类：将a映照到a的类；将a映照到b的类；…….；将a映照到h的类。

每一类中恰有η(a)个置换，我们有2024/9/24114代数结构同理可得因此，对于S中的任何一个等价类，我们有由此可得因此，划分S所得的等价类数目为2024/9/24115代数结构例题例题2 在一张卡片上打印一个十进制的5位数，对于小于10000的数，前面用零补足5位如果一个数可以倒转过来读，例如89166，倒转过来读就是99168，就合用一张卡片问共需要多少张卡片才能打印所有的十进制5位数？解 设S是所有十进制5位数的集合根据题意，构造S的一个置换群<{π1 ,π2 }，○>，其中π1是幺置换；π2是这样的一个置换：当一个数倒转过来不可读时，这个置换将该数映照到它自身；例如，将数16764映照成16764；当一个数倒转过来可读时，π 2就将该数映照成倒转过来的数，例如将数89198映照成861682024/9/24116代数结构 因为，仅含有0,1,6,8,9的5位数是倒转可读的共有55个，而其中还有那些以0,1,8居中，第一位数与第五位数互为倒转，第二位数与第四位数互为倒转的5位数，它们倒转过来还是自身（如69869倒转还是69869 ），共有352个所以Ψ(π2)=105- 55 + 352另外Ψ(π1)= 105 。

因此，共需卡片的张数为： （ 105 +105- 55 + 352 ）/2 2024/9/24117代数结构例题例题3 考察从蓝、黄、白三种颜色的珠子中选取5粒串成的手镯，如果将一只手镯经过顺时针旋转而得到另一只手镯看作是没有区别的手镯，并称这两只手镯是旋转等价的，那么，在考虑旋转等价的条件下，不同手镯的数目是多少？解 设S是不考虑旋转等价时所有用5粒珠子串成的手镯的集合，显然 |S|=35=243手镯的旋转方式可以有：不旋转，顺时针旋转1粒珠子、 2粒珠子、 3粒珠子、 4粒珠子旋转5粒珠子看作是没有旋转2024/9/24118代数结构设S1={πe,π1,π2,π3 ,π4}，构造一个代数系统,其中πe是幺置换；π1这个置换是将一只手镯映照为按顺时针旋转1粒珠子而得到的手镯例如：y yy yb bb bwwb by ywwy yb b2024/9/24119代数结构 至于π2,π3 ,π4是这样的一些置换，它们分别将一只手镯映照为按顺时针旋转2、3、4粒珠子而得到的手镯ο 是置换的复合，因为S1对运算ο是封闭的，所以代数系统构成S的置换群。

2024/9/24120代数结构 我们知道，对于任何的手镯，当珠子颜色相同时，任意旋转都是保持不变的当手镯中珠子粒数是质数时，那么，不可能有不同色的手镯保持旋转不变本例中5是质数，所以只有全白、全蓝、全黄这三种手镯是旋转不变的，因此Ψ(π4)=Ψ(π3)=Ψ(π2)=Ψ(π1)=3，另外，Ψ(πe)=243 所以，在考虑旋转等价的条件下，不同手镯的数目应该是 （243+3+3+3+3）/5=512024/9/24121代数结构 利用不同手镯数据的计算结果，可以直接地获得数论中有名的费尔马(Fermat)小定理的一个很有趣的证明对于质数p，考察从a种不同颜色的珠子中选取p粒串成的手镯，在考虑旋转等价的条件下，不同手镯的数目应是由于手镯的数据总是整数，所以p必须整除ap-a，即p必定能或者整除a或者整除ap-1-1，这正是费尔马小定理的结论2024/9/24122代数结构习题5-6.4 用4种不同颜色中的一种或几种来涂一根六节的棍棒，问有多少种不同的涂法？解：设棍棒上第i节涂上ci色，则每一节上可以有4种涂色法，因此，棍棒的所有涂色法共有46种。

