中考数学二轮复习压轴题精讲专题4：二次函数与相似三角形 (含答案详解).doc

二次函数与相似三角形 突破口：寻找比例关系以及特殊角1 .综合与探究如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在右侧），与轴交于点，点坐标为，连接，点是直线上方抛物线上一动点，且横坐标为．过点分别作直线的垂线段，垂足分别为和，连接．（1）求抛物线及直线的函数关系式；（2）求出四边形是平行四边形时的值；（3）请直接写出与相似时的值．【答案】（1）抛物线的关系式为，直线的关系式为；（2）四边形是平行四边形时的值为或3；（3），，，．【解析】【分析】（1）由题意易得的值，进而得到二次函数的解析式，则点C、B坐标可得，最后求解直线BC解析式即可；（2）由题意易得，则，为等腰直角三角形为等腰直角三角形，过点作轴于点，交于点，进而可证，然后可得，设，最后建立方程进行求解即可；（3）由题意可分以下几种情况进行分类求解：①当点E在点D上方时，存在与相似，②当点E在点D下方时，与相似，然后根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解:（1）把代入中，得，解得，抛物线的关系式为，当时，得，点的坐标为，当时，得，解得，点在点左侧，点的坐标为，设直线的关系式为，把点和代入上式，得，解得，直线的关系式为；（2）由点坐标可知:，为等腰直角三角形，，，为等腰直角三角形，如答图，过点作轴于点，交于点，在和中，，，为等腰直角三角形，四边形是平行四边形，，，又，，，点为抛物线上的动点，点为直线上的点，点的横坐标为，设，，，解，得，四边形是平行四边形时的值为或3；（3），．由（1）（2）可得△ADB为等腰直角三角形，AB=6，，，，过点D作DE⊥x轴交于点E，DE=3，易得点D坐标为，设直线AC的解析式为，把，代入得：，解得，直线AC的解析式为，由与相似，可得：①当点E在点D上方时，且∠PDE=∠ACD，如图所示：PD∥AC，则有直线AC的斜率与直线PD的斜率相等，设直线PD的解析式为：，把点D代入得：b=-7，设直线PD的解析式为：，联立直线PC与二次函数的解析式得：，解得：（不符合题意，舍去），；②当点E在点D上方时，且∠EPD=∠ACD，取AC的中点F，连接DF，如图所示：由中点坐标公式易得点，AD⊥BC，CF=FD，∠FCD=∠FDC，∠FDP=90°，FD⊥DP，设直线FD的解析式为：，把点，点D代入解得：，即直线FD的解析式为：，设直线DP的解析式为：，把点D代入得：b=13，直线DP的解析式为：，联立直线PD与二次函数解析式得：，解得，；③当当点E在点D下方时，且∠PDE=∠ACD时，延长PD交AC于点F，如图所示：∠PDE=∠FDC，∠FCD=∠FDC，FC=FD，AD⊥BC，易得∠FDA=∠FAD，CF=AF=FD，由②可直接得出直线PD的解析式为，联立直线PD与二次函数的解析式得：，解得：，；④当点E在点D下方，且∠PDE=∠CAD时，延长PD，交AC于点H，如图所示：∠PDE=∠HDC，∠HDC+∠HCD=90°，PH⊥AC，直线AC与直线PD的斜率之积为-1，设直线PD的解析式为：，把点D代入得：，直线PD的解析式为：，联立直线PD与二次函数的解析式得：，解得，；综上所示：当与相似时，，，，．【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．2 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为点C的坐标为，（1）求抛物线的解析式；（2）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作轴于点G，交于点H，当线段时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段绕点G顺时针旋转一个角，在旋转过程中，设线段与抛物线交于点N，在射线上是否存在点P，使得以P，N，G为顶点的三角形与相似?如果存在，请求出点P的坐标（直接写出结果）；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，【解析】【分析】（1）根据点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝．带入即可求解抛物线的解析式；（2）由题意，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，求解AC直线方程，M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，表示出M和H的坐标，利用线段CM＝CH相等，即可求出点M的坐标；（3）首先确定△ABC是什么三角形，由题意可知△ABC是直角三角形．根据相似三角形边长的比例关系建立关系式，求解边长是否有解，有解即表示存在P点，解出即为坐标；【详解】（1）设抛物线的解析式为把代入则则所以（2）如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，设直线AC解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（4，0）、C（0，2）代入y＝kx+b，可得，解得：，∴直线AC解析式为，∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，∴设则∴MH＝∵CM＝CH，OC＝GE＝2，∴MH＝2EH＝，∴解得（舍），所以（3）存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（4，0），A、