圆周运动脱轨和临界问题.docx

学习必备 欢迎下载竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情形，常常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型 .一、两种模型模型 1：“轻绳类”图 1 图 2绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 〔 圆圈轨道问题可归结为轻绳类 〕 ，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图 1、图 2 所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情形：(1) 临界条件：在最高点，绳子 〔 或圆圈轨道 〕 对小球没有力的作用， v0 gR(2) 小球能通过最高点的条件： v gR ，当 v gR 时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力 .(3) 小球不能过最高点的条件： v gR ，实际上球仍没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动 .模型 2：“轻杆类”图 3 图 4有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情形，如图 3 所示， 〔 小球在圆环轨道内做圆周运动的情形类似“轻杆类” ， 如图 4 所示， 〕 ：(1) 临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度(2) 小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情形：v0 0①当 v 0 时，轻杆对小球有竖直向上的支持力 N ，其大小等于小球的重力，即 N mg ；②当 0 v gR 时，因mg N m v , 就2RN mg m v .2R轻杆对小球的支持力 N 竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范畴是 mg N 0 ．③当 v gR 时， N 0 ；2 2④当 v gR 时，就mg N m v ，即RN m v Rmg，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，留意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，仍可对球的作用力为零 .小结 假如小球带电， 且空间存在电磁场时， 临界条件应是小球重力、 电场力和洛伦兹力的合力作为向心力， 此时临界速度 v ≠ gR 〔 应依据详细情形详细分析 〕 ．另外， 如在月球上做圆周运动就可将上述的 g 换成 g月 ，如在其他天体上就把 g 换成 g天体 .二、两种模型的应用【例 1】如图 5 所示，质量为 m 的小球从光滑的斜面轨道的 A 点由静止下滑，如小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨道的最高点 B 而做圆周运动，问 A 点的高度 h 至少应为多少 .学习必备 欢迎下载【解析】此题属于“轻绳类” ，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v临界 Rg，依据机械能守恒定律得mgh mg 2R1 2mv临界2把 v 临界 Rg代入上式得：5hmin R ．2 图 5【例 2】如图 6 所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电 q 、质量为 m 且重力大于所受电场力的小球， 从光滑的斜面轨道的 A 点由静止下滑， 如小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨道的最高点 B 而做圆周运动， 问 A 点的高度 h 至少应为多少 .【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点 B 受到三个力作用 : 电场力F qE ， 方 向 竖 直 向 上 ； 重 力 mg ； 弹 力 N ， 方 向 竖 直 向 下 ． 由 向 心 力 公 式 ， 有v2mg N qE m BR要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 B 而做圆周运动， 说明小球此时处于临界状态， 其速率2vB 为临界速度，临界条件是N 0 ．由此可列出小球的临界状态方程为mg qE m vB ①R依据动能定理，有〔 mg qE 〕 〔 h1 2B2R〕 mv ②2解之得：5hmin R2v 2 5说明 把②式中的 mg qE 换成 mB ，较简单求出Rhmin R2【例 3】如图 6 所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电 q 、质量为 m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的 A 点由静止下滑，如小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨道的最高点 B 而做圆周运动，问 A 点的高度 h 至少应为多少 .【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点 B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率v2vB 为临界速度，临界条件是 N 0 ．