因式分解(竞赛班)答案.doc

第三讲 因式分解因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．【例1】将x4+8分解因式正确的是（　　） A、（x4﹣16） B、（x2+4）（x2﹣4） C、（x2+4）（x+2）（x﹣2） D、（x2+2）（x2﹣2）2考点：因式分解-运用公式法分析：先提取公因式，然后套用公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），再进一步分解因式．解答：解：x4+8，=（x4﹣16），=（x2﹣4）（x2+4），=（x﹣2）（x+2）（x2+4）．故选C．点评：本题考查了用公式法进行因式分解的能力，进行因式分解时，若一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再套用公式进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【例2】 20、分解因式：（x﹣3）（x﹣1）+1．考点：因式分解-运用公式法专题：常规题型分析：先根据多项式的乘法整理成多项式的一般形式，然后再利用完全平方公式进行因式分解．解答：解：（x﹣3）（x﹣1）+1=x2﹣4x+3+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．点评：本题考查了利用完全平方公式分解因式，先利用多项式的乘法整理成多项式的一般形式是解题的关键．【例3】分解因式x4﹣2x2+1.解：x4﹣2x2+1=（x2﹣1）2=[（x﹣1）（x+1）]2=（x﹣1）2（x+1）2.【例4】多项式x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz因式分解后的结果是（　　） A、（y﹣z）（x+y）（x﹣z） B、（y﹣z）（x﹣y）（x+z） C、（y+z）（x一y）（x+z） D、（y十z）（x+y）（x一z）考点：因式分解-分组分解法。

分析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式（y﹣z）x2+（z2+y2﹣2yz）x+z2y﹣y2z，再运用提取公因式法和十字相乘法分解因式．解答：解：x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz=（y﹣z）x2+（z2+y2﹣2yz）x+z2y﹣y2z=（y﹣z）x2+（y﹣z）2x﹣yz（y﹣z）=（y﹣z）[x2+（y﹣z）x﹣yz]=（y﹣z）（x+y）（x﹣z）．故选A．点评：本题考查了用分组分解法进行因式分解，难点是将原式重新整理成关于x的二次三项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例5】分解因式：（x2+3x）2﹣2（x2+3x）﹣8=　（x+1）（x+2）（x﹣1）（x+4）　．考点：因式分解-十字相乘法等分析：将（x2+3x）看做一个整体，用十字相乘法来分解，对分解后的两个多项式再运用十字相乘法进一步分解．解答：解：（x2+3x）2﹣2（x2+3x）﹣8=[（x2+3x）﹣4][（x2+3x）+2]=（x2+3x﹣4）（x2+3x+2]=（x+1）（x+2）（x﹣1）（x+4）点评：同学们要明白对于十字相乘法中x、a、b对于代数式，仍然成立．【例6】分解因式：x（x﹣2）（x+3）（x+1）+8=　x+2）（x﹣1）（x2+x﹣4）　．考点：因式分解-十字相乘法等。

专题：因式分解分析：分别把（x﹣2）和（x+3）、x和（x+1）相乘，然后变为（x2+x﹣6）（x2+x），接着把x2+x作为一个整体因式分解，然后即可求解．解答：解：x（x﹣2）（x+3）（x+1）+8=（x﹣2）（x+3）x（x+1）+8=（x2+x﹣6）（x2+x）+8=（x2+x）2﹣6（x2+x）+8=（x2+x﹣2）（x2+x﹣4）=（x+2）（x﹣1）（x2+x﹣4）．故答案为：（x+2）（x﹣1）（x2+x﹣4）．点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题的时候重新分组做乘法，同时也注意利用整体思想解决问题．【例7】分解因式：（x4+x2﹣4）（x4+x2+3）+10=　（x4+x2+1）（x2+2）（x+1）（x﹣1）　．考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法专题：换元法分析：首先利用换元，令x4+x2=y，然后根据十字相乘法进行因式分解，最后再将x4+x2=y，代入进行还原，得出结果．解答：解：令x4+x2=y，∴原式=（y﹣4）（y+3）+10=y2﹣y﹣2=（y+1）（y﹣2）将x4+x2=y代入，所以原式=（x4+x2+1）（x4+x2﹣2）=（x4+x2+1）（x2+2）（x2﹣1）=（x4+x2+1）（x2+2）（x+1）（x﹣1）．故答案为为（x4+x2+1）（x2+2）（x+1）（x﹣1）．点评：本题综合考查了十字相乘法和换元法，做这类题必须要记得还原回去，不能得出的结果为（y+1）（y﹣2）．【例8】（1）完成下列配方问题：x2+2px+1=[x2+2px+（　p2）]+（　1﹣p2）=（x+　p　）2+（　1﹣p2）（2）分解因式：a2﹣b2+4a+2b+3的结果是　（a+b+1）（a﹣b+3）　．考点：配方法的应用。

