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第一章第一章 静力学基本概念与物体受力分析静力学基本概念与物体受力分析第二章第二章 汇交力系汇交力系第三章第三章 力偶系力偶系第四章第四章 平面任意力系平面任意力系第五章第五章 空间任意力系空间任意力系第六章第六章 静力学专题静力学专题——桁架、摩擦、重心桁架、摩擦、重心第一篇第一篇 静力学静力学1工程力学静力学静力学主要研究：静力学主要研究： 物体的受力分析；物体的受力分析； 力系的简化；力系的简化； 力系的平衡条件及其应用力系的平衡条件及其应用引引 言言静力学是静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学研究物体在力系作用下平衡规律的科学2工程力学静力学 §1–1 静力学基本概念静力学基本概念 §1–2 静力学公理静力学公理 §1–3 约束与约束反力约束与约束反力 §1–4 物体的受力分析与受力图物体的受力分析与受力图 第一章第一章 静力学基本概念与物体受力分析静力学基本概念与物体受力分析3工程力学静力学第一章第一章 静力学基本概念与物体受力分析静力学基本概念与物体受力分析§1-1 §1-1 静力学基本概念静力学基本概念 是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态。

的状态 一一. .刚体刚体 就是在力的作用下，大小和形状都不变的物体就是在力的作用下，大小和形状都不变的物体二二. .平衡平衡4工程力学静力学4.4.力的单位：力的单位： 国际单位制：牛顿国际单位制：牛顿( (N) ) 千牛顿千牛顿( (kN) )三、力的概念三、力的概念1．定义．定义：：2. 力的效应：力的效应： ①①运动效应运动效应( (外效应外效应) ) ②②变形效应变形效应( (内效应内效应) )3. 力的三要素：力的三要素：大小，方向，作用点大小，方向，作用点AF力是物体间的相互机械作用力是物体间的相互机械作用5工程力学静力学5.5.力系：力系：是指作用在物体上的一群力是指作用在物体上的一群力6.6.等效力系：等效力系：两个力系的作用效果完全相同两个力系的作用效果完全相同7.7.力系的简化：力系的简化：用一个简单力系等效代替一个复用一个简单力系等效代替一个复杂力系8.8.合力：合力：如果一个力与一个力系等效，则称这个如果一个力与一个力系等效，则称这个力为力系的合力。

力为力系的合力9.9.平衡力系：平衡力系：物体在力系作用下处于平衡，我们物体在力系作用下处于平衡，我们称这个力系为平衡力系称这个力系为平衡力系F1ABCF2F3 6工程力学静力学§1-2 §1-2 静力学基本公理静力学基本公理 是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的实是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论公理公理1 1 二力平衡公理二力平衡公理作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 这两个力这两个力大小相等大小相等 | F1 | = | F2 | 方向相反方向相反 F1 = –F2 作用在同一直线上，作用在同一直线上， 作用于同一个物体上。

作用于同一个物体上刚体F1F2公理公理：7工程力学静力学说明说明：：①①对刚体来说，上面的条件是充要的　对刚体来说，上面的条件是充要的　 　　③③二力体二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体②②对变形体对变形体( (或多体中或多体中) )来说，上面的条件只是必要条件来说，上面的条件只是必要条件二力杆二力杆8工程力学静力学 在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用力系对刚体的作用 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一点，而不改变该力对刚体的效应点，而不改变该力对刚体的效应因此，对刚体来说，力作用三要素为：因此，对刚体来说，力作用三要素为：大小，方向，作用线大小，方向，作用线公理公理2 2 加减平衡力系原理加减平衡力系原理推论推论1：力的可传性原理：力的可传性原理9工程力学静力学公理公理3 3 力的平行四边形法则力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。

成的平行四边形的对角线来表示力的三角形法则力的三角形法则力的三角形法则力的三角形法则FRFR10工程力学静力学 刚刚体体受受三三力力作作用用而而平平衡衡，，若若其其中中两两力力作作用用线线汇汇交交于于一一点点，，则则另另一一力力的的作作用用线线必必汇汇交交于于同同一一点点，，且且三三力力的的作作用用线线共共面面必必共共面面，，在在特特殊殊情情况况下下，，力力在在无无穷穷远远处处汇汇交交—平平行行力力系系 ）） 推论推论2：三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理 ∴∴ 三力三力 必汇交，且共面必汇交，且共面[证证] ∵∵ 为平衡力系，为平衡力系，∴∴ 也为平衡力系也为平衡力系又又∵∵ 二力平衡必等值、反向、共线，二力平衡必等值、反向、共线，FR11工程力学静力学公理公理4 4 作用力和反作用力定律作用力和反作用力定律等值、反向、共线、异体、且同时存在等值、反向、共线、异体、且同时存在[例例] 吊灯12工程力学静力学公理公理5 5 刚化原理刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。

刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变 公理公理5告诉我们：处于平衡告诉我们：处于平衡状态的变形体，可用刚体静状态的变形体，可用刚体静力学的平衡理论力学的平衡理论13工程力学静力学§1-3 §1-3 约束与约束反力约束与约束反力一、概念一、概念位移不受限制的物体叫自由体位移不受限制的物体叫自由体自由体：自由体：14工程力学静力学位移受限制的物体叫非自由体位移受限制的物体叫非自由体非自由体：非自由体：15工程力学静力学①①大小常常是未知的；大小常常是未知的；②②方向总是与约束限制的物体的位移方向相反；方向总是与约束限制的物体的位移方向相反；③③作用点在物体与约束相接触的那一点作用点在物体与约束相接触的那一点约束力约束力特点：特点：G约束力：约束力：约束与非自由体接触相互产生了作用力，约束作用于约束与非自由体接触相互产生了作用力，约束作用于 非自由体上的力叫约束力或称为约束反力非自由体上的力叫约束力或称为约束反力 约束：约束：对非自由体的某些位移预先施加的限制条件称为约束对非自由体的某些位移预先施加的限制条件称为约束这里，约束是名词，而不是动词的约束这里，约束是名词，而不是动词的约束。

