高等结构动力学1-3.ppt

○ 弹簧的等效质量,在图示中，设弹簧 具有质量，其单位长度的质量为 ，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面就来讨论这个问题图示 弹簧等效质量系统示意图,设质量 的位移用 表示，弹簧的长度为 ，那么距左端为 的质量为 的微单元的位移则可假设为 ，设 为常数§2.3 有阻尼单自由度体系自由振动,根据Lagrange方程,则系统的动能和势能可分别表示为,§2.3 有阻尼单自由度体系自由振动,可得,此处 称为等效质量可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到,上式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的等效质量，当然，前提是假设弹簧按 规律变形的如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不同§2.3 有阻尼单自由度体系自由振动,§2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动,简谐激励:激励力函数表示成三角函数的形式,……(1),1.运动方程的解,设,………(2),将(2)式代入(1)式,衰减振动的响应,设静变形,动力放大系数 ：表示振幅相对于静变形的放大倍数稳态响应,初位移、初速度引起的自由振动分量,动荷载激起的按结构自振频率振动的分量,称为伴随自由振动,纯受迫振动,2.有阻尼受迫振动的特点,(1)稳态受迫振动的频率等于激振频率 (2)稳态受迫振动的振幅X与初始条件无关, 且不随时间变化 (3)幅频响应特性曲线: 根据 之间 的关系式可画出它们之间 的关系曲线,称为幅频响应特性曲线. (4)当,---共振,增函数,减函数,(5),激励力可作静载荷处理,为避开共振 一般应大于1.25 或小于0.75.,β,λ,随 增大而减小,阻尼在共振区内影响显著,在共振区外可不计阻尼.,的最大值并不发生在,位移滞后于荷载,(6)由,(7).有阻尼受迫振动时动位移和激振力的相位不同,λ,φ,当 时， 无论阻尼比为何值，位移相应滞后的相位差总是等于 即 这是共振的另一个重要的特征 相位共振法可测定系统的固有角频率,对于无阻尼的情况：,§2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动,,z=[0.0001,0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,0.9,0.99], w=2, x0=1, v0=0, tf=100 激振频率=0.5,F0=10 SDT1_3 ([0.0001,0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,0.9,0.99],2,0.5,10,100),§2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动,例题：书上习题2-31,,,§2.5 周期激励下的动力响应,周期荷载P(t)（设周期为Tf）下的稳态反应 周期荷载的Fourier展开为,,,,,,,,,也可写成,其中,§2.5 周期激励下的动力响应,,,这表明，周期荷载可分解成一个常量荷载和一系列简谐荷载的叠加。

在a0/2作用下产生xst=a0/2k的静位移 在aicosit和bisinit简谐荷载下（稳态解）,§2.5 周期激励下的动力响应,,,,§2.5 周期激励下的动力响应,● 谐波分析法,谐波分析法：将周期激励力展成傅里叶级数的分析方法称为谐波分析法 频谱图：以各阶频率为横坐标，做出 离散图形称作频谱图频谱分析法：根据频谱图分析周期激励力的响应状况称作频谱分析法 可见，一个周期振动过程可视为频率顺次为基频ω1 及其整数倍的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程 这些分量依据n =1，2，3, … 分别称为基频分量、二倍频分量、三倍频分量等基频分量有时称为基波，n倍频分量则称为n次谐波 周期函数的的频谱总是由若干沿f轴离散分布的普线组成，普线长度分别代表频率分量的幅值和初相位以f（或ω ）为横坐标， cn和φn为纵坐标，得到的cn－f 和 φn －f 图分别称为幅值谱和相位谱，统称为傅里叶频谱§2.5 周期激励下的动力响应,例 -1有一振动波形，经傅里叶分解后，其表达式为 该波形只有两个简谐分量，它的频谱图见图 (b)、(c)§2.5 周期激励下的动力响应,我们在图(a)中同时给出了该振动量随时间变化的曲线。