专题：配方法分析：（1）由于二次项系数为1，那么组成完全平方式的第三项应是第二项系数的一半，最后的结果应和原来的代数式相等；（2）题中有4a，2b，应为完全平方式的第二项，整理为两个完全平方式的差的形式，进而用平方差公式展开即可．解答：解：（1）x2+2px+1=[x2+2px+（p2）]+（1﹣p2）=（x+p）2+（ 1﹣p2）；故答案为p2；1﹣p2；p；1﹣p2；（2）a2﹣b2+4a+2b+3，=（a2+4a+4）﹣（b2﹣2b+1），=（a+2）2﹣（b﹣1）2，=（a+2+b﹣1）（a+2﹣b+1），=（a+b+1）（a﹣b+3）．故答案为：（a+b+1）（a﹣b+3）．点评：本题考查了配方法的应用，把所给代数式整理为有完全平方式子的形式是解决问题的突破点；用到的知识点为a2±2ab+b2=（a±b）2．【例9】a4+4分解因式的结果是（　　） A、（a2+2a﹣2）（a2﹣2a+2） B、（a2+2a﹣2）（a2﹣2a﹣2） C、（a2+2a+2）（a2﹣2a﹣2） D、（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）考点：因式分解-十字相乘法等分析：先将a4+4变为a4+4+4a2﹣4a2，再将a4+4+4a2看为一个整体，用完全平方公式分解，原式=（a2+2）2﹣4a2，再利用平方差公式分解．解答：解：a4+4=a4+4+4a2﹣4a2=（a2+2）2﹣4a2=（a2﹣2a+2）（a2+2a+2）故选D点评：在因式分解中，为能够运用平方差公式、完全平方公式，因而可以通过减去一项或再加上相同的项来解决．【例10】如果x2﹣x﹣1是x3+bx2+1的一个因式，则b的值为（　　） A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、2考点：因式分解的意义。

专题：因式分解分析：由题意x2﹣x﹣1是ax3+bx2+1的一个因式，可得x3+bx2+1=（x2﹣x﹣1）（x+c）将右边展开，然后根据系数相等，求出b值．解答：解：∵x2﹣x﹣1是x3+bx2+1的一个因式，∴x3+bx2+1=（x2﹣x﹣1）（x+c）=x3+（c﹣1）x2﹣（c+1）x﹣c∴c﹣1=b，c+1=0，﹣c=1，∴b=﹣2，故选A．点评：此题主要考查因式分解的意义，要注意因式分解的一般步骤：：①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法； 如果多项式超过三项应思考用完全平方公式法；③分解因式时必须要分解到不能再分解为止．训练题1.将多项式x4﹣2x2﹣3分解因式，结果正确的是（　　） A、（x2+3）（x2﹣1） B、（x2+1）（x2﹣3） C、（x2+3）（x﹣1）（x+1） D、（x2+1）（x﹣3）（x+3）考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法专题：常规题型分析：因为﹣3×1=﹣3，﹣3+1=﹣2，所以利用十字相乘法分解因式即可，但一定要分解到不能分解为止．解答：解：x4﹣2x2﹣3=（x2+3）（x2﹣1）=（x2+3）（x﹣1）（x+1）．故选C．点评：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行两次因式分解，分解因式一定要彻底．2.分解因式xy2﹣2xy+2y﹣4=　（y﹣2）（xy+2）　．考点：因式分解-分组分解法。

分析：此题需要两两分组，即一二项一组，三四项一组，分别提公因式，即可得到公因式（y﹣2），则问题得解．解答：解：xy2﹣2xy+2y﹣4，=（xy2﹣2xy）+（2y﹣4），=xy（y﹣2）+2（y﹣2），=（y﹣2）（xy+2）．故答案为：（y﹣2）（xy+2）．点评：本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．注意将此题一二项一组，三四项一组分为两组，再提公因式分解即可．3.分解因式：﹣4（a﹣b）2+16（a+b）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用分析：先提公因式﹣4，再对余下的多项式利用平方差公式分解，将a﹣b和a+b看作一个整体．解答：解：﹣4（a﹣b）2+16（a+b）2，=﹣4[（a﹣b）2﹣4（a+b）2]，=﹣4[（a﹣b）﹣2（a+b）][（a﹣b）+2（a+b）]，=﹣4（a﹣b﹣2a﹣2b）（a﹣b+2a+2b），=4（a+3b）（3a+b）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，计算时要注意整体思想的利用和运算符号的处理．4.4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3=　（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）　．考点：因式分解-分组分解法。

专题：计算题分析：首先把﹣3变为1﹣4，多项式变为（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4），然后利用公式法分解因式，接着利用提取公因式法分解因式即可求解．解答：解：原式=（4x2﹣4x+1）+（y2﹣4y+4）=（2x﹣1）2﹣（y﹣2）2=（2x﹣1+y﹣2）（2x﹣1﹣y+2）=（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）．故答案为：（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）．点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，其中直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配．5.分解因式：4x2﹣9y2+12y﹣4=　（2x﹣3y+2）（2x+3y﹣2）　．考点：因式分解-分组分解法分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有y的二次项，y的一次项，有常数项．所以要考虑﹣9y2+12y﹣4为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第一项利用平方差公式继续分解因式．解答：解：4x2﹣9y2+12y﹣4，=4x2﹣（9y2﹣12y+4），=（2x）2﹣（3y﹣2）2，=（2x﹣3y+2）（2x+3y﹣2）．点评：本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有y的二次项，y的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．6.分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12=　（x2+x+5）（x2+x﹣2）　．考点：因式分解-十字相乘法等。