然而，只要是c1色与c6色相同，c2色与c5色相同，c3色与c4色相同，那么棍棒倒向后的涂色情况是不会改变的 为此，构造置换群<{π0，π1}，ο>，其中π0是幺置换，它将每一种涂色棍棒的情况c1c2c3c4c5c6仍然映照成c1c2c3c4c5c6的情况，所以在π0作用下的不变元个数为46；而π1是这样一个置换，它将每一种涂色棍棒的情况c1c2c3c4c5c6仍然映照成c6c5c4c3c2c1的情况，所以，在π1作用下的不变元必定是c1=c6，c2=c5，c3=c4，的情况，故在π1作用下的不变元个数为43 因此，由伯恩赛德定理可知，该棍棒不同涂色法的总数应是 （ 46 + 43 ）/2=2080种2024/9/24123代数结构习题5-6.5（a）2×2的棋盘，用白色和黑色涂在每一个方格内，在考虑旋转等价的条件下，试确定每个方格涂上颜色的不同棋盘的数目解 设2×2的棋盘如右图，在第i格中涂Ci色构造置换群<{π0，π1 ，π2 ，π3}，○>，其中πi （0≤i≤3）是将棋盘映照到按顺时针方向旋转i×90o所得到的棋盘π0：不转Ψ(π0 )=24π1：顺时针转90o，只有当C1 = C2 = C3 = C4时为不变元，Ψ(π0 )=2。

π2：顺时针转180o，只有当C1 = C3 ， C2 = C4时为不变元，Ψ(π2 )=22π3：顺时针转270o，只有当C1 = C4 = C3 = C2时为不变元，Ψ(π3 )=2由伯恩赛德定理，不同棋盘的数目为：2024/9/24124代数结构讨论群理论中的又一重要内容：群的任意子群将G分解成H在G中的陪集定义定义5-7.15-7.1 设为群,A,B P (G),且A≠,B≠,记 AB={ ab  aA,bB}和 A-1= { a-1  aA} 分别称为A，B的积和逆5-7 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理2024/9/24125代数结构 定义定义5-7.25-7.2 设为的子群，那么对任一aG，则集合{a}H（或H{a}）称为由a所确定的H在G中的左陪集(left coset)（或右陪集 Right coset),简称为H关于a的左陪集（右陪集），记为aH（或Ha)元素a称为陪集aH（或Ha)的代表元素为确定起见，下面只对左陪集进行讨论。

2024/9/24126代数结构例1 设G=RR，R为实数集，G上的一个二元运算+定义为 +=显然，是一个具有幺元<0，0>的阿贝尔群设 H={|y=2x}容易验证是的子群对于G，H关于的左陪集为H这个例子的几何意义为：G是笛卡尔平面，H是通过原点的直线y=2x，陪集H是通过点且平行于H的直线如图5-7.1所示2024/9/24127代数结构（（（（0 0，，，，0 0））））（（（（x x0 0，，，，y y0 0））））（（（（x x0 0，，，，y y0 0））））HHHHY YX X2024/9/24128代数结构 对于有限群，有下面一个很重要的结论对于有限群，有下面一个很重要的结论 定理定理5-7.1(5-7.1(拉格朗日定理拉格朗日定理) ) 设为的子群，a,bG，那么 （a) R={ |aG,bG且a-1bH }是G中的一个等价关系。

对于aG ，若记 [a]R={x|xG且R}，则 [a]R=aH (b) 设为有限群的子群，|G|=n, |H|=m, 那么H阶的整除G的阶 m|n 2024/9/24129代数结构 证明思路:先证（a） 对于任意aG，必有a-1G，使得aa-1=eH，所以R关系R是自反的 若R则ab-1H，因为H是G的子群，故 (a-1b)-1 = b-1aH 所以，R关系R是对称的 若R,R则a-1bH,b-1cH，所以a-1bb-1c=a-1cH， R,关系R是传递的证明了关系R是对称的是等价关系 对于aG,有b[a]R当且仅当R,即当且仅当a-1bH,而a-1bH就是baH因此[a]R=aH 2024/9/24130代数结构再证(b) 由于R是G中的一个等价关系，所以必定将G划分成不同的等价类[a1]R，[a2]R，...，[ak]R，使得 又因为H中任意两个不同的元素h1,h2,aG，必有ah1≠ah2，所以|aiH|=m, i=1,2,…,k。

