矩阵相似对角化ppt课件.ppt

第第5.25.2节 矩矩阵类似似对角化角化主要内容主要内容一、矩一、矩阵类似的概念似的概念二、矩二、矩阵类似似对角形角形三、小三、小结四、思索与四、思索与练习一一. 类似矩阵的概念类似矩阵的概念定义定义: 设设 都是都是 阶矩阵，假设存在可逆矩阵阶矩阵，假设存在可逆矩阵 ，使得，使得那么称矩阵那么称矩阵 是矩阵是矩阵 的类似矩阵，的类似矩阵，对对 进展运算进展运算 称为对称为对 进展类似变换，进展类似变换，可逆矩阵可逆矩阵 称为把矩阵称为把矩阵 变成矩阵变成矩阵 的类似变换矩阵的类似变换矩阵或称矩阵或称矩阵 与矩阵与矩阵 类似，记作类似，记作注：注：1 矩矩阵类似是一种等价关系似是一种等价关系〔〔1〕反身性：〕反身性：〔〔2〕对称性：假设〕对称性：假设 那么那么〔〔3〕传送性：假设〕传送性：假设 那么那么分析分析: ,那么存在可逆矩那么存在可逆矩阵 ,使使2.假假设 与与 类似似, 那么那么 与与 类似似( 为正整数正整数).3.假假设,,那么那么其中其中 是恣意常数是恣意常数.分析分析:定理定理1: 阶方阵阶方阵 类似类似,那么有那么有和和 的特征多项式一样的特征多项式一样,即即从而从而 和和 的特征值一样的特征值一样注注:　　满足足(1),(2),(3)时A和和B不一定不一定类似．似．推论：假设矩阵推论：假设矩阵 与对角阵与对角阵 类似，类似，那么那么 是是 的的 个特征值。

个特征值例例1:设矩阵设矩阵 与与 类似类似,求求.解解:利用利用得到方程得到方程,再利用再利用得到得到利用对角矩阵计算矩阵的方幂利用对角矩阵计算矩阵的方幂假设假设那么那么k个个的多项式的多项式特别地特别地,假设可逆矩阵假设可逆矩阵 ,使使为对角矩阵为对角矩阵,那么那么对于对角矩阵对于对角矩阵 ,有有二二. 矩阵类似对角形矩阵类似对角形对对 阶方阵阶方阵 ，假设可以找到可逆矩阵，假设可以找到可逆矩阵 ，，使得使得 为对角阵，就称为把方阵为对角阵，就称为把方阵 对角化定定义:定理定理2：： 阶矩阵阶矩阵 可对角化〔与对角阵类似〕可对角化〔与对角阵类似〕 有有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量逆命题不成立逆命题不成立)推论推论1 :假设假设 阶方阵阶方阵 有有 个互不一样的特征值个互不一样的特征值,那么那么 可对角化。

〔与对角阵类似可对角化〔与对角阵类似〕〕推论推论2:　　阶方阵　类似于对角阵的充要条件是　的　　阶方阵　类似于对角阵的充要条件是　的每一个每一个重特征值对应　个线性无关的特征向量．重特征值对应　个线性无关的特征向量．阐明：假设　的特征方程有重根，此时不一定有　个线性阐明：假设　的特征方程有重根，此时不一定有　个线性无关的特征向量，从而矩阵　不一定能对角化．无关的特征向量，从而矩阵　不一定能对角化．例例1: 1: 判别以下实矩阵能否化为对角阵？判别以下实矩阵能否化为对角阵？解解: :得得得根底解系得根底解系当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为得根底解系得根底解系线性无关线性无关即即A有有3个个线性无关的特征向量，所以性无关的特征向量，所以A可以可以对角化得根底解系得根底解系所以所以 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为三．小结三．小结１．类似矩阵１．类似矩阵类似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好类似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内引见的以外，还有：的性质，除了课堂内引见的以外，还有：(1) 　与　类似，那么　与　类似，那么(2)假设　与　类似，且　可逆，那么　也可逆，且假设　与　类似，且　可逆，那么　也可逆，且　　与　　类似．　　与　　类似．(3)与　类似，那么与　类似，那么 与　与　 类似类似.　为常数．　为常数．(4)与　类似，而　　是一多项式，那么　　与与　类似，而　　是一多项式，那么　　与类似．类似．２．类似变换与类似变换矩阵２．类似变换与类似变换矩阵　类似变换是对方阵进展的一种运算，它把　类似变换是对方阵进展的一种运算，它把A变成变成而可逆矩阵而可逆矩阵 称为进展这一变换的类似变换矩阵．称为进展这一变换的类似变换矩阵．　　这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其　　这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先经过类似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，方法是先经过类似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进展运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转再对对角矩阵进展运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．化为比较简单的对角矩阵的运算．解：解：例例2 2：设：设假设能对角化，求出可逆矩阵假设能对角化，求出可逆矩阵 使得使得 为对角阵。

为对角阵问问 能否对角化？能否对角化？四．思索与练习四．思索与练习得根底解系得根底解系当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为得根底解系得根底解系线性无关，线性无关，可以对角化可以对角化令令那么有那么有留意：假设令留意：假设令即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．位置要相互对应．那么有那么有把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在实际和运用上都有意义在实际和运用上都有意义可可对角化的矩角化的矩阵主要有以下几种运用：主要有以下几种运用：1. 由特征由特征值、特征向量反求矩、特征向量反求矩阵例例3：知方阵：知方阵 的特征值是的特征值是相应的特征向量是相应的特征向量是求矩阵求矩阵解：由于特征向量是解：由于特征向量是3维向量，所以矩阵维向量，所以矩阵 是是3 阶方阵由于由于 有有 3 个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化。

可以对角化即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得其中其中求得求得2. 求方阵的幂求方阵的幂例例4：设：设 求求解：解：可以对角化可以对角化齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，系数矩阵系数矩阵令令 得根底解系得根底解系:齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，系数矩阵系数矩阵令令 得根底解系得根底解系:令令求得求得即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得3. 求行列式求行列式例例5：设：设 是是 阶方阵，阶方阵， 是是 的的 个特征值，个特征值，计算计算解：解：方法方法1 求求 的全部特征值，的全部特征值， 再求乘积即为行列式的值再求乘积即为行列式的值设设的特征值是的特征值是即即的特征值是的特征值是方法方法2：知：知 有有 个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化，可以对角化，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得4. 判别矩阵能否类似判别矩阵能否类似解：解：方法方法1的特征值为的特征值为令令3阶矩阵阶矩阵 有有3个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化。

可以对角化例例6：知：知3阶矩阵阶矩阵 的特征值为的特征值为1，，2，，3，，设设问矩阵问矩阵 能否与对角阵类似？能否与对角阵类似？即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得方法方法2：由于矩阵：由于矩阵 有有3个不同的特征值，所以可以对角化，个不同的特征值，所以可以对角化，所以矩阵所以矩阵 能与对角阵类似能与对角阵类似例例7：设：设 阶方阵阶方阵 有有 个互异的特征值，个互异的特征值， 阶方阵阶方阵 与与 有一样的特征值有一样的特征值证明：证明：与与 类似证：设证：设 的的n个互异的特征值为个互异的特征值为那么存在可逆矩阵那么存在可逆矩阵 , 使得使得又又也是矩阵也是矩阵 的特征值，的特征值，所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 , 使得使得即即即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 ,使得使得即即 与与 类似。