FGFN1FN216工程力学静力学二、约束类型和确定约束反力方向的方法：二、约束类型和确定约束反力方向的方法：1. 柔索：由柔软的绳索、链条或皮带构成的约束柔索：由柔软的绳索、链条或皮带构成的约束绳索类绳索类绳索类绳索类只能受拉只能受拉只能受拉只能受拉，，，，约束反力约束反力约束反力约束反力作用在接触点作用在接触点作用在接触点作用在接触点，，，，方向方向方向方向沿绳索背离物体沿绳索背离物体沿绳索背离物体沿绳索背离物体17工程力学静力学TF F1 1F F2 2约束力方向与所能限制的物体运动方向相反18工程力学静力学A约束力方向与所能限制的物体运动方向相反F F1 1F F2 219工程力学静力学柔绳约束柔绳约束胶带构成的约束柔索约束柔索约束20工程力学静力学柔绳约束柔绳约束链条构成的约束约束力方向与所能限制的物体运动方向相反21工程力学静力学绳索、链条、皮带绳索、链条、皮带柔柔 索索约束力方向与所能限制的物体运动方向相反22工程力学静力学约束反力约束反力作用在接触点处作用在接触点处，方向方向沿公法线，指向受力物体沿公法线，指向受力物体2 2 光滑支承面约束光滑支承面约束PNNPNANBNN23工程力学静力学凸轮顶杆机构24工程力学静力学固定铰支座：固定铰支座：物体与固定在地基或机架上的支座物体与固定在地基或机架上的支座有相同直径的孔，用一圆柱形销钉联结起来，这有相同直径的孔，用一圆柱形销钉联结起来，这种构造称为固定铰支座。

种构造称为固定铰支座中间铰：中间铰：如果两个有孔物体用销钉连接如果两个有孔物体用销钉连接 轴承：轴承： 3 3 光滑圆柱铰链约束光滑圆柱铰链约束25工程力学静力学光滑圆柱铰链约束光滑圆柱铰链约束圆柱铰链AAXAYAAFNFNFNFxFy约束反力过铰链中心，用XA、YA表示26工程力学静力学固定铰支座上摆上摆上摆上摆销钉销钉销钉销钉下摆下摆下摆下摆27工程力学静力学固定铰支座28工程力学静力学铰固定铰支座29工程力学静力学固定铰支座30工程力学静力学中间铰中间铰铰31工程力学静力学销钉销钉中间铰中间铰32工程力学静力学简化表示：约束力表示：33工程力学静力学4 4 活动铰支座活动铰支座（（辊轴支座）辊轴支座）在固定铰链支座的底部安装一排滚轮，可使支座沿固定支承面滚动34工程力学静力学上摆上摆上摆上摆销钉销钉销钉销钉底板底板底板底板滚轮滚轮滚轮滚轮活动铰支座35工程力学静力学活动铰支座36工程力学静力学其它表示其它表示FAAFBFCBCAFABFBCFC活动铰支座37工程力学静力学38工程力学静力学光滑圆柱铰链约束实例光滑圆柱铰链约束实例固定铰链支座活动铰链支座39工程力学静力学A空间空间5 5 光滑球铰链光滑球铰链反力是过球铰中心的反力是过球铰中心的反力是过球铰中心的反力是过球铰中心的F FA Ax x、、、、F FA Ay y、、、、F FAzAz三个分力。

三个分力三个分力三个分力F FAzAzF FA Ay yF FA Ax x40工程力学静力学6 二力构件二力构件41工程力学静力学二力构件二力构件二力构件的约束力沿连杆两端铰链的沿连杆两端铰链的连线，指向不定，连线，指向不定，通常假设受拉通常假设受拉42工程力学静力学翻斗车二力构件二力构件43工程力学静力学7 、其它约束约束反力垂直于滑道、导轨，指向亦待定约束反力垂直于滑道、导轨，指向亦待定滑道滑道、导轨导轨：F FN NF FN N44工程力学静力学 解决力学问题时，首先要解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体选定需要进行研究的物体选定需要进行研究的物体选定需要进行研究的物体，即，即选选择研究对象择研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公理分析它的受力情况，这个过程称为物体的公理分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析受力分析 §1-4 §1-4 物体的受力分析和受力图物体的受力分析和受力图作用在物体上的力有：一类是主动力：作用在物体上的力有：一类是主动力： 如重力如重力, ,风力风力, ,气体压力等。

气体压力等 二类是被动力：即约束反力二类是被动力：即约束反力一、受力分析一、受力分析45工程力学静力学补：解除约束原理补：解除约束原理当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部的约束除去，代之以相应的约束反力，则物体的平分或全部的约束除去，代之以相应的约束反力，则物体的平衡不受影响衡不受影响意义：意义：在解决实际物体的平衡问题时，可以将该物体所受的在解决实际物体的平衡问题时，可以将该物体所受的各种约束解除，而用相应的约束反力去代替它们对于物体的各种约束解除，而用相应的约束反力去代替它们对于物体的作用这时，物体在所有主动力和约束力作用下，仍然保持作用这时，物体在所有主动力和约束力作用下，仍然保持平衡，但物体已经被抽象成为一个不受任何约束作用的自由平衡，但物体已经被抽象成为一个不受任何约束作用的自由体了，因而就可利用静力学所得出的关于自由刚体的平衡条体了，因而就可利用静力学所得出的关于自由刚体的平衡条件来解决受有各种不同约束的物体的平衡问题件来解决受有各种不同约束的物体的平衡问题46工程力学静力学画物体受力图主要步骤为画物体受力图主要步骤为： ①①选研究对象；选研究对象； ② ②去约束，取分离体；去约束，取分离体； ③ ③画上主动力；画上主动力； ④ ④画出约束反力。

