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场 问题的有限 点法·徐国华施浒立提要?本文利用图的概念与方法,从图的观 点来处理 场的问题导出了与有限单元法相 应 的法方程组,并由关联矩阵的棍念及其性质,使形成法方程组的系数矩阵时较 有限单元法更规范、更灵活方便,时 有限单元 法作了某些改进可节省存贮单元,缩短上机时间引言在 许多科学、技术问题中,常 常要考察某种物理量?如 位移、应力、温度、电位等 在空间的 分布和变化规律为了揭示和探讨这些规律,往往引进场的概念如在所研究的全部空间 或部分空间里 的每一点,都对应着某个物理 量的一个确定 的值,则称在 此空 间里确定了该物理量的场,如 位移场、应力场、温度场、电磁场等等对于许多工程实际问题所对应 的场问题,要求解既要符合实际 情况,又要能得到严格的解析解,几乎是 不太可能的为此,对于介质和边界条件较为复杂的问题,大们往往依靠数值分析方法,给 出近 似的,然而是较为符合实际情况的数值解在大多数数值分析方法中,解答仅在场的离散点处给 出场变量 的近似值在 电子计算机出现之前,提出的许多数值分析方法中,而且现在计算机上采用 的,最有名的大概就是有限差分法而用 于近代计算的其它类型的经典方法,有象最小二乘法沐样的剩余法,以及象里茨那样的变分 法。

而有限单元法主要是电子计算机时代的产物,它实质上是品种基于变分原理基础上 的有限差分法该 方法 既能给 出场中离散点处场变量的近似数值解,又 能给出场变量的分片解析解有限单元 法跟所有的数值分析方法一样,也是基于离散化的概念,但作为一种变分法或剩余法来说,该方法考虑到了场 的多维连续性,所以有限元 解尽管是在场中有限个离靛结点处得到的,然而场变量模型的建立提供了场中所有位 置处的解它与其它的变分法与剩余法不 同,有限 单元法不需要必须适用于 整个多维连续 空间 的试探解它对于各个子 空间?或单元 采用各自的试探解这就使我们 在研究复杂形状 的连 续介质空间时有了较大的灵活性同时 它在处理问题 的边界 条件时,也不 需要每个试 探解都满足边界条件,而是 在求得场 问题的相应 的 法方程?代数方程 之后,再 引进 边界条件,这是有别 于其它变分 法或剩余 法的另一个显著 的 优点正 由于边界条件不进 入单元的关系式,所以对于内部和边界上 的单元都能 采用同样的场 变量模型而且当边界条件碑变时,场变量模型不需要改变因此,有限单 元法能处理比较复杂的边界条件!同时 又能成功地 用于表示复杂的介质性质。

而其 它数值分析方法都是很难做到这一点的有 限单元法的另一个重要特点是能系统地编 制出计算机程序来解决有关场变量问题 的各种实际问题有 限单元法作为一种分析方法来说,目前已经发展到了相当高的水平,但由于方法本身的 局限性,尚不能满意地解决某些复 杂的实际问题,如 固体力学 中的裂纹与断裂性态问题、‘∀ #∃西北电讯工程学院学报第三期接 触 问题、复合材料的胶结破坏等问题以及象我们在雷达夭线 设计问题中,所碰到的结构变形对电性能 的影响 问题,这是属于电浦编写位移场组合而康约复合场的问题为此,我们希 望对有限元 法在方法的建立过程方面作一些改进,使其在建立场向题的法方程时更规范化,使其在处 理 问题时 更具有灵活性因此,我们利用图论中的某些 知 识,从图的观点来处理场的问题,尝试对方法 本身作一 些改进,以适应某些实际 问题 的处理和解决本文提出的有限点 法,纯属粗浅设想,尚不成熟,仅供讨论图的某些基本概 念几何图几何图是满 足每一 条边恰好联接在两个?或一个 顶点上,除了顶点以外,边没有任何公共点的这样一些顶点和边的集合抽象圈抽象图是 由一个非空集合%和一个与%不相交的集合,则=,6,当边= 和节点>关联,且边」的方向离开节点>,( >=,一6,当边=和节点>关联,且边 =的方 向指向节点>!( >=,9,当边 =和节点>无关联。