因此 所以H阶的整除G的阶 m|n 2024/9/24131代数结构 根据拉格朗日定理，可直接得到以下几个推论根据拉格朗日定理，可直接得到以下几个推论 推论推论1 1 任何质数阶的群不可能有非平凡子群 这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的阶必定是原来群的阶的一个因子，这就与原来群的阶是质数相矛盾2024/9/24132代数结构 推论推论2 2 设为n阶有限群，那么对于对于任意aG,a的阶必是n的因子且必有an=e,这里e是群的幺元如果n为质数，则必是循环群这是因为，由G中的任意元素a生成的循环群 H={ai|iI,aG}一定是G的一个子群如果H的阶是m，那么由定理5-5.3可知am=e，即a的阶等于m由拉格朗日定理必有n=mk,kN，因此，a的阶m是n的因子，且有 an=amk=(am)k=ek=e因为质数阶群只有平凡子群，所以，质数阶群必定是循环群2024/9/24133代数结构例题1 设K={e,a,b,c}，在K上定义二元运算*如表5-7.1所示。

证明是一个群，但不是循环群 证明 由表5-7.1可知，运算*是封闭的和可结合的幺元是e，每个元素的逆元是自身，所以，是群因为a,b,c都是二阶元，故不是循环群我们称为Klein四元群e a b ceabce a b ca e c bb c e ac b a e2024/9/24134代数结构例如，S={1，2，3，4}，置换群就是一个Klein四元群2024/9/24135代数结构例题2 任何一个四阶群只可能是四阶循环群或者是Klein四元群证明 设四阶群为<{e,a,b,c},*>其中e是幺元当四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群 当四阶群不含有四阶元素时，则由推论2可知，除幺元e外，a,b,c的阶一定都是2a*b不可能等于a,b或e，否则将导致b=e,a=e或a=b的矛盾，所以a*b=c。

同样地有b*a=c以及a*c=c*a=b,b*c=c*b=a因此，这个群就是Klein四元群2024/9/24136代数结构这一节，我们将讨论两个代数系统之间的联系着重研究两个代数系统之间的同态关系和同构关系一、同态1.同态映射、同态象 定义定义5-8.1 5-8.1 设和是两个代数系统，★和分别是A和B上的二元运算，f是从A到B的一个映射，使得对任意a1,a2A，有 f(a1★a2)=f(a1)  f(a2) （先算后映=先映后算） 则称f为由代数结构到的同态映射（homomorphism），称代数结构同态于，记为A~B 称为的一个同态象（image under homomorphism）其中 f(A)={x|x= f(a),a  A}  B5-8 同态与同构同态与同构2024/9/24137代数结构两个代数系统在同态意义下的相互联系可以由图5-8.1来描述图图5-8.1 同态映射示意图同态映射示意图 a★★cb★★cacb，， f(a)=f(b) f(c)f(A)f(a)   f(c) =f(b)   f(c)先算后映先算后映=先映后算先映后算f f2024/9/24138代数结构2.举例☉ 正 负 零正负零正 负 零负 正 零零 零 零例1 考察代数系统，这里I是整数集，· 是普通乘法运算。