画出约束反力二、受力图二、受力图[例例1]OWFDFEFAxFAyFBFAFBABDABDG47工程力学静力学[例例2] 画出下列各构件的受力图画出下列各构件的受力图QAOBCDEQFOF'F1FOF1'CFCF2ACDBEFAFBFC'48工程力学静力学[例例2] 画出下列各构件的受力图画出下列各构件的受力图QAOBCDEACDBEFAFBFAADCFDDEFECBEFBFC'FE'FD'FC1FC2CFC1'FC2'FC'49工程力学静力学CBDDE[例例3] 画出下列各构件的受力图画出下列各构件的受力图说明：说明：说明：说明：三力平衡必汇交三力平衡必汇交当三力平行时，在无限当三力平行时，在无限远处汇交，它是一种特远处汇交，它是一种特殊情况殊情况FAFBQFDFEFCABFB'FD'50工程力学静力学[例例4] 尖点问题尖点问题QFCFAFBQFCFB51工程力学静力学B[例例5] 画出下列各构件的受力图画出下列各构件的受力图WFTFBxFHFByFH'FDFCCDCBAFAxFAyFDFTFAxFAyFHFC'FBy'FBx'52工程力学静力学ABCBAC53工程力学静力学例题：例题：如图所示，重物重G = 20 kN,用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。

杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试画出杆AB和BC以及滑轮B的受力图A AB BD DC CG G30o60o54工程力学静力学1. 杆AB的受力图2. 杆BC 的受力图F FABABF FBABA’ ’F FCBCBF FBCBC’ ’A AB BB BC C55工程力学静力学F F2 2F F1 1F F2 2F F1 13. 滑轮B ( 不带销钉）的受力图 4. 滑轮B ( 带销钉）的受力图F FBABA30oF FBCBC60oB BB B56工程力学静力学三、画受力图应注意的问题三、画受力图应注意的问题除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处必有力，力的方向由约束类型而定必有力，力的方向由约束类型而定2、不要多画力、不要多画力要注意力是物体之间的相互机械作用因此对要注意力是物体之间的相互机械作用因此对于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出它是哪一个施力体施加的。

它是哪一个施力体施加的1、不要漏画力、不要漏画力解除约束后，才能画约束力！！！解除约束后，才能画约束力！！！57工程力学静力学约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想在分析能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想在分析两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不要把箭头方向画错不要把箭头方向画错3、不要画错力的方向、不要画错力的方向 即受力图一定要画在分离体上即受力图一定要画在分离体上4、受力图上不能再带约束受力图上不能再带约束58工程力学静力学一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有可能不同当物体系统拆开来分析时，原系统的部分可能不同当物体系统拆开来分析时，原系统的部分内力，就成为新研究对象的外力内力，就成为新研究对象的外力对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局部或单个物体的受力图上要与之保持一致。

部或单个物体的受力图上要与之保持一致 5、受力图上只画外力，不画内力受力图上只画外力，不画内力 6 、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相 互协调，不能相互矛盾互协调，不能相互矛盾7 、正确判断二力构件正确判断二力构件59工程力学静力学1－－31－－41－－560工程力学静力学6161工程力学静力学62汇交力系汇交力系： 各力的作用线汇交于一点的力系各力的作用线汇交于一点的力系引引 言言 ①①汇交力系汇交力系 力系力系 ②②力偶系力偶系 ③③一般力系一般力系(任意力系任意力系)研究方法：几何法，解析法研究方法：几何法，解析法例：起重机的挂钩力系分为：平面力系、空间力系力系分为：平面力系、空间力系FF1F262工程力学静力学63 §2–1 汇交力系合成和平衡的几何法汇交力系合成和平衡的几何法 §2–2 汇交力系合成和平衡的解析法汇交力系合成和平衡的解析法 第二章第二章 汇交力系汇交力系63工程力学静力学64§2-1 §2-1 汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系合成与平衡的几何法一、合成的几何法一、合成的几何法1.1.两个共点力的合成两个共点力的合成合力方向可应用正弦定理确定：合力方向可应用正弦定理确定：由余弦定理：由余弦定理：力的平行四边形法则力的平行四边形法则力的平行四边形法则力的平行四边形法则力的三角形法则力的三角形法则力的三角形法则力的三角形法则FRFR64工程力学静力学65FR2. 任意个共点力的合成任意个共点力的合成力多边形法则力多边形法则力多边形法则力多边形法则 即：汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用即：汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。

线通过各力的汇交点即：即：即：即：结论：结论：FR65工程力学静力学66二、汇交力系平衡的几何条件二、汇交力系平衡的几何条件 在几何法求力系的合力中，合在几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭力为零意味着力多边形自行封闭汇交力系平衡的充要条件是：汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭力多边形自行封闭或：或：力系中各力的矢量和等于零力系中各力的矢量和等于零 汇交力系平衡的必要与充分的汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：几何条件是：FRFR66工程力学静力学67[例例1] 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过欲拉过h=8cm的障碍物的障碍物 求：在中心作用的水平力求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力的大小和碾子对障碍物的压力①①选碾子为研究对象选碾子为研究对象②②取分离体画受力图取分离体画受力图解：解：rFNAFBFA67工程力学静力学68又由几何关系：又由几何关系：∵∵当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时FA=0=0拉力拉力 F、、自重自重 P P 及支反力及支反力 FB 构成一平衡力系。

构成一平衡力系由平衡的几何条件，力多边形封闭，故由平衡的几何条件，力多边形封闭，故 由作用力和反作用力的关系，由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于碾子对障碍物的压力等于23.1kNF=11.5kN , FB=23.1kN所以所以FBFB68工程力学静力学69[例例2] 求当求当F力达到多大时，球离开地面？已知力达到多大时，球离开地面？已知P、、R、、h解：解：FB=0 时为球离开地面时为球离开地面研究球，受力如图：研究球，受力如图：作力三角形作力三角形解力三角形：解力三角形：FBF2F1F1F269工程力学静力学70研究块，受力如图，研究块，受力如图，作力三角形作力三角形解力三角形：解力三角形：F3F'1F'1F370工程力学静力学71几何法解题步骤：几何法解题步骤：①①选研究对象；选研究对象； ②②画出受力图；画出受力图； ③③作力多边形；作力多边形； ④④求出未知数。