B两点关于直线x＝成轴对称，∴B（﹣1，0），∴AC＝，BC＝，AB＝5，∴AC2+BC2＝25，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°，线段MG绕G点旋转过程中，旋转角∴∴分∠PNG＝90°或∠GPN＝90°两种情况讨论，每种情况下又根据直角边不同再分类讨论①当∠GPN＝90°时即NP⊥x轴设P点坐标为（n，0），则N点坐标为∵P在射线GA上∴此时当△NPG∽△ACB时解得：（不符合题意，舍去），∴的坐标为（3，0）；当△NPG∽△BCA时解得：（不符合题意，舍去），∴的坐标为（，0）；②当∠PNG＝90°时作NP⊥x轴于K，此时由射影定理可得△KPN∽△KNG∽△NGP∴当K分别为、时△KNG与△NG、△NG重合此时△NGP与△ABC相似∵△KPN∽△KNG∴当K与（3，0）重合时KG=1∴此时当K与（，0）重合时KG=∴此时综上所述存在以P，N，G为顶点的三角形与相似的P点，P点坐标为【点睛】题考查了二次函数和三角形的相似的综合运用．熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键，属于难题．3 .已知二次函数（为常数，且）的顶点为，图象与轴交点为，，且点在点左侧．（1）求，两点的坐标．（2）当时，求的值．（3）在（2）的情况下，将轴下方的图象沿x轴向上翻折，与轴交于点，连接，记上方（含点，）的抛物线为．①设点为上一动点，当取最大值时，求点的坐标．②在上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）；（3）①；②不存在点，见解析【解析】【分析】（1）令y=0，根据可得出，求解即可；（2）由题意可知：点坐标为，根据三角形的面积计算即可；（3）①先求出直线BC的解析式，设点的坐标为，过点向轴作垂线，交于点，根据三角形的面积计算即可；②分两种情况进行判断，当时，，证明也是等腰直角三角形，根据条件计算即可；当，证得，再根据三角形相似的性质与二次函数的性质计算即可；【详解】解：（1），∵，∴，解得，；∴，；（2）由题意可知：点坐标为，，∵，，∴.∴.（3）①如图2，由（2）可知，点坐标为.∴直线的解析式为.由翻折可知，的解析式为，设点的坐标为，过点向轴作垂线，交于点，.∵∴有最大值.当时，取最大值，此时.②不存在.详细解答过程：第一种情况，如图3，当时，，∵，∴.∵是等腰直角三角形，∴也是等腰直角三角形，∴，∴，∴点纵坐标为6，设，则时，代入的解析式得，，∴不存在点；第二种情况，如图4，当，，∴，∵，∴，∴，若，则，∴，设，则，解得，（舍去），∵的对称轴为，，当时，由图易知，∴舍去，∴不存在点；【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，结合三角形相似和等腰三角形的性质是解题的关键．4 .如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2－4x＋3；（2）=2；（3）存在符合条件的点E，且坐标为：、、、．【解析】【分析】（1）根据题意可设函数解析式为，然后把点C代入解析式求解即可；（2）由（1）及题意可设直线BC的解析式为y=kx＋3，然后求解，进而可求证△ACD为直角三角形，然后利用面积计算公式求解即可；（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有当∠DFE=90°，即 DF∥x轴和当∠EDF=90°，然后进行分类讨论求解即可．【详解】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为，代入C（0，3）后，得：，解得：a=1，∴抛物线的解析式：；（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；设直线BC的解析式为：y=kx＋3，代入点B的坐标后，得：3k＋3=0，k= －1，∴直线BC：y=－x＋3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；∴，，，即：，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；∴= AD?CD==2；（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：，解得当x=2+时，y=－x+3=1－；当x=2－时，y=－x+3=1+；∴、；②∠EDF=90°，易知，直线AD：y=x－1，联立抛物线的解析式有：，解得；当x=1时，y=-x+3=2；当x=4时，y=-x+3=-1；∴、；综上，存在符合条件的点E，且坐标为：、、、．【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形存在性的讨论是解题的关键．5 .如图①，在平面直角坐标系xOy中，批物线y＝x2﹣4x＋a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．（1）求抛物线的对称轴；（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线x＝2；（2）；（3）存在，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）．【解析】【分析】（1）y＝x2﹣4x＋a＝（x﹣2）2＋a﹣4，即可求解；（2）求出直线AM的解析式为y＝﹣2x＋a，联立方程组可解得点D的坐标（a，－a）；AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线。