矩阵二6,Α,⋯,Β这Β个子空间通过:个节点和;条边互相连接,用这Β个子空间的集合来代替原空间Χ再把每个子空间所对应的场 的物理特性?位移场为刚度与质量 凝聚到柑应的节点上去而节点的物 理特性可 看成是通过 相关联 的边 相互影响,其影响的程度称为影响度?对位移场而言可称为边 的刚度 这样就 把该 问题的场,用一个具有相应物理特性的图 来表示,记 为/,?5,2, ,其中5为节点的集合,2为边的集合,(为关联映射节点间影晌度的趁立今以平 面位移场为例为简单起见,取 图Δ所示的三角形网格,将8分成两个子 空间对应的图记为3,?5,2,△ ·· 沐之之匀匀ΕΕΕ图Α图Δ其中点集?5?>,>,Φ,Γ 边集?2?1,,1?,?Δ,?# ,2 关联映射?△?1工 二?>,> ,么??Α二?=,△??Δ,?Φ,> !△?1‘ 二?=,Γ ,△?1二、长,Φ 选取座标系如图考虑真子图3在子空间中,如选取线性场变量模型?可以根据实际情况假设 为?68习9年场何笼的有限点法扩∀ΗΙϑ乙Κ其中6醉为场变量幅度,Λ,0为分量 值⋯⋯,(节点>,=,Φ处的场变量 幅度记为?「“‘ϑ乙Κ‘,Μ各=口≅也6?Α 乙ΦΝΟΠ ϑ,【·>·>·=·=一ΧΘ,、∃户Φ、∃ ≅) )尸,∃ ∃几4Ρ己」门 6 白∀ ? 3‘Σ,Ρ>月ΡΦ·6各八Ν龟9‘了、户≅Τ毛%,‘/0 12仪13其中将式4∀ 5代入式4 !5的左端,并在右端将三个节点座标值代入,消 去6,,得、、−。

789:;9:9二46>??>≅?Α>Β5ΧΔΕ9:746:??Φ∗?Α:Β5ΧΔΕ97≅:Β二Β :一Β7一≅:?≅,:,,:,,:,:‘ 了、了、令上式左端为一−5式中的−1即为与节点1相邻的各边 的作用量 之代数和,亦即节点1的场内作用量由式4,5、4>5得26二−1或21一− 63:4∃:5 即节点6的场内作用 量和外作用 量的总 和为零,也就是节点平衡方程式由图0所示的 图的关联矩阵的性质,可推得边的作用量与节点的内作用量的关系式%4∃ ∃5ς. ∋月 +.∋少? ??6!− −−− −≅ΑΒΒ∃ Χ ΒΒΒ 匕一一6习∀9年场何姗的有限点法孙将?6 6 式缩写成为边>的影响度将式?6 Η 展开成嵘6∀ 、 Ρ ≅ Μ Τ Τ) )>Τ一Λ ≅ 甸?⋯Λ ;一Τ∃ΤΤ%勺/∋∋. .夕.勺α ∋∋. ∋!!一Μ.匕」ΜΜΜ产 ⋯.、场问瓜 的教学摸型由4! ∃5式ΕΞΦ7Ζ[由4!⎯5式ΞΦ7Μ )由4!]5式)7ΕΨ乙[将4! ]5式代 入4! ⎯5式,得∗Ξ∗7ΜΕΨ各[将4!β5式代入4!∃5式,得∗八ΜΕΨ各7Ζ[4∀ 5式 即为场 的法方 程组其中令Ε ΜΕΨ7ΑΑ称为影响矩阵4刚度矩阵5。

那末4∀ 5式,Α 乙7Ζ[即为法 方程组4!χ54∀ 5亦可写成4∀ !5例题设有一悬臂梁,其就为,,泊桑比、7音一悬臂梁端受有均布力作用,载荷密度为Ο4 δ7Ο Ρε 5,求悬臂端的位移具体尺寸 见图仇,解∗!.用三角形网格把场离散成两个子辛间4为简单起见5,如图⎯所示Χ 4: Δ,5丁?‘界,,,’ 吻多之那 Ε4Φ,Φ,Γ‘么; 5Η图8图.选取 坐标系如图.所示节点编号及各边编号亦如图.所示计算各节点坐标68∀9年场何翻的有限点法∃86∃一一”∃ ∃ ,,Ξ ,门∃一∃∃ ,∃ Ξ 甲一,口,一一一一一 一一一4 一Π 一#表示真子图3 ,?ς一,?6,△ 5?,??,?,5Ιϑ二4∃,0,75;二4Κ%,Ι%,△5二4?,,!5二47,Λ,95的‘名Μ ΙΛ计算各边的影响度9一7,曰月任 ∃:0ΝΧ3Ν??Ν Ο3 3Ν? 〕」,Χ月二?%=,,Π2∀自 一!一/1 11 Φ2Ν 1 Φ1 1 φ1 1 1 1 φ 护φ# Θ Ρ一γ# Θ Ρ一能# Θ Ρ一γ 一一一一一一Ω#7Ω?!一7Ν户Ν ? 二9ΠΘ97Ρ一7〕7,曰一∃Ν=“Ν !二ΣΣ 鲁一一 「9一7一7〕8∗生成总 影响 矩阵4即总刚阵5。

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