图(a)称为振动的时间历程曲线，为时域曲线；图(b) 及图 (c)则为同一振动量的频域表达法§2.5 周期激励下的动力响应,例-2已知 一周期性矩形波如图所示,作用在单自由度系统上, 刚度为k, (1)试对其作谐波分析 (2) 求稳态响应,,,,,,,,,,,,,,,,T,F(t),F0,-F0,t,§2.5 周期激励下的动力响应,§2.5 周期激励下的动力响应,,,,,,,,,,,,,,,,T,F0,-F0,,,,,§2.5 周期激励下的动力响应,§2.6 转子系统临界转速的概念,图2.6-1 单盘转子示意图,图2.6-2 圆盘的瞬时位置及力,设有一转子如图2.6-1所示，其中Oxyz是固定坐标系，无质量的弹性轴的弯曲刚度为EJ ，在跨中安装有质量为m的刚性薄盘由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为e 当转子以等角速度ω自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生动挠度，并随之带动圆盘公转由材料力学可知，对于图2.6-3所示的模型,图2.6-3,§2.6 转子系统临界转速的概念,（2-1）,（2-2）,设圆盘在瞬时t 的状态如图2.6-2所示，这时弹性轴因有动挠度 而对圆盘的作用力为 ，它在坐标轴上的投影分别为,根据质心运动定理，可得,由图2.6-4的几何关系知,对上式求两次导数，可得,设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为,图2.6-4,§2.6 转子系统临界转速的概念,（2-3）,（2-4）,（2-5）,（2-6）,把（2-6）代入（2-4），得到转子模型的运动微分方程,可改写为,式中,（2-8）,把（2-8）式与有阻尼单自由度系统的受迫振动运动方程作一比较，显然两者在数学形式上是完全相同的。

§2.6 转子系统临界转速的概念,（2-7）,把（2-9）代入（2-8）中，得到,由此可见， O'点绕固定坐标系的Oz 轴在作圆周运动因此引用其求稳态解的方法，设,§2.6 转子系统临界转速的概念,（2-9）,（2-10）,可见圆周运动的半径就是轴的动挠度r ，角速度等于轴的自转角速度ω ，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在相位差φ 即有,（2-12）,对照几何关系,§2.6 转子系统临界转速的概念,（2-11）,根据（2-10）式可绘出在不同ζ 值时，r和φ 随ω值变化的曲线，分别如图2.6-5与图2.6-6所示图2.6-5 转子动挠度的幅值-转速曲线(左),图2.6-6 转子动挠度的相位-转速曲线(右),§2.6 转子系统临界转速的概念, 由于φ的存在，在一般情况下，O 、O'和 C三点并不在一条直线上，而总是成一个三角形 ΔOO'C ，而且ΔOO'C 的形状在转子以等角速度 ω旋转过程中保持不变 当ω＞＞ωn时，φ→π，这三点又近似在一直线上，但点C 位于 O和 O'之间，即所谓圆盘的轻边飞出，这种现象称为自动定心，也叫偏心转向 只有当 ω＜＜ ωn时，φ→0 ，这三点才近似在一直线上， O '点位于 O和 C之间，即所谓圆盘的重边飞出。

§2.6 转子系统临界转速的概念,根据国际标准，临界转速定义为：系统共振时发生主响应的特征转速，在这里就是使动挠度 取得极值的转速，r于是可利用条件,（2-13）,来确定临界转速，并以ωCr 表示由（2-12）式得,由此解得,（2-14）,§2.6 转子系统临界转速的概念,可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图2.6-7中也可以看出，各曲线的峰值都偏在ω= ωn 线的右边，这一点应特别注意图2.6-7 转子动挠度的幅值-转速曲线,§2.6 转子系统临界转速的概念, 实际转子系统总存在一定阻尼，动挠度不会无限大，但比一般转速下的动挠度大得多，足以造成转子破坏，因此，工程上要严格避免转子在临界转速附近工作可见，正确的临界转速分析计算，在转子设计和处理实际问题中都很重要 对于小阻尼情况 :,（2-15）, 对于无阻尼的理想情况，即ζ=0 ，在临界转速时，动挠度r 将达到无限大而相位角在临界转速之前为零，之后为π ，即在临界转速前后有相位突变， O 、 O'和 C三点始终在一条直线上§2.6 转子系统临界转速的概念,为了形象地表示自动定心（偏心转向）及在临界转速时的相位差 ，把 O、O‘及 C三点在不同转速时的相对位置表示在图 2.6-8上。

图2.6-8 在不同转速时的偏心位置,§2.6 转子系统临界转速的概念,。