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2021-2021 年新课标 I 卷高考理科数学解答题概率统计 〔 随机变量及其分布列 本小题满分 12 分 〕（2021 全国 1. 理数 .19 ）（ 12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）．依据长期生产体会，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸听从正态分布N 〔 ,2 〕 ．（ 1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 〔 3 , 3 〕 之外的零件数，求P〔 X1〕 及 X 的数学期望；（ 2）一天内抽检零件中，假如显现了尺寸在 〔 3 , 3 〕 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能显现了反常情形，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951 161 161 16经运算得 x x9.97 ，s〔x x 〕2〔 x216x2 〕20.212 ，其 中 x 为16 i i i ii 1 16 i 1 16 i 1抽取的第 i 个零件的尺寸， i1,2, ,16 ．用样本平均数 x 作为 的估量值 . ，用样本标准差 s 作为 的估量值 . ，利用估量值判定是否需对当天的生产过程进行检查？剔除〔 . 3 ., .3 .〕 之外的数据， 用剩下的数据估量 和 （精确到 0.01 ）．附：如随机变量 Z 听从正态分布N 〔 ,2 〕 ，就P 〔 3 Z3 〕 0.997 4 ，0.997 4 160.959 2 ， 0.008 0.09 ．【考点 】： 统计与概率；【思路 】：（ 1）这是典型的二项分布，利用正态分布的性质运算即可； （ 2）考察正态分布，代入运算即可；【解析 】：（ 1） P X1 1 P X0 1 0.9974161 0.9592 0.0408由题意可得， X 满意二项分布X ~ B16,0.0016 ，因此可得 EX 16,0.0016 16 0.0016 0.0256（ 2）○ 1 由（ 1）可得 P X1 0.0408 5% ，属于小概率大事， 故而假如显现 〔 3 , 3 〕 的零件，需要进行检查；○ 2 由题意可得 μ9.97, μ0.212μ 3 μ9.334, μ 3 μ10.606 ，故而在 9.334,10.606 范围外存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查；此时：x 9.97 16 9.22 10.02 ，151 15x x0.09 ；15 i 1（2021 全国 1. 理数 . 19）（本小题满分 12 分）某公司方案购买 2 台机器 ,该种机器使用三年后即被淘 汰.机器有一易损零件 ,在购进机器时 ,可以额外购买这种零件作为备件 ,每个 200 元.在机器使用期间 ,假如备件不足再购买 ,就每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 ,为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 ,得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率 , 记 X 表 示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数 , n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 .（ I ）求 X 的分布列；（ II ）如要求P 〔 X n〕 0.5 ,确定 n 的最小值；（ III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 ,在 n19 与 n20 之中选其一 ,应选用哪个？【答案】（ I ）见解析（ II ） 19（ III ） n 19【解析】试题分析：（ I ）先确定 X 的取值分别为 16,17,18,18,20,21,22,, 再用相互独立大事概率模型求概率 ,然后写出分布列； （ II ）通过频率大小进行比较； （ III ）分别求出 n=9, n=20 的期望 ,依据 n 19 时所需费用的期望值小于 n20时所需费用的期望值 ,应选 n19 .所以 X 的分布列为[来源 :学优高考网 gkstk]161718192021220.040.160.240.240.20.080.04X P（Ⅱ）由（Ⅰ）知P 〔 X18〕0.44 , P 〔 X19〕0.68 ,故 n 的最小值为 19.（Ⅲ）记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元） .当 n 19 时, EY19 2000.68〔19200500〕0.2〔192002 500〕0.08〔192003 500〕0.044040 .当 n 20 时,EY 202000.88〔20200500〕0.08〔 202002 500〕0.044080.可知当 n19 时所需费用的期望值小于n 20时所需费用的期望值 ,故应选 n19 .考点：概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】此题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查 ,有肯定综合性但难度不是太大大 ,求解关键是读懂题意 ,所以提示考生要重视数学中的阅读懂得问题 .（2021 全国 1. 理数 . 19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需明白年宣扬费 x（单位：千元）对年销售量 y （单位： t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣扬费 x1 和年销售量 y1 （ i=1,2 ， ，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值；r urix yur nwi 1〔x x〕2ni〔w w〕2i 1n〔 xi x〕〔 yi y〕i 1n〔wi w〕〔 yi y〕i 146.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8ur 1 n表 中 w 1 = x 1, ， w = wi 8 i 1（Ⅰ）依据散点图判定， y= a+bx 与 y=c+d x 哪一个相宜作为年销售量 y 关于年宣扬费 x 的回来方程类型？（给出判定即可，不必说明理由）（Ⅱ）依据（Ⅰ）的判定结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回来方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x. 依据（Ⅱ）的结果回答以下问题：（i ） 年宣扬费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ） 年宣扬费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据〔u1,v1〕 ,〔u2, v2 〕 ， ， 〔un ,vn 〕 , 其回来线 v u 的斜率和截距的最小二乘估量分别为：nμ= i 1〔uinu〕〔vii〔u u〕2v〕， μ=v μui 1【答案】（Ⅰ） y c d x 适合作为年销售 y 关于年宣扬费用 x 的回来方程类型（Ⅱ）y$ 100.6 68x （Ⅲ） 46.24关于 x 的回来方程为 $y100.6 68∴ yx . 6 分考点： 非线性拟合；线性回来方程求法；利用回来方程进行预报猜测；应用意识（2021 全国 1. 理数 .18 ）（本小题满分 12 分）从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值， 由测量结果得如下频率分布直方图：频率组距0.0330.0240.0220.0090.0080.002165 175 185 195 205 215225 235质量指标值（ 1）求这 500件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（ 2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 听从正态分布 N, 2 ，其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差s2 .（ i ）利用该正态分布，求P 187.8 Z212.2 ；（ ii ）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2 的产品件数 .利用（ i）的结果，求 EX .附： 150 12.2 .如 Z ~N, 2 ，就 P Z0.6826， P 2 Z2 0.9544 .解：（Ⅰ） x 170 0.02+180 0.09+190 0.22+200 0.33+210 0.24+220 0.08+230 0.02s2 〔20030〕20.02〔20〕20.09〔 10〕 20.220 0.331020.242020.083020.02150（Ⅱ）（ⅰ）由于 Z 听从正态分布N 〔 ,2 〕 ， 200， 2 150，所以15012.22所以 P〔187.8 Z212.2〕P〔20012.2 Z20012.2〕 〔 Z 〕又 如 Z ～N 〔 ,。