求出未知数几何法解题不足：几何法解题不足： ①①计算繁计算繁 ；； ②②不能表达各个量之间的函数关系不能表达各个量之间的函数关系71工程力学静力学72bgqFxyO力的三要素：力的三要素： 大小、方向、作用点大小、方向、作用点( (线线) )大小：大小：作用点作用点：： 与物体的接触点与物体的接触点方向方向：： ① ① 由由 、、 、、g g三个方向角确定三个方向角确定 ②② 由仰角由仰角  与俯角与俯角  来确定一、力在空间的表示一、力在空间的表示：§2-2 §2-2 汇交力系合成与平衡的解析法汇交力系合成与平衡的解析法72工程力学静力学731、一次投影法（直接投影法）、一次投影法（直接投影法）二、力在空间直角坐标轴上的投影二、力在空间直角坐标轴上的投影2、二次投影法（间接投影法）、二次投影法（间接投影法）FxFyFz73工程力学静力学743、力在平面坐标轴上的投影、力在平面坐标轴上的投影Fx=F·cos Fy=F·sin AByxFxFyF o说明：说明：（（1））Fx的指向与的指向与 x 轴一致，为正，否则为负；轴一致，为正，否则为负；（（2）力在坐标轴上的投影为标量。

力在坐标轴上的投影为标量74工程力学静力学75 若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则： 而：所以：F1F2F3三、力的解析表达式三、力的解析表达式：75工程力学静力学76四四 、合力投影定理、合力投影定理由图可看出，各分力在由图可看出，各分力在x 轴和在轴和在y轴投影的和分别为：轴投影的和分别为： 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和轴上投影的代数和FRxF2xF1xF3xF4xxyo76工程力学静力学77合力的大小：合力的大小：为该力系的汇交点为该力系的汇交点方向：方向： 作用点：作用点：五、汇交力系合成的解析法五、汇交力系合成的解析法xy1、平面汇交力系、平面汇交力系77工程力学静力学78 即：合力等于各分力的矢量和即：合力等于各分力的矢量和2、空间汇交力系的合成、空间汇交力系的合成：为合力在x轴的投影78工程力学静力学79六、汇交力系平衡的解析法六、汇交力系平衡的解析法平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。

平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程说明：说明：说明：说明：两个方程可求解两个未知量；两个方程可求解两个未知量；两个方程可求解两个未知量；两个方程可求解两个未知量； 投影轴可任意选择投影轴可任意选择投影轴可任意选择投影轴可任意选择解题步骤：解题步骤： ①①选择研究对象选择研究对象 ②②画出研究对象的受力图（取分离体）画出研究对象的受力图（取分离体） ③③列平衡方程（选投影轴）列平衡方程（选投影轴）1、平面汇交力系的平衡、平面汇交力系的平衡79工程力学静力学802、空间汇交力系的平衡：、空间汇交力系的平衡：空间汇交力系平衡的充要条件是：空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，力系的合力为零，即：即：空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程说明：说明：①①空间汇交力系只有空间汇交力系只有 三个独立平衡方程，只能求解三三个独立平衡方程，只能求解三个未知量。

个未知量 ②②上式中三个投影轴可以任取，只要不共面、其中任上式中三个投影轴可以任取，只要不共面、其中任何两轴不相互平行何两轴不相互平行80工程力学静力学81解：解：①①研究研究C[例例3] 已知已知 AC=BC= l , h , P . 求求 : FAC , FBC②②画出受力图画出受力图③③列平衡方程列平衡方程ABChPPxyFACFBC h81工程力学静力学82ABChPPxyFACFBC 82工程力学静力学83解：解：①①研究研究AB杆杆 ②②画出受力图画出受力图 ③③列平衡方程列平衡方程[例例4] 已知已知 P=2kN 求求FCD , FAFAFCD83工程力学静力学84④④ 解平衡方程解平衡方程由由EB=BC=0.4m，，解得：解得：FAFCD84工程力学静力学85[例例5] 已知如图已知如图P、、Q，， 求平衡时求平衡时 = =？？ 地面的反力地面的反力FD= =？？解：研究球：解：研究球： FDFT1FT285工程力学静力学86 [例例6] 已知：已知：AB=3m, AE=AF=4m, Q=20kN; 求求：：绳绳BE、、BF的拉力和杆的拉力和杆AB的内力的内力由由C点：点：解：分别研究解：分别研究C点和点和B点点86工程力学静力学87由由B点：点：87工程力学静力学88 以以A 为研究对象为研究对象[例例7] 2-9 解：解：60o45o45oxyzAFFABFADFAC88工程力学静力学89 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几几 何法（解力三角形）比较简便。

何法（解力三角形）比较简便 解题技巧及说明：解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数 2、一般对于受多个力作用的物体，用解析法一般对于受多个力作用的物体，用解析法5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说 明力方向与假设相反对于二力构件，一般先设为拉力，明力方向与假设相反对于二力构件，一般先设为拉力， 如果求出负值，说明物体受压力如果求出负值，说明物体受压力4、对力的方向判定不准的，一般用解析法对力的方向判定不准的，一般用解析法89工程力学静力学902-6 2-8 2-1090工程力学静力学9191工程力学静力学92FF'力偶力偶：大小相等、方向相反且作用线不重合的两个力组成：大小相等、方向相反且作用线不重合的两个力组成的力系叫力偶的力系叫力偶用用 （（F，，F'）表示）表示d力偶的作力偶的作用面用面力偶臂力偶臂力偶系力偶系：作用在刚体上的一群力偶作用在刚体上的一群力偶。

力偶的作用效应力偶的作用效应：使刚体转动（由两个力共同作用引起）使刚体转动（由两个力共同作用引起）移动效应移动效应移动效应移动效应----取决于力的大小、方向；取决于力的大小、方向；转动效应转动效应转动效应转动效应----取决于力矩的大小、方向取决于力矩的大小、方向力的作用效应力的作用效应：：92工程力学静力学93§3–1 力对点之矩力对点之矩§3–2 力对轴之矩力对轴之矩§3–3 力偶矩矢力偶矩矢§3–4 力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质§3–5 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡 第三章第三章 力偶系力偶系93工程力学静力学94§3–1 力对点之矩力对点之矩一、平面中力对点的矩一、平面中力对点的矩OFABh力臂力臂矩心矩心＋＋－－①① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关③ ③ 当当F=0 =0 或或 h=0 =0 时，时， =0=0说明：说明：② ② 力对点之矩不因力的作用线移动而改变力对点之矩不因力的作用线移动而改变④ ④ 互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。