由此可列出小球的临界状态方程为：mg qE m B ①R依据动能定理，有〔 mg qE 〕 〔 h2R〕1 mv 2 ②2 B由上述二式解得：hmin5 R 小 结 上2 图 6述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么 . 因 为 电 场力与重力做功具有相同的特点， 重力做功仅与初、 末位置的高度差有关；在匀强电场中，电 场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关． 我们不妨可以这样认为， 例 2 中的“等效重力加速度g1 ”比例 1 中的重力加速度 g 减小，例 3 中的“等效重力加速度g 2 ”比例 1 中的重力加速度 g 增大．例 2 中 v Rg， mg h mg 2R 1 mv 2 ；临界 11 1 2 临界学习必备 欢迎下载例 3 中 v临界 Rg21 2mv．，mg2 h mg 2 2R 临界2把 v临界代入各自对应的式子，结果mg1 、mg2 分别都约去了，故hmin5 R ．2【例 4】如图 7 所示，一个带正电 q 、质量为 m 的电荷，从光滑的斜面轨道的 A 点由静止下滑，如小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨道的最高点 B 〔 圆弧左半部分加上垂直纸面对外 的匀强磁场 〕 ，问点 A 的高度至少应为多少 .【解析】此题属于“轻绳类”， 题中“恰能” 是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 B ，说明小球此时处于临界状态，其速率出小球的临界状态方程为Bv2vB 为临界速率，临界条件是N 0 ，由此可列mg qvB B m ①Rmgh mg 2R1 2mv2 B ， ②2由①式可得 : vBR qB 〔qB〕 2 4m g2m RR4m2 g2因 vB 只能取正值，即 vB qB 〔qB〕2m R22 2就 hmin2R R qB8m2 g〔qB 〕24m g R【例 5】如图 8 所示， 在 竖直向下的匀称电场中， 一个带正电q 、质量为 m 的电荷， 从光滑的斜面轨道的 A 点由静止下滑，如小球恰能通过半 径为 R 的竖直圆形轨道的最高 点B 〔 圆弧左半部分加上 垂直纸面对外的匀强磁场 〕 ，问点 A的 高 度 h 至 少 应 为 多 少.图 7图 8【解析】 此题属于“轻绳类”， 题中“恰能”是隐含条件， 要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 B ，说明小球此时处于临界状态，其速率vB 为临界速率，临界条件是B2N 0 ，由此可列出小球的临界状态方程为mg qv B qE m vB ①〔mg qE 〕 〔h 2R〕RB1 mv 2 ②由①式可得 : vB2R qB2 4m〔qB〕 〔mg qE 〕2m R因 vB 只能取正值，即学习必备 欢迎下载vBR qB 〔qB 〕 2 4m 〔mg qE〕2m RR2就 h 2R qB〔 qB〕 224m 〔 mg qE〕min8m〔mg qE〕 R小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度 v 的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是N 0 ．【例 6】如图 9 所示， ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中 AB 段是水平的， BD 段为半径 R 0.2m 的半圆， 两段轨道相切于 B 点， 整个轨道处在竖直向下的匀强电场中， 场强大小 E 5.0 103 V/m. 一不带电的绝缘小球甲，以速度v0 沿水平轨道向右运动，与静止在 B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞；已知甲、乙两球的质量均为m 1.0 10kg ，乙所带电荷量2q 2.0 105 C ， g 取 10m/s2 .〔 水平轨道足够长， 甲、乙两球 可视为质点， 整个运动过程无电荷转移 〕（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点 D ，求乙在轨道上的首次落点到 B 点的距离；（2）在满意 〔1〕 的条件下；求的甲的速度 v0 ；（3）如甲仍以速度v0 向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到 B 点的距离范畴 .图 9【解析】（ 1）在乙恰能通过轨道最高点的情形下，设乙到达最高点速度为到达水平轨道的时间为 t ，乙的落点到 B 点的距离为 x ，就vD ，乙离开 D 点v2mg qE m DR① 2R1 〔 mg qE 〕t2 ②2 mx vDt ③联立①②③得 x 0.4m（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为 v甲 、 v乙 ，依据动量守恒定律和机械能守恒定律有mv0mv甲mv乙 ④1 2mv01 2mv甲1 2mv乙 ⑤2 2 2联立④⑤得v乙 v0 ⑥由动能定理，得mg 2 R qE 2R1 mv2 1 mv 2 ⑦2 D 2 乙联立①⑥⑦得 v05〔mg Eq〕R m2 5m/s ⑧（3）设甲的质量为 M ，碰撞后甲、乙的速度分别为恒定律有vM 、vm ，依据动量守恒定律和机械能守Mv0MvMmvm ⑨学习必备 欢迎下载1 Mv 2 1 Mv 2 1 mv 2 ⑩0 M m2 2 22Mv0联立⑨⑩得 vmM m○ 11由○11 和 M ≥m ，可得v0≤vm＜2v0○ 12设乙球过 D 点时速度为 ，由动能定理得vD1 2 1 2mg 2R qE2R mv D2 2mv m○ 13D联立⑧○12 ○13 得 2m/s≤ v ＜8m/s○ 14设乙在水平轨道上的落点距 B 点的距离x ，有 15联立②○14 ○15 得：。