四川省成都市新都一中数学选修2-3同步测试：第二章 随机变量及其分布 第6课时 离散型随机变量的均值与方差 .pdf

第 6 课时 离散型随机变量的均值与方差 基础达标(水平一) 1.某袋中装有除颜色外完全相同的 3 个白球和m个黑球,现从中随机摸取 1 个球,有放回地摸取 5 次,设摸 到的白球数为X,若E(X)=3,则D(X)=( ). A.B.C.D. 8 5 6 5 4 5 2 5 【解析】由题意知X~B,因为E(X)=5×=3,解得m=2,所以X~B,故D(X)=5× × = . (5, 3 𝑚 + 3) 3 𝑚 + 3 (5, 3 5) 3 5 2 5 6 5 【答案】B 2.设投掷一枚质地均匀的骰子的点数为ξ,则( ). A.E(ξ)=,D(ξ)= B.E(ξ)=,D(ξ)= 7 2 49 4 7 2 35 12 C.E(ξ)=,D(ξ)= D.E(ξ)=,D(ξ)= 49 4 7 2 49 4 35 16 【解析】由题意知,ξ的可能取值为 1,2,3,4,5,6. P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=P(ξ=6)=, 1 6 ∴E(ξ)=1× +2× +3× +4× +5× +6× =, 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 7 2 D(ξ)=+++4- 2+ +× =. (1 ‒ 7 2) 2 (2 ‒ 7 2) 2 (3 ‒ 7 2) 2 7 2 (5 ‒ 7 2) 2 (6 ‒ 7 2) 2 1 6 35 12 【答案】B 3.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=0,1,2,…,n,且E(ξ)=24,则D(ξ)的值为( ). 𝐶𝑘 𝑛( 2 3) 𝑘(1 3) 𝑛 ‒ 𝑘 A.8B.12 C.D.16 2 9 【解析】由题意可知ξ~B, (𝑛, 2 3) ∴E(ξ)= n=24,∴n=36. 2 3 ∴D(ξ)=n× ×=36× =8. 2 3 (1 ‒ 2 3) 2 9 【答案】A 4.某一供电网络有n个用电单位,若每个单位在一天中使用电的机会是p,则供电网络一天中平均用电的单 位个数是( ). A.np(1-p) B.npC.nD.p(1-p) 【解析】由题意知,一天中用电单位的个数X服从二项分布,即X~B(n,p),故E(X)=np. 【答案】B 5.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,甲做对的概率为 ,乙、丙做对的概率分别为m、n(mn),且 1 2 三位学生是否做对相互独立,记X为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为 X0123 P 1 4 ab 1 24 则X的数学期望为 . 【解析】由题意,得{ (1 ‒ 1 2)(1 ‒ 𝑚)(1 ‒ 𝑛) = 1 4, 1 2𝑚𝑛 = 1 24, ? 又mn,解得m=,n= . 1 3 1 4 由题意知,a= × × + × × + × × =, 1 2 2 3 3 4 1 2 1 3 3 4 1 2 2 3 1 4 11 24 b=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1- --= . 1 4 11 24 1 24 1 4 故E(X)=0× +1×+2× +3×=. 1 4 11 24 1 4 1 24 13 12 【答案】 13 12 6.一个人有n把钥匙,其中只有一把能打开他的房门,他随意地试开,并将打不开房门的钥匙除去,则打开房门 所试开次数X的数学期望是 . 【解析】由于每次打开房门的概率都是 ,因此E(X)=1× +2× +…+n× =. 1 𝑛 1 𝑛 1 𝑛 1 𝑛 𝑛 + 1 2 【答案】 𝑛 + 1 2 7.某市教育与环保部门联合组织该市中学生参加环保知识团体竞赛.根据比赛规则,某中学选拔出 8 名同学 组成参赛队,其中初中部选出的 3 名同学中有 2 名女生;高中部选出的 5 名同学中有 3 名女生.竞赛组委会将 从这 8 名同学中随机选出 4 人参加比赛. (1)设“选出的 4 人中恰有 2 名女生,而且这 2 名女生来自同一个部”为事件A,求事件A的概率P(A); (2)设X为选出的 4 人中女生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. 【解析】(1)由已知得P(A)==,所以事件A的概率为. 𝐶2 2𝐶 2 3+ 𝐶 2 3𝐶 2 3 𝐶4 8 6 35 6 35 (2)随机变量X的所有可能取值为 1,2,3,4. 由已知得P(X=k)=(k=1,2,3,4). 𝐶𝑘 5𝐶 4 ‒ 𝑘 3 𝐶4 8 所以随机变量X的分布列为 X1234 P 1 14 3 7 3 7 1 14 所以随机变量X的数学期望E(X)=1×+2× +3× +4×= . 