高等岩石力学复习教程-广义胡可定义复习考试重难点.docx

高等岩石力学复习教程高等岩石力学复习教程考试重难点分析考试重难点分析考前必看考前必看第四章第四章 广义虎克定律广义虎克定律在应力分析中，已经从纯力学的基本定律出发，引入了 9 个应力分量，它们满足三ij个运动或平衡微分方程(由动量守恒定理推出)和剪应力双生互等定理(由动量矩守恒定理推 出)，由此得到应力张量对称的结论，因此独立的应力分量只有六个在应变分析中，从物体的几何连续性观点出发，研究物体变形，得到三个位移分量和九个应变分量，这九iuij个应变分量中只有六个是独立的，位移分量和应变分量之间满足六个变形协调方程，这样我们总共引入了十五个变量，它们满足的方程只有九个,,iijiju,,,0(),1,2,31(),,1,2,32i jiiiji jj ifujuui jijij ijijWW各向同性弹性体的应力应变关系 弹性体弹性性质的对称性是指在对称方向上弹性性质是相同的由于弹性性质是用弹 性应力应变关系表示的因此对称性就是指在对称方向上弹性应力应变关系相同 具有一个弹性对称面的材料 假设过弹性体中任一点的与 oxy 面平行的面是对称面，则 z 轴垂直于该对称面，假设 在这种情况下沿 z 轴方向和-z 轴方向看弹性关系不变。

令第一次看的坐标系为 oxyz，第二 次看的坐标系为 ox/y/z/，则两个坐标系的关系如下所示 ',','xxyyzz 按照应力分量的坐标变换关系，在坐标系中的应力为' ' 'ox y z(4-33a)'1(1,0,0)() 00xijx      同理(4-33b)'',yyzz而， (4-33c)' '0(0,1,0)()01y zijyz  ' ''',z xzxx yxy 按应力分量的坐标变换关系可类似地得到，用旧坐标系中的应变表示的新坐标系 中的应变分量xyzx/100y/010z/00-10xyz0' x' y' z图 4-1 表 4-1(4-34a)''',,xxyyzz(4-33b)' '' ''',,y zyzz xzxx yxy  在新坐标系和旧坐标系中弹性关系不变，意味着在新坐标系和旧坐标系中弹性应力应 变关系(4-25)都成立，因此在新坐标系中(4-25)式中的第一式为'11'12'13'14' '15' '16''xxyzy zz xx yCCCCCC将(4-33a)和(4-34)代入上式得到111213141516xxyzyzzxxyCCCCCC上式与(4-25)式的第一式应完全相同，比较两式可以得到14150CC考虑到对称性41510CC(4-25)的其它各式，在新坐标系中也成立，将(4-33)和(4-34)代入这些方程有212223242526yxyzyzzxxyCCCCCC313233343536zxyzyzzxxyCCCCCC414243444546yzxyzyzzxxyCCCCCC 515253545556zxxyzyzzxxyCCCCCC 616263646566xyxyzyzzxxyCCCCCC将上面 5 个方程与(4-25)的其余 5 个方程比较，便得出2425343546560,0,0CCCCCC考虑到对称性，还有4252435364650,0,0CCCCCC这样在存在一个对称面的情况下，(4-25)式的 36 个系数中有 16 个为零，非零系数只有 20 个。

考虑到对称性，在这种情况下，只有 13 个独立的弹性系数，用矩阵表示为111213161222232613233336444545551626366600 00 00 0000 0000 00CCCC CCCC CCCC CC CC CCCC      即(4-25)式变为(4-35a)11121316xxyzxyCCCC(4-35b)12222326yxyzxyCCCC(4-35c)13233336zxyzxyCCCC(4-35d)4445yzyzzxCC(4-35e)4555zxyzzxCC(4-35f)16263666xyxyzxyCCCC具有三个弹性对称面的材料 如果弹性体既对 oxy 对称，同时也对 oyz 对称，此时 x 轴垂直于对称面，沿 x 方向和-x 方向弹性关系也应该相同设新系为 ox/y/z/，则新旧坐标系的关系如下表所示 ',','xxyyzz 按坐标变换关系，在新、旧坐标系中应力分量之间的关系为(4-36a)'''' '' '' ',,,,xxyyzzy zyzz xzxx yxy  在新、旧坐标系中应变分量之间的关系为(4-36b)'''' '' '' ',,,,xxyyzzy zyzz xzxx yxy  利用对称性和应力应变的变换关系(4-36)式，即将(4-36)代入(4-35)中，可以得到162636450CCCC此时独立的弹性常数只有 9 个，用矩阵表示为111213122223132333445566000 000 000 00000 00000 00000CCC CCC CCC C C C      既对 oxy 面对称，又对 oyz 面对称的材料，必定对 ozx 面对称，因此有 3 个对称面的 材料的弹性应力应变关系为(4-37a)111213xxyzCCC(4-37b)122223yxyzCCC(4-37c)132333zxyzCCCxyzx/-100y/010z/001表 4-2x0yz' x0' y' z图 4-2(4-37d)44yzyzC(4-37e)55zxzxC(4-37f)66xyxyC具有各向同性面的弹性材料 假如过弹性体中的任意点都有一个平面，在这个平面内，从各个方向看，弹性关系都 相同，我们进一步假定 oxy 面和平行于 oxy 面的平面就是这样的各向同性面。