如果我们对运算结果只感兴趣于正、负、零之间的特征区别，那么，代数系统中运算结果的特征就可以用另一个代数系统的运算结果来描述，其中B={正，负，零}，☉ 是定义在B上的二元运算，如下表5-8.1所示2024/9/24139代数结构很显然，对于任意的a,b I，有 f(a·b)=f(a) ☉ f(b)因此，映射f是由到的一个同态作映射f：I→B如下：正 若n>0负 若n<0零 若n=0f(n)=2024/9/24140代数结构例1告诉我们，在中研究运算结果的正、负、零的特征就等于在中的运算特征，可以说，代数系统描述了中运算结果的这些基本特征而这正是研究两个代数系统之间是否存在同态的重要意义 应该指出，由一个代数系统到另一个代数系统可能存在着多于一个的同态2024/9/24141代数结构证明 已知gοf是由到的映射，对任意a1，a2∈A ，有f(a1★a2)=f(a1)*f(a2)gοf(a1★a2)= g( f(a1)*f(a2)) = g( f(a1)) △ g( f(a2)) = gοf(a1) △ gοf(a2)所以gοf是由到的同态映射。

习题5-8.1 证明：如果f是由到的同态映射，g是由到的同态映射，那么gοf是由到的同态映射2024/9/24142代数结构二、同构二、同构二、同构二、同构1.定义2.举例定义定义5-8.25-8.2 设f是由到的一个同态，如果f是从A到B的一个满射，则f称为满同态；如果 f 是从 A 到 B 的一个入射，则 f 称为单一同态；如果 f 是从 A 到 B 的一个双射，则 f 称为同构映射，并称和是同构的，记作 例2 设f：R→R定义为对任意xR f(x)=5x那么，f是从到的一个单一同态2024/9/24143代数结构例3 设f：N→Nk定义为对任意的xN f(x)=x mod k那么，f是从到< Nk，+k >的一个满同态例4 设H={x|x=dn，d是某一个正整数，nI}，定义映射f：I→H为对任意nI f(n)=dn那么，f是从到< H，+ >的一个同构。

2024/9/24144代数结构例题1 设A={a,b,c,d}，在A上定义一个二元运算如表5-8.2所示又设B={α, β, γ, δ}，在B上定义一个二元运算如表5-8.3所示证明和是同构的αβγδααβγδββααγγβδδγδαβγδ★abcdaabcdbbaaccbddcdabcd表5-8.2表5-8.32024/9/24145代数结构证明 考察映射f，使得f(a)= α f(b)= βf(c)= γ f(d)= δ显然，f是一个从A到B的双射，由表5-8.2和表5-8.3容易验证f是由到的一个同态因此，和是同构的如果考察映射g，使得g(a)= α g(b)= γg(c)= β g(d)= δ那么，g也是由到的一个同构例题1 告诉我们，当两个代表系统是同构的话，他们之间的同构映射可以是不唯一的2024/9/24146代数结构例5 表5-8.4中的代数系统，和都是与代数系统同构的★a baba b b a ⊙偶 奇偶奇偶 奇奇 偶 *0° 180 °0°180 ° 0° 180 ° 180 ° 0°2024/9/24147代数结构3.自同态、自同构 同构这个概念很重要。

从上例中可以看到，形式上不同的代数系统，如果它们是同构的话，那么，就可抽象地把它们看作是本质上相同的代数系统，所不同的只是所用的符号不同并且，容易看出同构的逆仍是一个同构定义定义5-8.35-8.3 设是一个代数系统，如果f是由到的同态，则称f为自同态如果g是由到的同构，则称g为自同构2024/9/24148代数结构练习5-8.2 设是一个群，而a∈G，如果f是从G到G的映射，使得对每一个x ∈ G，都有 f(x)=a*x*a-1 试证明f是从G到G上的自同构即要证明f是G上的一个双射，且对任意x，y∈G有 f(x*y)=f(x)*f(y)）证明 ①任取x，y∈G， x≠y f(x)=a*x*a-1 f(y)=a*y*a-1若f(x)=f(y)，则有x=y，与x≠y矛盾所以是入射②任取y∈G，有 x=a-1*y*a ∈G，使得f(x)=a*x*a-1 = a *(a-1*y*a )* a-1 = y所以是满射因此是G上的一个双射③对于任意x，y∈G有 f(x*y)=a*(x*y)*a-1 =a*x*a-1*a*y*a-1 = f(x)*f(y)所以f是从G到G上的自同构。

