蜂窝与数学.ppt

蜂窝与数学,蜂窝猜想及其推广,参考《如何破解达芬奇密码？》 [英] Richard Elwes 著 刘熙 译 等著作,采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜? 《蜂》——罗隐,自古以来，人类对于蜜蜂的勤劳以及蜂窝的巧妙精准无不赞扬有加从生物学的鼻祖亚里士多德（Aristotle），到数学家帕普斯（Pappus），以及近代的生物学家达尔文（Charles Robert Darwin）都曾经留下了赞美的语句 工蜂分泌蜂蜡筑成蜂窝，作为蜂王产卵、工蜂育幼以及存放蜂蜜、花粉的储藏室从正面来看，蜂窝是由许多正六边形的中空柱状储藏室连结而成，参见下图1，大家若具有实地见过蜂窝的经验当然是最好图 1,人类对于蜂窝的结构，由观察产生惊奇，进而提出了这样的一个数学问题：为什么蜂窝是正六边形？古代流行的一种理论说是因为正六边形最适合六条腿的蜜蜂操控，可人们又会问为什么是正六边形，而不是普通的六边形或其他形状呢？可见，这并不是一个能令人信服的答案，真正的解释需要用到复杂的数学知识，而不是简单地去数蜜蜂有几条腿为什么蜂窝是正六边形的？,蜂窝是由一个个管子组成的，蜂蜜就贮存在其中。

这些管子要完全相同，相邻的管子之间不能有空隙，且在一端开口那么问题就变成了：管子的横截面是什么形状才能保证消耗最少的蜂蜡？这个问题被称为蜂窝问题，它涉及到了等周问题一、蜂蜜的仓库,,对于等周问题，古希腊数学家芝诺多努斯（Zenodorus，约180年 B.C.）已经证得下列的结果：在所有 n 边形中，以正 n 边形的面积为最大，并且边数越多，面积也越大古埃及人已经知道，用同一种形状与大小的正多边形铺地，恰好只有三种样式，参见图2图2,公元320年前后，古希腊数学家帕普斯分析了这三种形状，他发现，每一个单位面积的正方形，其周长为4单位，同样面积的正三角形周长最大，约为4.6，正六边形的最小，约为3.7.因此，把它推广到三维，以正六边形为截面的管子比正三角形和正方形消耗更少的蜂蜡帕普斯评论：“蜜蜂知道正六边形优于正三角形和正方形，因而在消耗同样多材料的条件下正六边形结构能够存储更多的蜂蜜二、蜂窝的反扑,人们认为帕普斯已经完全解决了蜂窝的几何问题，然而，其实并没有他仅仅比较了三种可能的构型，但是，还有许多种形状可以使用，如长方形、直角三角形、或者一般的六边形等等，实际上，有无穷多可能的非规则形状都满足条件。

我们真的能够确定蜜蜂没有遗漏掉更好的、消耗蜂蜡更少的方法吗？这个问题的难度大大提高了，因为可能的图形有无穷多蜂窝猜想认为，答案依然是相同的：由正六边形组成的平面网络仍然是最节省蜂蜡的方法很多年来，人们甚至假定这就是事实，直到1999年T.黑尔才终于填补了这个空白，他的定理维护了蜜蜂的名誉：正六边形确实是最优的解三、人类笑到了最后,图3,,图4,蜂窝包含两层管状腔体，每一层都在一端开口，两层背靠背相接，其截面如图3蜜蜂为了更高效地使两层相结合，它将每一个管子的一端用3个全等的菱形封闭起来，如图4是一个管状的储藏室，其底部是由三个全等的菱形面 ASBR、ASCQ与 PBSC 所组成还是人类笑到了最后！,然而，在1965年，拉兹洛•费耶•托斯（Laszlo Fejes Toth）找到了一种比蜜蜂所用的方法更为节约的管状腔体的封闭方法他证明了，可以用两个正六边形和两个小正方形将管子封闭，同时消耗的蜂蜡比蜜蜂的菱形更少，如图5看来还是人类笑到了最后！,图 5,费耶•托斯的蜂窝,,,蜜蜂的蜂窝,四、开尔文猜想,类似地，把蜂窝猜想推广到三维，假设我们有一块较大的空间，要把它分成小的腔体，每个体积都相同，最简单的设计就是立方体晶格，但同时也有许多其他的可能性，哪种空间图形才是最优解即面积与体积比最小呢？在19世纪晚期，数学家兼物理学家开尔文（Kelvin）考虑了这个问题，得出结论认为一种人们今天称之为开尔文胞体的图形是最优解，如图6。

这种胞体是一种被称为截顶正八面体的图形，它由八个正六边形和六个正方形组成开尔文相信经由这些胞体所构成的系统能最有效地将空间划分为等体积晶格，即将构建材料最小化，但是，他无法证明这个想法的正确性图 6,开尔文胞体,开尔文胞体阵列,距离真理又近了一步，但真理还在远方！,这样的情况一直持续到1993年，这一年两位物理学家威尔（D.Weaire）和弗兰（R.Phelan）出人意料地否定了开尔文猜想他们对开尔文的胞体加以改进，发现了一种新形体，人们将其命名为威尔—弗兰泡沫 （Weaire-Phelan bubbles） ，这是一种非常复杂的形体，但是在所用材料上有了轻微的减少，事实上比开尔文胞体减少了0.3%一个威尔—弗兰单元是由六个十四面体和两个十二面体组成，同时表面还有一些不规则的弯曲，最终所拼成的泡沫有着醒目而有机的外观为了纪念这一突破性进展，威尔—弗兰泡沫被用于2008年的北京奥林匹克运动会游泳中心（水立方）的设计中但是，人们依然没有证明这是否就是最优解图 7,十二面体单元,十四面体单元,威尔—弗兰泡沫单元,从自然界中看似很简单的一个现象，人们得出了如此复杂而又有用处的数学知识因此，人类应该爱护自然，保护环境，竭力避免物种灭绝；同时，又要具有一双善于发现的眼睛，放飞想象的翅膀，从自然界和人类社会总结出数学知识或其他方面的知识，更好地造福大自然和人类社会！,五、爱护自然，保护环境,谢谢！,。