高等数学：mD1_2数列的极限.ppt

第一章,二 、收敛数列的性质,三 、极限存在准则,一、数列极限的定义,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数列的极限,数列,数列是特殊的函数,数列可以看成自变量是正整数n的函数有些数列很难看出通项,斐波那契数列： 对于这种递推型数列，只能特殊处理 下文提到的都是有通项表达式的数列极限,当n无限增大的时候，数列是否无限的接近于某个常数？,数学语言描述:,一 、数列极限的定义,引例.,设有半径为 r 的圆 ,逼近圆面积 S .,如图所示 , 可知,当 n 无限增大时,无限逼近 S (刘徽割圆术) ,当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积,总有,刘徽 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项) .,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释 :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,趋势不定,收 敛,发 散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,回顾老问题,数列收敛,数列不一定要单调趋近于a 数列与a的距离不一定单调减少。

数列 收敛到0,x(1)=0.841 x(2)=0.455 x(3)=0.047 x(4)=-0.189 x(5)=-0.192 x(6)=-0.047 x(7)=0.094 x(8)=0.124 x(9)=0.046 x(10)=-0.054 x(20)=0.046,x(30)=-0.033 x(40)=0.019 x(50)=-0.005 x(60)=-0.005 x(70)=0.011 x(80)=-0.012 x(90)=0.010 x(100)=-0.005 x(110)=-0.000 x(120)=0.005 x(130)=-0.007 x(140)=0.007 x(150)=-0.005 x(160)=0.001 x(170)=0.002 x(180)=-0.004 x(190)=0.005 x(200)=-0.004,例1. 已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,- N 语言,对于任意给定的0 都存在一个给定的N=（自己计算好） 当nN时, 有 （自己计算好） 命题得证非常固定化的一套证明格式。

简单情况，直接解不等式,复杂情况下，可以放大不等式,复杂方程，不容易求出精确解,极限是数列的整体特性,收敛的数列，添加一项之后，还是收敛 收敛的数列，删除任意一项之后，还是收敛 收敛的数列，修改任意一项之后，还是收敛 收敛的数列，修改有限多项之后，还是收敛 类似的： 发散的数列，修改有限多项之后，还是发散二、收敛数列的性质,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,1. 收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 证明数列,是发散的.,证: 用反证法.,假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,取,则存在 N ,但因,交替取值 1 与1 ,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当 n N 时 , 有,因此该数列发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 收敛数列一定有界.,证: 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,虽有界但不收敛 .,有,数列,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 收敛数列的保号性.,若,且,时, 有,证:,对 a 0 ,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),机动 目录 上页 下页 返回 结束,*,4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .,证: 设数列,是数列,的任一子数列 .,若,则,当,时, 有,现取正整数 K , 使,于是当,时, 有,从而有,由此证明,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限 ,例如，,发散 !,则原数列一定发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,。