2024/9/24149代数结构定理定理5-8.15-8.1 设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是等价关系证明 自反性 因为任何一个代数系统可以通过恒等映射与他自身同构，即自反性成立对称性 设 且有对应的同构映射f，因为f的逆是由到 的同构映射，即 传递性 如果f是由 到 的同构映射，g是由到的同构映射，那么g○f 就是 到 的同构映射因此，同构关系是等价关系2024/9/24150代数结构  证明思路:先证（a）： < f(A), >是半群是半群 . 证运算在f(A)上封闭 设是半群，是半群， 是一个代数系统，如果f是由到的一个同态则f(A) B对于任意的a，bf(A) ，必有x,yA ，使得 f(x)=a , f(y)=b 定理5-8.2 设f是由到的一个同态。

a）如果是半群，那么在f作用下，同态象< f(A), >也是半群b）如果是独异点，那么在f作用下，同态象< f(A), >也是独异点c）如果是群，那么在f作用下，同态象< f (A), >也是群2024/9/24151代数结构在A中必有z=x★y,所以 ab=f(x)f(y)=f(x★y)=f(z)f(A) .证在f(A)上满足结合律 对于任意的a,b,cf(A),必有x,y,zA,使得 f(x)=a , f(y)=b , f(z)=c 因★为在A上是可结合的，所以 a(bc)=f(x)(f(y)f(z))= f(x) f(y★z) = f(x★(y★z)) = f((x★y)★z) = f(x★y) f(z) =(f(x)f(y))f(z) = (ab)c 证明了< f(A), > 是半群 2024/9/24152代数结构 再证（b）： < f(A), >是独异点 设是独异点,e是A中的幺元,那么f(e)是f(A)中的幺元。

因对于任意的af(A),必有xA,使得 f(x)=a 所以 af(e)=f(x)f(e)=f(x★e)=f(x)=a = f(e★x)=f(e)f(x)=f(e)a 因此f(e)是< f(A), >中的幺元， < f(A), >是独异点2024/9/24153代数结构 最后证（c）： < f(A), >是群 设是群,对于任意的af(A),必有xA,使得 f(x)=a 因为 是群, 所以对于任意的xA,都有逆元x-1A，且f(x-1)f(A),而 f(x)f(x-1)=f(x★x-1)=f(e)=f(x-1★x) = f(x-1)f(x) 所以， f(x-1)是f(x)的逆元即 f(x-1) =[ f(x)] -1 因此< f(A), >中的任意元素都有逆元, < f(A), >是群。

综合上述(a)、(b)、(c)三步，定理证毕  2024/9/24154代数结构练习5-8.3 试证由表5-8.9所给出的两个群和是同构的★p1p2p3 p4p1p2p1p4 p3p2p3p4p1 p2p3P1p2p3 p4p4p4p3p2 p1*q1q2q3 q4q1q3q4q1 q2q2q4q3q2 q1q3q1q2q3 q4q4q2q1q4 q32024/9/24155代数结构证明的幺元为p1， 的幺元为q3，作映射f： p1 → q3 p2 → q2 p3 → q1 p4 → q4则是双射而f( p1 ★ p1 )= f( p1 )= q3 = q3 * q3 = f( p1 )* f( p1 ) f( p1 ★ p2 )= f( p2 )= q2 = q3 * q2 = f( p1 )* f( p2 ) f( p1 ★ p3 )= f( p3 )= q1 = q3 * q1 = f( p1 )* f( p3 ) f( p1 ★ p4 )= f( p4 )= q4 = q3 * q4 = f( p1 )* f( p4 )2024/9/24156代数结构 f( p2 ★ p2 )= f( p1 )= q3 = q2 * q2 = f( p2 )* f( p2 ) f( p2 ★ p3 )= f( p4 )= q4 = q2 * q1 = f( p2 )* f( p3 ) f( p2 ★ p4 )= f( p3 )= q1 = q2 * q4 = f( p2 )* f( p4 )f( p3 ★ p3 )= f( p1 )= q3 = q1 * q1 = f( p3 )* f( p3 )f( p3 ★ p4 )= f( p2 )= q2= q1 * q4 = f( p3 )* f( p4 )f( p4 ★ p4 )= f( p1 )= q3 = q4 * q4 = f( p4 )* f( p4 )因为两个群都是可交换群，所以再验证下面几个等式即可。