1 14 3 7 3 7 1 14 5 2 拓展提升(水平二) 8.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体切割成 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取出一个 小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的均值为( ). A.B.C.D. 126 125 6 5 168 125 7 5 【解析】X的可能取值为 0,1,2,3. ①大正方体 8 个顶点处的 8 个小正方体涂有 3 个面,所以P(X=3)=; 8 125 ②大正方体每条棱上对应的小正方体除了两个顶点处的还有 3 个,一共 3×12=36 个小正方体涂有 2 个 面,所以P(X=2)=; 36 125 ③大正方体每个面上对应的小正方体除去棱上的还有 9 个,一共 9×6=54 个小正方体涂有 1 个面,所以 P(X=1)=; 54 125 ④还有 125-(8+36+54)=27 个没有涂漆的小正方体,所以P(X=0)=. 27 125 故E(X)=0×+1×+2×+3×= . 27 125 54 125 36 125 8 125 6 5 【答案】B 9.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发 3 次球,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到 3 次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)1.75,则p的取值范 围是( ). A. B.C.D. (0, 7 12) ( 7 12,1) (0, 1 2) ( 1 2,1) 【解析】由已知可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2, 则E(X)=1×p+2×(1-p)p+3×(1-p)2=p2-3p+31.75,解得p或p . 5 2 1 2 又p∈(0,1),所以p∈. (0, 1 2) 【答案】C 10.已知离散型随机变量X满足P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1x2,若E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为 2 3 1 3 4 3 2 9 . 【解析】由题意得 { 𝑥1× 2 3 + 𝑥2× 1 3 = 4 3, (𝑥1 ‒ 4 3) 2×2 3 +(𝑥2‒ 4 3) 2×1 3 = 2 9, ? 即{ 2𝑥1+ 𝑥2= 4, 2(𝑥1‒ 4 3) 2+ (𝑥2‒ 4 3) 2=2 3, ? 解得或 { 𝑥1= 5 3, 𝑥2= 2 3 ? { 𝑥1= 1, 𝑥2= 2. ? ∵x1x2,∴∴x1+x2=3. { 𝑥1= 1, 𝑥2= 2, ? 【答案】3 11.从一批产品中抽取 4 件做检验,这 4 件产品中优质品的件数记为n,如果n=3,再从这批产品中任取 4 件做 检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取 1 件做检验,若为优质品,则这批产 品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为 50%,且各件产品是否为优 质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求X的分布列及数学期望. 【解析】(1)设“第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品”为事件A,“第二次取出的 4 件产品都是优质 品”为事件B,“第一次取出的 4 件产品中全为优质品”为事件C,“第二次取出的 1 件产品是优质品”为事件 D,“这批产品通过检验”为事件E, ∴P(E)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=×× ×+×× =. 𝐶3 4 ( 1 2) 3 1 2 ( 1 2) 4 𝐶4 4 ( 1 2) 4 1 2 3 64 (2)X的可能取值为 400,500,800, 并且P(X=400)=1-×× -=, 𝐶3 4 ( 1 2) 3 1 2( 1 2) 4 11 16 P(X=500)==, ( 1 2) 4 1 16 P(X=800)=×× =, 𝐶3 4 ( 1 2) 3 1 2 1 4 ∴X的分布列为 X400500800 P 11 16 1 16 1 4 ∴E(X)=400×+500×+800× =506.25. 11 16 1 16 1 4 。