互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零94工程力学静力学95§3–1 力对点之矩力对点之矩二、力对点的矩矢二、力对点的矩矢OFABhv力对点之矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢力对点之矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积v力对点之矩矢是过矩心力对点之矩矢是过矩心O的定位矢量的定位矢量v力对点之矩矢服从矢量的合成法则力对点之矩矢服从矢量的合成法则力力F对刚体产生绕对刚体产生绕O点转动效应取决于：点转动效应取决于：Ø转动效应的强度转动效应的强度Ø转动轴的方位（力转动轴的方位（力F与矩心与矩心O所在平面法向）所在平面法向）Ø使刚体绕转动轴转动的方向使刚体绕转动轴转动的方向95工程力学静力学96§3–1 力对点之矩力对点之矩二、力对点的矩矢二、力对点的矩矢xxyyzzFAFxiFyjFzkOr96工程力学静力学97§3–1 力对点之矩力对点之矩三、合力矩定理三、合力矩定理定理定理定理定理：：合力对任一点之矩矢，等于所有各分力对同一点之合力对任一点之矩矢，等于所有各分力对同一点之矩矢的矢量和（平面力系内为代数和）矩矢的矢量和（平面力系内为代数和）已知：力系（已知：力系（F1，， F2，， F3，，…… ，， Fn ）可以合成为一个合力）可以合成为一个合力FR则：则：平面力系：平面力系：97工程力学静力学98FFxFyOxyxy平面内力矩的解析表达式平面内力矩的解析表达式98工程力学静力学99 解解：：①①用力对点的矩法用力对点的矩法[例例1] 已知：如图已知：如图 F、、Q、、l, 求：求： 和和②②应用合力矩定理应用合力矩定理99工程力学静力学100 解解：：[例例2] 已知：如图已知：如图 F、、R、、r,   , 求：求： 应用合力矩定理应用合力矩定理ARFr FxFy 100工程力学静力学101 解解：：[例例3] 已知：如图已知：如图 q、、l, 求：合力的大小和作用线位置。

求：合力的大小和作用线位置xClABqQ=qlCxdxqdx101工程力学静力学102 解解：：[例例4] 已知：如图已知：如图 q、、l, 求：合力的大小和作用线位置求：合力的大小和作用线位置xClABqQCxdxq'dx102工程力学静力学103§3-2 §3-2 力对轴之矩力对轴之矩一、力对轴之矩的概念与计算一、力对轴之矩的概念与计算103工程力学静力学104定义：定义：力对轴之矩是代数量力对轴之矩是代数量符号规定：右手法则符号规定：右手法则力对平行它的轴之矩为零力对平行它的轴之矩为零当力通过轴时，力对轴之矩为零当力通过轴时，力对轴之矩为零即力即力F与轴共面时，力对轴之矩为零与轴共面时，力对轴之矩为零104工程力学静力学105 力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数量，其大小等于在垂直于转轴的平面内的分量的大小和它与量，其大小等于在垂直于转轴的平面内的分量的大小和它与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手规则确定转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手规则确定105工程力学静力学106故：二、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系二、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系通过通过O点作任一轴点作任一轴 z，则：，则：由几何关系：由几何关系：106工程力学静力学107定理：定理：定理：定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。

这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系 又由于又由于所以力对点所以力对点O的矩为：的矩为：107工程力学静力学108 即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有各分力对同一轴的矩的代数和有各分力对同一轴的矩的代数和三、合力矩定理合力矩定理108工程力学静力学109[例例4] 已知：已知：P=2000N, C点在点在Oxy平面内 求：力求：力P 对三个坐标轴的矩对三个坐标轴的矩解：解：109工程力学静力学110110工程力学静力学111§3–3 力偶矩矢力偶矩矢一、力偶效应的度量一、力偶效应的度量xyzOAFBF' 设在刚体上作用有力偶（设在刚体上作用有力偶（F，，F ' ），），现研究它对现研究它对O点的转动效应点的转动效应 力偶（力偶（F，，F ' ）对）对O点的转动效应可点的转动效应可用一矩矢用一矩矢 M 来度量力偶矩矢力偶矩矢v力偶矩矢力偶矩矢 M 与与O点位置点位置无关，无关，是自由矢量。

是自由矢量v力偶矩矢由其模、方位力偶矩矢由其模、方位和指向确定和指向确定111工程力学静力学112§3–3 力偶矩矢力偶矩矢二、力偶矩矢的确定二、力偶矩矢的确定xyzOAFBF'力偶矩矢力偶矩矢d力偶矩矢的模（大小）：力偶矩矢的模（大小）：力偶矩矢的方位：力偶矩矢的方位：沿力偶作用面的法向（表示力偶作用面的方位）沿力偶作用面的法向（表示力偶作用面的方位）力偶矩矢的指向：力偶矩矢的指向：按右手法则确定（表示力偶的转向）按右手法则确定（表示力偶的转向）力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、作用面的方位和转向力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、作用面的方位和转向112工程力学静力学113三、平面力偶（代数量）三、平面力偶（代数量）FF'd力偶的作力偶的作用面用面力偶臂力偶臂力偶矩：力偶矩：力偶矩：力偶矩：m=±Fdm=±Fd—+四、空间力偶（矢量）四、空间力偶（矢量）113工程力学静力学114§3–4 力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质一、力偶的等效条件一、力偶的等效条件xyzOAFBF'力偶矩矢力偶矩矢d性质性质1：：力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本力学量力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。

