2022全国新高考I卷数学试题及答案.docx

2022年全国新高考I卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合M={x∣x<4}, N={x∣3x≥1}，则M∩N=（       ）A．{x0≤x<2} B．x13≤x<2 C．{x3≤x<16} D．x13≤x<162．若i(1−z)=1，则z+z=（       ）A．−2 B．−1 C．1 D．23．在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=（       ）A．3m−2n B．−2m+3n C．3m+2n D．2m+3n4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（7≈2.65）（       ）A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m35．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（       ）A．16 B．13 C．12 D．236．记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π30)上，过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则（       ）A．C的准线为y=−1 B．直线AB与C相切C．|OP|⋅|OQ|>|OA2 D．|BP|⋅|BQ|>|BA|212．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x)，若f32−2x，g(2+x)均为偶函数，则（       ）A．f(0)=0 B．g−12=0 C．f(−1)=f(4) D．g(−1)=g(2)三、填空题13．1−yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为________________（用数字作答）．14．写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程________________．15．若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．16．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是________________．四、解答题17．记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列．(1)求an的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+⋯+1an<2．18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B．(1)若C=2π3，求B；(2)求a2+b2c2的最小值．19．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A−BD−C的正弦值．20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．P(B|A)P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R=P(A|B)P(A|B)⋅P(A|B)P(A|B)；（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，PK2≥k0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面积．22．已知函数f(x)=ex−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．试卷第4页，共4页参考答案：1．D【解析】【分析】求出集合M,N后可求M∩N.【详解】M={x∣0≤x<16},N={x∣x≥13}，故M∩N={x|13≤x<16}，故选：D2．D【解析】【分析】利用复数的除法可求z，从而可求z+z.【详解】由题设有1−z=1i=ii2=−i，故z=1+i，故z+z=(1+i)+(1−i)=2，故选：D3．B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即CD−CB=2CA−CD，所以CB= 3CD−2CA=3n−2m =−2m+3n．故选：B．4．C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为MN=157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S′=180.0km2=180×106m2，∴V=13hS+S′+SS′=13×9×140×106+180×106+140×180×1012=3×320+607×106≈96+18×2.65×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．故选：C．5．D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率P=21−721=23.故选：D.6．A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足2π3−1)，因为f′(x)=11+x−1=−x1+x，当x∈(−1,0)时，f′(x)>0，当x∈(0,+∞)时f′(x)<0，所以函数f(x)=ln(1+x)−x在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增，所以f(19)ln109=−ln0.9，即b>c，所以f(−110)0，函数h(x)=ex(x2−1)+1单调递增，又h(0)=0，所以当00，函数g(x)=xex+ln(1−x)单调递增，所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>−ln0.9，所以a>c故选：C.8．C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵ 球的体积为36π，所以球的半径R=3,设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则l2=2a2+h2，32=2a2+(3−h)2,所以6h=l2，2a2=l2−h2所以正四棱锥的体积V=13Sh=13×4a2×h=23×(l2−l436)×l26=19l4−l636，所以V′=194l3−l56=19l324−l26，当3≤l≤26时，V′>0，当26