计算方法-5.3 jacobi方法.ppt

2019/10/19,1,理论上，实对称矩阵A正交相似于以A的特征值为对角元 的 对角阵于是求实对称矩阵A的全部特征值和特征向量问题可转化为求正交相似矩阵P及相似对角阵Λ的问题问题是如何构造这样的正交矩阵呢? Jacobi方法就是通过构造特殊的正交矩阵 序列，通过相似变换使A的非对角线元素逐次零化来实现对角化的5.3 求对称矩阵的Jacobi方法,P为n阶可逆阵，则A与P－1AP相似，相似阵有相同的特征值,若A对称，则存在正交阵P(PTP=I)，使得,直接找P不大可能我们可以构造一系列特殊形式的正交阵P1,.,Pn对A作正交变换使得对角元素比重逐次增加，非对角元变小当非对角元已经小得无足轻重时，可以近似认为对角元就是A的所有特征值2019/10/19,2,2019/10/19,3,用途：用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量； 基本思路：用一系列正交变换对角化A，即逐步消去A的非对角元，从而得到A的全部特征值； 实质：找到一个正交矩阵V，使A对角化5.3.1 平面旋转矩阵与相似约化,先看一个简单的例子：,设 是二阶实对称矩阵，即a21=a12，,因为实对称矩阵与二元二次多项式是一一对应的，设A对应的二元二次多项式为：,,4,则在新的坐标中，二次曲线的方程化为,这个变换就是,上述变换将坐标轴进行旋转，因此称为旋转变换,其中,称为平面旋转矩阵,5,,,2019/10/19,6,由于,2019/10/19,7,即,相应的特征向量为,设A是n阶实对称矩阵，则它的所有特征值均为实数，所对应的n个特征向量是线性无关，且相互正交。

如果矩阵A和B相似，则它们具有相同的特征值P为可逆方阵,2019/10/19,8,一般的n阶平面旋转矩阵,5.3.2 雅可比方法,雅可比方法的基本思想是通过一系列的由平面旋转矩阵构成的正交变换将实对称矩阵逐步化为对角阵，从而得到A的全部特征值及其相应的特征向量因此对于n阶矩阵，首先引进Rn中的平面旋转变换：,记为,2019/10/19,9,其中,Pij为n维空间中的二维坐标旋转变换矩阵，称作平面旋转矩阵,2019/10/19,10,2019/10/19,11,2019/10/19,12,2019/10/19,13,对角线元素的平方之和,非对角线元素的平方之和,2019/10/19,14,2019/10/19,15,,,,,,2019/10/19,16,例1 用雅可比方法求矩阵,的特征值与特征向量,2019/10/19,17,得,2019/10/19,18,所以,2019/10/19,19,继续做下去,直到非对角线元素趋于零,进行九次变换后,得,A9的对角线元素就是A的特征值，即,相应的特征向量为,2019/10/19,20,相应的特征值的精确值,相应的特征向量为,由此可见，雅可比方法变换九次的结果已经相当精确了,2019/10/19,21,解 记 A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有,例2 用Jacobi 方法计算对称矩阵的全部特征值,从而有,2019/10/19,22,所以,再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得,2019/10/19,23,2019/10/19,24,从而A的特征值可取为 12.125825, 28.388761, 34.485401,2019/10/19,25,用雅可比方法求得的结果精度都比较高,特别是求得的特征向量正交性很好,所以雅可比方法是求实对称矩阵的全部特征值及其对应特征向量的一个较好的方法。

但由于上面介绍的雅可比方法,每次迭代都选取绝对值最大的非对角线元素作为消去对象,花费很多机器时间另外当矩阵是稀疏矩阵时,进行正交相似变换后并不能保证其稀疏的性质,所以对阶数较高的矩阵不宜采用这种方法再者，前面旋转相似变换矩阵已经变为零的非对角元素在后面的相似变换中可能还会变为非零元素因此，应在这些方面对Jacobi方法进行改进2019/10/19,26,2019/10/19,27,5.3.3 实用的雅可比方法,为了减少搜索非对角线绝对值最大元素的时间, 对经典的Jacobi方法可作进一步改进循环Jacobi方法: 按(1,2),(1,3),…,(1,n),(2,3),(2,4),…,(2,n),…,(n-1,n)的顺序, 对每个(i,j)的非零元素aij作Jacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至(A)为止循环Jacobi方法必须重复扫描，才能使｛Ak｝收敛于对角阵 ，计算量很大 在实际计算中，往往用一些特殊方法来控制扫描次数，减少计算量下面介 绍一种应用最为广泛的特殊循环Jacobi方法——过关Jacobi方法2019/10/19,28,,,2019/10/19,29,2019/10/19,30,。