中学数学竞赛讲座及练习(第19讲)因式分解(一) 学生版.doc

中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第19讲)因式分解（一）第十九讲 因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 　　1．运用公式法　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．　　下面再补充几个常用的公式：　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．　　例1 分解因式：　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；　　(2)x3-8y3-z3-6xyz；　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7．　　例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．　　说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为　　a3+b3+c3-3abc　　　　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．　　例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．　　说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．　　2．拆项、添项法　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．　　例4 分解因式：x3-9x+8．　　分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．　　说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．　　例5 分解因式：　　(1)x9+x6+x3-3；　　(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；　　(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；　　(4)a3b-ab3+a2+b2+1．　　说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．　　3．换元法　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．　　例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．　　说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．　　例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．　　说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．　　例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．　　说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．　　例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 解法2　　说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．　　例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．　　分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．　练习一　　　1．分解因式： (2)x10+x5-2； (4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．　　2．分解因式：　(1)x3+3x2-4；　(2)x4-11x2y2+y2；　(3)x3+9x2+26x+24；　　(4)x4-12x+323．　　3．分解因式：　(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；　 　(2)x4+7x3+14x2+7x+1；　(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；　 　(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．第 6 页 共 6 页。