力偶只能和力偶平衡，而不能和一个力平衡力偶只能和力偶平衡，而不能和一个力平衡力偶只能和力偶平衡，而不能和一个力平衡力偶只能和力偶平衡，而不能和一个力平衡两个力偶等效两个力偶等效力偶矩矢相等力偶矩矢相等二、力偶的性质二、力偶的性质114工程力学静力学115 二、力偶的性质二、力偶的性质二、力偶的性质二、力偶的性质性质性质性质性质2 2：：：：力偶中两个力在任意坐标轴上投影之代数和为零力偶中两个力在任意坐标轴上投影之代数和为零性质性质性质性质3 3：：：：力偶中两力对任一点取矩之和恒等于力偶矩，而与力偶中两力对任一点取矩之和恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关矩心的位置无关性质性质4：：力偶可以在其作用面内任意移动或转动，或移到另力偶可以在其作用面内任意移动或转动，或移到另一平行平面，而不影响它对刚体的作用效应一平行平面，而不影响它对刚体的作用效应FFMFFMFFM115工程力学静力学1166N6N4m8N8N3m3N3N8m24Nm24Nm性质性质5：：只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。

刚体的作用效应116工程力学静力学117§3-5§3-5 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡设有两个力偶设有两个力偶 由于力偶矩矢是自由矢量，可任意平行移动，故可将其按由于力偶矩矢是自由矢量，可任意平行移动，故可将其按照矢量合成的方法进行合成照矢量合成的方法进行合成ABABM一、力偶系的合成一、力偶系的合成117工程力学静力学118对于对于 n 个个力偶组成的力偶系：力偶组成的力偶系：对于对于 n 个个力偶组成的平面力偶系：力偶组成的平面力偶系： 平面力偶系合成结果是一个合力偶平面力偶系合成结果是一个合力偶, ,其力偶矩为各力偶其力偶矩为各力偶矩的代数和矩的代数和一、力偶系的合成一、力偶系的合成118工程力学静力学119力偶系平衡的充要条件是力偶系平衡的充要条件是: : 合力偶矩矢等于零，即所有各力偶矩矢的矢量和等于零合力偶矩矢等于零，即所有各力偶矩矢的矢量和等于零 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是: : 合力偶矩等于零，即所有各力偶矩的代数和等于零。

合力偶矩等于零，即所有各力偶矩的代数和等于零 力偶系的平衡方程力偶系的平衡方程二、力偶系的平衡二、力偶系的平衡119工程力学静力学120[ [例例5] 5] 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件, ,在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径 的孔的孔, ,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A 、、B端水平反力端水平反力? ? 解解: : 各力偶的合力偶距为各力偶的合力偶距为120工程力学静力学121根据平面力偶系平衡方程有根据平面力偶系平衡方程有: : 由力偶只能与力偶平衡的性由力偶只能与力偶平衡的性质，力质，力NA与力与力NB组成一力偶组成一力偶121工程力学静力学122[ [例例6] 6] 已知：已知：M1＝＝1kNm，，l＝＝1m，， 求平衡时求平衡时M2＝＝? ? 解解: :AB:CD:BClAD45oEM1M2FEFAFCF'EM2EClEABM1122工程力学静力学123xy[ [例例7] 7] 已知：已知：M1＝＝3m/2，， M2＝＝m/2，， CD=l ，，  求：求：AB、、AC 杆所受力。

杆所受力 解解: :CD:C:FACF'CCBCDM1M2A M1M2DCFD FCFBC123工程力学静力学1243－－2 3－－5 3－－8124工程力学静力学125125工程力学静力学126第四章第四章 平面任意力系平面任意力系平面任意力系：平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点 又不相互平行的力系叫平面任意力系又不相互平行的力系叫平面任意力系平面任意力系平面任意力系F1F2F3F4Fn平面力偶系平面力偶系平面汇交力系平面汇交力系合成合成平衡平衡合成合成平衡平衡FR= FiM= Mi Mi =0 Fx=0 Fy =0力线平移定理力线平移定理力线平移定理力线平移定理[例例]FAyFAxFFN126工程力学静力学127第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 §4–1 力线平移定理力线平移定理 §4–2 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 §4–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 §4–4 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 §4–5 静定与静不定问题静定与静不定问题•物体系统的平衡物体系统的平衡 127工程力学静力学128§4-1 §4-1 力线平移定理力线平移定理力线平移定理力线平移定理力线平移定理力线平移定理：[证证]力力 力系力系但必须同时附加一个力偶。

这个力偶的力偶矩等于原来的力但必须同时附加一个力偶这个力偶的力偶矩等于原来的力作用在刚体上点作用在刚体上点A的力的力 ，， 可以平行移到刚体上任一点可以平行移到刚体上任一点B，，对新作用点对新作用点B的矩'MM128工程力学静力学129①①力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶M，且，且M与与d有关，有关，M=F•d ②②力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力力力+力偶力偶 ③③力线平移定理的逆定理成立力线平移定理的逆定理成立力力力力+力偶力偶 v力线平移定理是力系简化的理论基础力线平移定理是力系简化的理论基础v力线平移定理可将平面任意力系转化为平面汇交力系和平面力线平移定理可将平面任意力系转化为平面汇交力系和平面力偶系进行研究力偶系进行研究说明说明：129工程力学静力学130力系的主矢：力系的主矢：力系中各力的矢量和力系中各力的矢量和130工程力学静力学131☺力系的主矩：力系的主矩：力系中各力对任一点取矩的矢量和力系中各力对任一点取矩的矢量和 力系力系中各力的作用点分别为：中各力的作用点分别为：P1，，P2，，……，，Pn，，选定矩心选定矩心O点，各力作用点对于矩心的矢点，各力作用点对于矩心的矢径分别为：径分别为： r1，，r2，，……，，rn 。