z 轴垂直于该 面，而 x、y 轴位于该面内讨论在这种情况下的弹性应力应变关系，最方便的是将 x、y 轴绕 z 轴旋转 900，得到新的坐标系 ox/y/z/，新系和旧系之间的关系如下 ',','xyyxzz 在这种情况下新旧坐标系之间，应力分量和应变分量的关系为(4-38a)'''' '' '' ',,,,xyyxzzy zzxz xyzx yxy  (4-38b)'''' '' '' ',,,,xyyxzzy zzxz xyzx yxy  利用(4-37)和(4-38)111213yyxzCCC122223xyxzCCC132333zyxzCCC445566,,zxzxyzyzxyxyCCC将以上诸式与(4-37)比较可得112213234455,,CCCCCC因此(4-37)变为(4-38a)111213xxyzCCC(4-38b)121113yxyzCCC(4-38c)131333zxyzCCCxyzx/010y/-100z/001x0yz' x0' y' z图 4-3表 4-3(4-38d)44yzyzC(4-38e)44zxzxC(4-38f)66xyxyC独立的弹性常数有 6 个，用矩阵表示为111213121113131333444466000 000 000 00000 00000 00000CCC CCC CCC C C C      然后将坐标系 oxyz 绕 z 轴转 450，得到新坐标系 ox/y/z/，新旧坐标系的关系如下按照同样的方法，可以得到661112CCC因此(4-38)式变为(4-39a)111213xxyzCCC(4-39b)121113yxyzCCC(4-39c)131333zxyzCCC(4-39d)44yzyzC(4-39e)44zxzxC(4-39 f)1112()xyxyCC具有一个各向同性面的弹性材料称为横观各向同性材料，这种材料的独立的弹性常数 有 5 个。

完全各向同性的弹性材料 将 oxyz 坐标系绕 x 轴转 900，新旧坐标系的关系如下所示xyzx/2 22 20y/2 22 20z/001x0yz' x0' y' z44图 4-4表 4-4',','xxyzzy 可以得到121311334466,,CCCCCC此时(4-39)变为(4-40a)1112()xxyzCC(4-40b)1112()yyxzCC(4-40c)1112()zzxyCC(4-40d)44yzyzC(4-40e)44zxzxC(4-40f)44xyxyC令，则这种弹性材料具有三个独立的弹性系数，用矩阵表111122443,,CCCCCC示为122212221333000 000 000 00000 00000 00000CCC CCC CCC C C C      应力应变关系为(4-41a)12()xxyzCC(4-41fb)12()yyxzCC(4-41c)12()zzxyCC(4-41d)3yzyzC(4-41e)3zxzxC(4-41)3xyxyCxyzx/100y/001z/0-10x0yz' x0' y' z图 4-5表 4-5若再将 oxyz 绕 y 轴转 900，得到 ox/y/z/如下图所示不再得到新的结果，这表明由(4-41)确定的应力应变关于三个坐标方向都是弹性主方向。

若令12111244,2 ,'CCCC则(4-41)式可写为(4-42)2'2'2'xvxyzyzyvyzxzxzvzxyxy   式中vxyz现在将坐标系 oxyz 绕某轴(如 z 轴)旋转任意角度 θ，得到新坐标系 ox/y/z/，新旧坐标系 的关系如下利用坐标变换关系可以得到(2-++)''' '11()()cos2sin222 11()()cos2sin222 1()sin2cos22xxyxyxyyxyxyxyx yyxxyxyzx/cosθsinθ0y/-sinθcosθ0z/001x0yz' x0' y' z图 4-6表 4-6x0 yz' x0' y' z图 4-7(2-++)''' '11()()cos2sin222 11()()cos2sin222 1()sin2cos22xxyxyxyyxyxyxyx yxyxy将(2-++)式和(2-++)式第一式代入(4-42)的第一式，并注意到是不变量，vxyz可得''2xvx  11()()cos2sin222 112[ ()()cos2sin2 ]22xyxyxyv。