高等数学(同济第六版)课件第四、五章 4. 换元积分法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,1.,若 称函数,F,(,x,),为,f,(,x,),的,原函数,,,称,F,(,x,)+,C,为,f,(,x,),的不定积分2.,设,f,(,x,),在,[,a,,,b,],上连续，,F,(,x,),是,f,(,x,),的原函数，则,3.,设,f,(,x,),在,[,a,,,b,],上连续， 则,求积分,第四节 换元积分法,一、定积分的换元法,定理 设,(1),函数,f,(,x,),在,[,a,,,b,],上连续；,,,(2),函数,x,=φ(,t,),在,[,α,,,β,],上有连续导数,;,,(3),当,t,,在,[,α,,,β,],上变化时,,,,,x,=φ(,t,),在,[,a,,,b,],上变化，,,且,φ(,α,)=,a,, φ(,β,)=,b,;,,,则,应用换元公式时应注意,:,换积分限,.,,求出不定积分后代入新变量的上、下限,.,证 设,F,(,x,),是,f,(,x,),的一个原函数，,则 是 的一个原函数，,例,1,计算积分,解 令,基本类型,6,：当被积函数含有 时，,可做代换,解 令,证 令,x,=,－,t,,,则,dx,=,－,dt,例,2,设,f,(,x,),在,[,-,a,,,a,],上连续，,①,若,f,(,x,),为偶函数，则,②,若,f,(,x,),为奇函数，则,①,若,f,(,x,),为偶函数，,②,若,f,(,x,),为奇函数，,,,奇函数,,例,3,计算,偶函数,单位圆的面积,例,4,设,解 设,t,=,x,－,2,则,x=,1,时,,,t =,－,1;,x=,4,时,,,t,=2,例,5,若,f,(,x,),是,(,－,∞,,,＋,∞,),上以,T,为周期的连续函数，,证明,并由此计算,证,(1),记,(,令,),证,（,1,）设,例,6,若,f,(,x,),在,[0,1],上连续,,,证明,由此计算,,（,2,）设,练习,(1),计算,(2),证明,(1),(2),证,二、不定积分的换元法,定理,是单调的、可导的函数，且,,具有原函数，,,则,求微分,换元,积分,,,用法：,例,7,求积分,解 设,x,=,a,·,sin,t,,,则,dx,=,a,·,cos,tdt,例,8,求积分,解 令,x,=,a,·,tan,t,,例,8,求积分,另解 令,x,=,a·sht,，则,dx,=,a,·,chtdt,基本类型,7,：当被积函数含有 时，,可做代换,,x,＝,a,sin,t,基本类型,8,：当被积函数含有 时，,可做代换,,x,＝,a,tan,t,,或,x,＝,a,sh,t,基本类型,9,：当被积函数含有 时，,可做代换,,x,＝,a,sec,t,,或,x,＝,a,ch,t,。