则该力系对则该力系对O点的主矩为：点的主矩为：131工程力学静力学132力系等效定理：力系等效定理： 两个力系相互等效的充分与必要条件是主矢量相等，对任两个力系相互等效的充分与必要条件是主矢量相等，对任一点的主矩相等一点的主矩相等 适用范围：刚体适用范围：刚体 应用：力系的简化应用：力系的简化零力系零力系：力系的主矢量和对任一点的主矩均等于零力系的主矢量和对任一点的主矩均等于零132工程力学静力学133§4-2 §4-2 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化 平面任意力系平面任意力系（未知力系）（未知力系）平面力偶系平面力偶系（已知力系）（已知力系）平面汇交力系：平面汇交力系：（已知力系）（已知力系）力（主矢量）：力（主矢量）：力偶（主矩）：力偶（主矩）：FR = FMo= M向任一点向任一点向任一点向任一点OO简化简化简化简化(作用在简化中心)(作用在该平面上)FR M1M2M3133工程力学静力学134 主矢主矢主矢主矢（移动效应）（移动效应）（移动效应）（移动效应）大小大小：方向方向：简化中心简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]一般情况：一般情况：134工程力学静力学135 主矩主矩MO （（转动效应转动效应转动效应转动效应）） 固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束雨 搭车 刀大小大小：方向方向： 方向规定方向规定 + —简化中心简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）135工程力学静力学136F FRARA固定端（插入端）约束的约束反力：固定端（插入端）约束的约束反力： ①①①①认为认为认为认为F Fi i这群力在同一平面内这群力在同一平面内这群力在同一平面内这群力在同一平面内; ; F FAxAxF FAyAy⑤⑤⑤⑤ F FAxAx, , F FAyAy 限制物体平动限制物体平动限制物体平动限制物体平动, , MMA A为限制转动。

为限制转动为限制转动为限制转动④④④④ F FAxAx, , F FAyAy, , MMA A为固定端约束反力为固定端约束反力为固定端约束反力为固定端约束反力; ;③③③③F FRARA方向不定可用正交方向不定可用正交方向不定可用正交方向不定可用正交 分力分力分力分力F FAxAx, , F FAyAy表示表示表示表示; ;②②②② 将将将将F Fi i向向向向A A点简化得一力和一力偶点简化得一力和一力偶点简化得一力和一力偶点简化得一力和一力偶; ;136工程力学静力学137vv 简化结果分析简化结果分析简化结果分析简化结果分析     合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理简化结果：简化结果： 主矢主矢 ，主矩，主矩 MO ，下面分别讨论，下面分别讨论①① =0，， MO =0，则力系平衡，则力系平衡,下节专门讨论下节专门讨论 ②② = =0 0, , MO≠≠0 0，，即即简简化化结结果果为为一一合合力力偶偶, , M= =MO 此此时时 刚刚体体等等效效于于只只有有一一个个力力偶偶的的作作用用，，（（因因为为力力偶偶可可以以在在刚刚 体体平平面面内内任任意意移移动动，，故故这这时时，，主主矩矩与与简简化化中中心心O无无关关。

③③ ≠0,≠0,MO =0,=0,即简化为一个作用于简化中心的合力这时，即简化为一个作用于简化中心的合力这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）简化结果就是合力（这个力系的合力）, , 此时（此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）137工程力学静力学138合力的大小等于原力系的主矢合力的大小等于原力系的主矢合力的作用线位置合力的作用线位置平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果 ：：①①合力偶合力偶MO ；； ②②合力合力结论结论：：④ ④ ≠0,≠0,MO ≠0,≠0,为最任意的情况此种情况还为最任意的情况此种情况还可以继续简可以继续简化为一个合力化为一个合力 138工程力学静力学139合力矩定理：合力矩定理：合力矩定理：合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于 力系中各力对于同一点之矩的代数和力系中各力对于同一点之矩的代数和 合力矩定理合力矩定理：由于主矩由于主矩而合力对而合力对O点的矩点的矩——————合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理• 由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义139工程力学静力学140§4-3 §4-3 §4-3 §4-3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为： =0，， MO =0，力系平衡，力系平衡 平面任意力系平面任意力系平面任意力系平面任意力系的平衡方程的平衡方程的平衡方程的平衡方程 =0 =0 为力平衡为力平衡 MO =0 =0 为力偶也平衡为力偶也平衡力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 MO 都等于零都等于零140工程力学静力学141 [例例1] 已知：已知：q=4kN/m, F=5kN , l=3m , =25o , 求：求：A点的支座反力？点的支座反力？解解：（：（1））选选AB梁为研究对象。

梁为研究对象2）画受力图）画受力图 （（3））列平衡方程，求未知量列平衡方程，求未知量q FlABMAFAxFAy141工程力学静力学142 [例例2] 已知：已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m ,  =30o , 求：求：BC杆拉力和铰杆拉力和铰A处的支座反力？处的支座反力？解解：（：（1））选选AB梁为研究对象梁为研究对象2）画受力图）画受力图FAxFAy FBCAQlBPal/2 QlABPal/2C142工程力学静力学143 [例例2] 已知：已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m ,  =30o , 求：求：BC杆拉力和铰杆拉力和铰A处处的支座反力？的支座反力？ （（3））列平衡方程，求未知量列平衡方程，求未知量 QlABFAxFAyFBCPal/2143工程力学静力学144 [例例2] 已知：已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m ,  =30o , 求：求：BC杆拉力和铰杆拉力和铰A处处的支座反力？的支座反力？v （（3））列平衡方程，求未知量。

列平衡方程，求未知量 QlABFAxFAyFBCPal/2144工程力学静力学145v （（3））列平衡方程，求未知量列平衡方程，求未知量 QlABFAxFAyFBCPal/2C145工程力学静力学146②②二矩式二矩式条件：条件：x 轴不轴不垂直垂直于于AB连线连线③③三矩式三矩式条件：条件：A,B,C不在不在 同一直线上同一直线上Ø只有三个独立方程，只能求出三个未知数只有三个独立方程，只能求出三个未知数Ø投影轴和矩心是任意选取的，一般先取矩投影轴和矩心是任意选取的，一般先取矩矩心选矩心选择在多个未知力的交点上；投影轴尽量与未知力垂择在多个未知力的交点上；投影轴尽量与未知力垂直或平行直或平行①① 基本式（一矩式）基本式（一矩式）平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程: : : :146工程力学静力学147 [例例3] 已知：已知：q，， a , P=qa, M=Pa，，求：求：A、、B两点的支座反力？两点的支座反力？解：解：①① 选选AB梁为研究对象梁为研究对象②② 画受力图画受力图  列平衡方程，求未知量。