所以群和是同构的2024/9/24157代数结构4.同态核同态核 定义定义5-8.45-8.4 如果f为代数系统到的一个同态映射， G’中有幺元e’，那么称下列集合为 f 的同态核（kernel of homomorphism），记为K( f ) K( f )={x  xG∧ f (x)＝e’}2024/9/24158代数结构 定理定理5-8.35-8.3 设f为群到群的同态映射， 那么 f的同态核是的子群 证明思路:先证★运算在K上封闭 由定理5-8.2可知e’=f(e),设k1,k2K,则 f(k1★k2)= f(k1)f(k2)= e’ e’= e’ 故k1★k2K，★运算在K上封闭 再证K中的元素有逆元 而对任意的kK, f(k-1)= [f(k)] -1= e’-1 = e’ 故k-1K。

结论得证 2024/9/24159代数结构练习5-8.5 是实数集上的加法群，设f：x→e2πix，x ∈ R f是同态否？如果是，请写出同态象和同态核解解 任取x，y∈R ， f(x)=e2πix， f(y)=e2πiy， f(x+y)=e2πi(x+y) = e2πix ●e2πiy = f(x) ● f(y)所以f是到的同态 f的同态象是= <{cos2πx+isin2πx| x∈R }， ● >，由定理5-8.2知是一个群 e2πix =cos2πx+isin2πx是复数，这里是复数集上的乘法群 群的幺元是1，即cos2πx=1，sin2πx=0的情况，也就是2πx=2kπ（k=……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……）的情况，即x=……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……因此的f同态核为整数集I2024/9/24160代数结构5.同态与同余关系的对应 定义定义5-8.5 5-8.5 设R为代数系统的载体A上的等价关系，如果对A中任何元素 a1, a2 ， b1, b2 R,R蕴涵R则称R为A上关于二元运算★的同余关系(congruence relations)。

由这个同余关系将集合划分成的等价类就称为同余类2024/9/24161代数结构练习5-8.8证明：一个集合上任意两个同余关系的交也是同余关系证明证明 设R1和R2是 的任意两个同余关系，即对于任意的，∈R1有∈R1对于任意的，∈R2有∈R2 于是，对于任意的，∈R1∩R2，则， ∈R1 ， ， ∈R2从而 ∈R1 ， ∈R2 ，即 ∈R1 ∩R2因此，一个集合上任意两个同余关系的交也是同余关系2024/9/24162代数结构即R={,,,,,,,}例6 设A={a,b,c,d}，对于由表5-8.5所确定的代数系统以及由表5-8.6所定义的在A上的等价关系R★abcdaaadcbbacdccdabdddba表5-8.5表5-8.6 abcda√√b√√c√√d√√2024/9/24163代数结构等价类[a]R=[b]R ={a，b}，[c]R =[d]R ={c，d} R={,,,,,,,}容易验证对于任意的，∈R有 ∈R如：< a * a ，a * a >=∈R < a * a ，a * b >=∈R< a * b ，a * a >=∈R < a * b ，a * b >=∈R< a * c ， a * c >=∈R < a * c ，a * d >=∈R< a * d ， a * c >=∈R < a * d ，a * d >=∈R…………所以R是A上的同余关系。