电路习题07.doc

第七章 二阶电路 当电路中含有两个独立的动态元件时，描述电路的方程为二阶微分方程，电路称为二阶电路二阶电路过渡期的特性不同与一阶电路用经典的方法分析二阶电路的步骤为：（1）根据KVL，KCL及元件的VCR写出以或为变量的二阶微分方程；（2）由，确定电路的初始状态，即得出或的值；（3）求出二阶微分方程的两个特征根，根据的不同取值，确定方程的齐次通解（也是电路的零输入响应），一般分为三种情况：为两个不相等的实根（称过阻尼状态） 通解=为共轭复根（称欠阻尼或衰减振荡状态） 通解=为相等实根（称临界状态） 通解=由激励源的函数形式确定方程的特解形式；由初始条件，确定或等待定常数，得出确定的解二阶电路的重点是掌握其在过渡期的三种状态及物理过程7-1 电路如图所示，开关未动作前电路已达稳态，t=0时开关S打 解：这是一个求二阶电路初始值的问题，求法与一阶电路类似t<0时，电路处于稳态，把电容断开，电感短路，电路如题解图（a）所示由图（a）得 根据电容电压和电感电流的连续性，得 画出等效电路如题解图（b）所示。

由图（b）可求得 V/s而 所以 （a） （b） 题解7-1图7-2 图示电路中，电容原先已充电，R=2.5,L=0.25H,C=0.25F试求（1） 开关闭合后的（2） 使电路在临界阻尼下放电，当L和C不变时，电阻R应为何值解：（1）开关闭合后，电路的微分方程为初始条件为 以上二阶齐次方程的特征方程为 方程的特征根为 即 为两个不相等的实根，电路处于过阻尼状态微分方程的通解为 带入初始值，得 解得 所以 （2） 使电路在临界阻尼下放电，应满足即 7-3 已知图示电路中设电容原先已充电，且在t=0时开关闭合试求以及S闭合后的解：t>0后，电路的微分方程为方程的特征根为 即 和为一对共轭复根，故电路处于欠阻尼或衰减振荡微分方程的通解为 式中，，A和为待定常数，由初始条件 解得 即 故 当mAV当时，即，s时，电流达最大值 mA7-4 图示电路中开关S闭合已久，t=0时S打开。

求，解：t>0后,电路的微分方程为 特征方程为 解得特征根 即 为两个共轭复根，所以电路为振荡放电过程，其方程的通解为 式中，根据初始条件 A，可得 解得 故电感电流和电容电压分别为 A V7-5 电路如图所示，t=0时开关S闭合，设，，L=1H，C=1F，U=100V若：（1）电阻；（2）电阻；（3）试分别求在上述电阻值时电路的电流I和电压解：t>0后，电路的微分方程为由题意知，电路的初始条件为 ，因此，这是一个求二阶电路零状态响应的问题设的解答为 式中为方程的特解，满足为对应的齐次方程的通解，其函数形式与特征根的值有关。

根据特征方程可得 （1） 当时，有即 特征根为两个不相等的实数，电路处于非震荡放电过程，的形式为根据初始条件，可得 解得 所以电容电压 （2） 当时，有 即 电路处于临界阻尼情况的形式为 根据初始条件可得 即 即 所以电容电压 电流为 （3） 当时，有 即 为两个共轭复根，可知电路处于震荡放电过程，即欠阻尼情况的形式为解得 故电容电压为 电流为 7-6 图示电路中，，，电路已处稳态设开关S在t=0时打开，试求解：由题意可知电路的初始条件为 t>0后，电路方程为 设电容电压的解答为 方程的特征根为 即 ， 为两个共轭复根，所以电路的响应为衰减震荡，即欠阻尼情况。

对应齐次方程的通解为，式中根据初始条件，可得解得 所以电容电压 电流 电感电压 7-7 图示电路在开关S打开之前已达稳态；t=0时，开关S打开，求t>0时的解：由图可知，t>0时 因此，电路的初始值为 t>0后电路的方程为 其特征根为 即 ，特征根为两个共轭复根，所以电路处于衰减震荡过程电容电压为 式中根据初始条件，可得从中解得 故电容电压为 7-8 图示电路在开关S动作前已达稳态；t=0时S由1接至2，求t>0时的解：由图可知，t>0时 ， 因此，时，电路的初始条件为 t>0后，电路的方程为 设的解为 式中为方程的特解，满足根据特征方程的根 可知，电路处于衰减震荡过程，，因此，对应齐次方程的通解为式中。

由初始条件可得解得 故电容电压 电流 7-9 图式并联电路中，已知求t>0时的解：由题意知，电路的初始值为 这是一个求二阶电路的零输入响应的问题电路的微分方程为 特征根方程为则 即 为两个不相等的负实根，所以电路处于非振荡过程，即过阻尼情况，的通解为 代入初始条件有解得 故电感电流为 7-10 图示电路中 求：（1）时，电路的阶跃响应；（2）时，电路的冲激响应解：当时，电路的初始值为t>0后，电路的方程为 设为方程的特解，满足 根据方程的特征根 即 为两个不相等的负实根，可得对应的齐次方程的通解为代入初始条件，有 解得 故电感电流为 （2）当时解法一：利用冲激响应和阶跃响应之间的关系，对（1）中结果求导得解法二：在t=0时，电路的方程为把上式在到区间积分，得根据是连续函数及零状态条件， 可得 即 说明在到间隔内冲激响应是由次电容储能所产生的。

t>0后，电路的方程为 解答为 代入初始条件，有 解得 ， 故电感电流为 A 7-11 当为下列情况时，求图示电路的响应: （1） （2） 解：（1）当时，电路的初始条件为；时，电路的方程为 设的解答为 为方程的特解，满足根据方程的特征根 为两个共轭复根，可得对应的齐次方程的通解为式中.由初始条件可确定A和即解得 则电路的响应 (2) 当时，利用冲激响应和阶越响应的关系，对（1）中结果求导得 7-12 图示并联电路中，在t=0时开关由位置1接至位置2，由位2置接至位置1求t0时的.解：由图示可解得初始值为后，电路的方程为 设的解答为 为方程的特解，满足 ，根据方程的特征根 为两个共轭复根，说明电路的过渡过程属于震荡性质，对应齐次方程的通解为式中，由初始条件可以确定A和，既有 从中可以解得 故电路的响应为 。