列平衡方程，求未知量FAxFAyFBq2aaMPABBAqMP147工程力学静力学148 平衡的充要条件为：平衡的充要条件为： 主矢主矢 FR' =0 主矩主矩 MO =0 =0 §4-4 §4-4 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程平面平行力系平面平行力系: :各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系设有设有F1, F2 … Fn 为一平行力系，为一平行力系，向向O点简化得：点简化得：合力作用线的位置为：合力作用线的位置为：F1F2Fnx1x2xnoyMoFR'xRFR148工程力学静力学149q 平面平行力系的平衡方程为：平面平行力系的平衡方程为： 二矩式二矩式条件：条件：AB连线不能平行连线不能平行 于力的作用线于力的作用线 一矩式一矩式v平面平行力系中各力在平面平行力系中各力在x 轴上轴上的投影恒等于零，即：的投影恒等于零，即：F1F2Fnx1x2xnoyMoF'RxRFRq 平面平行力系只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数平面平行力系只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。

149工程力学静力学150[例例4] 已知：已知：P=20kN, M=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：求：A、、B的支反力的支反力解：研究解：研究AB梁梁qaaMPABaFBFA150工程力学静力学151[例例5] 已知：塔式起重机已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重最大起重量量)，尺寸如图尺寸如图求：求：①①保证满载和空载时不致保证满载和空载时不致翻倒，平衡块翻倒，平衡块Q=？？ ②②当当Q=180kN时，求满载时，求满载时轨道时轨道A、、B给起重机轮子的反给起重机轮子的反力？力？分析：分析：Q过大，空载时有向左倾翻的趋势过大，空载时有向左倾翻的趋势Q过小，满载时有向右倾翻的趋势过小，满载时有向右倾翻的趋势AB151工程力学静力学152限制条件限制条件：：解：解：⑴⑴ ①①首先考虑满载时，起首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小重机不向右翻倒的最小Q为：为：②②空载时，空载时，W=0由由限制条件为：限制条件为：解得：解得：因此保证空、满载均不倒因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系应满足如下关系： 当当当当W=400kNW=400kN时，时，时，时，的范围？的范围？的范围？的范围？解得：解得：FAFB152工程力学静力学153⑵⑵⑵⑵ 求当求当求当求当Q Q=180kN=180kN，满载，满载，满载，满载WW=200kN=200kN时，时，时，时，F FA A , ,F FB B为多少？为多少？为多少？为多少？解得：解得：由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得：FAFB153工程力学静力学154§4-5 §4-5 静定与静不定问题静定与静不定问题   物体系统的平衡物体系统的平衡一、静定与静不定问题的概念一、静定与静不定问题的概念平面汇交力系平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。

两个独立方程，只能求两个独立未知数平面力偶系平面力偶系 一个独立方程，只能求一个独立未知数一个独立方程，只能求一个独立未知数平面平行力系平面平行力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数两个独立方程，只能求两个独立未知数平面任意力系平面任意力系 三个独立方程，只能求三个独立未知数三个独立方程，只能求三个独立未知数154工程力学静力学155§ 独立方程数目独立方程数目< <未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）未知数数目时，是静不定问题（超静定问题） 静定（未知数三个）静定（未知数三个）§ 独立方程数目独立方程数目≥≥未知数数目时，是静定问题（可求解）未知数数目时，是静定问题（可求解）静不定（未知数四个）静不定（未知数四个） 静不定问题在材料力学静不定问题在材料力学, ,结构力学结构力学, ,弹性力学中弹性力学中用变形协调条件来求解用变形协调条件来求解FAxFAyFByFBxFAxFAyFB155工程力学静力学156[例例] 二、物体系统的平衡问题二、物体系统的平衡问题外力外力：外界物体作用于系统上的力叫外力内力内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力物体系统（物系物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统由若干个物体通过约束所组成的系统。

156工程力学静力学157物系平衡问题的特点：物系平衡问题的特点： ① ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的 ② ②每个单体可列每个单体可列3 3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统个（平面任意力系）平衡方程，整个系统可列可列3 3n个方程（设物系中有个方程（设物系中有n个物体）个物体）整体整体解物系问题的一般方法：解物系问题的一般方法：机构问题：机构问题：个体个体个体个体个体个体“ “各个击破各个击破各个击破各个击破” ”结构问题：结构问题：有固定端：有固定端：无固定端：无固定端：个体个体个体（整体）个体（整体）个体个体（不带固定端）（不带固定端）个体个体（组合体）（组合体） 个体（整体）个体（整体）（带固定端）（带固定端）157工程力学静力学158解题步骤解题步骤 ①① 选选选选研究对象研究对象 ②② 画画画画受力图（受力分析）受力图（受力分析） ③③ 选坐标、取矩点、选坐标、取矩点、列列列列平衡方程平衡方程④④ 解解解解方程求出未知数方程求出未知数①①②②③③④④坐标轴最好选在与未知力垂直或平行的投影轴上；坐标轴最好选在与未知力垂直或平行的投影轴上；矩心最好选在未知力的交叉点上；矩心最好选在未知力的交叉点上；注意判断二力杆；运用合力矩定理等。

注意判断二力杆；运用合力矩定理等先取矩，后投影，列一个平衡方程求一个未知力先取矩，后投影，列一个平衡方程求一个未知力解题技巧解题技巧解题步骤与技巧：解题步骤与技巧：158工程力学静力学159[例例1] 已知：已知：OA=R, AB= l , 当当OA水平时，冲压力为水平时，冲压力为P时，时， 求：求：①①M=？？ ②②O点的约束反力？点的约束反力？ ③③AB杆内力？杆内力？ ④④冲头给导轨的侧压力？冲头给导轨的侧压力？解解：以以B为研究对象：为研究对象：FBFN159工程力学静力学160[负号表示力的方向与图中所设方向相反负号表示力的方向与图中所设方向相反]再以轮再以轮O为研究对象：为研究对象：FBFNFAFoxFoy160工程力学静力学161q[例例2] 已知：已知：M=10KNm, q= 2KN/m , 求：求：A、、C 处的反力处的反力解解：以以BC为研究对象：为研究对象：q1mAB1m1m1mCMCBFBxFByFC161工程力学静力学162[例例2] 已知：已知：M=10kNm, q= 2kN/m , 求：求：A、、C 处的反力。

处的反力以以AB为研究对象：为研究对象：MAFAxFAyq1mAB1m1m1mCMqCBFBxFByFCBAF'BxF'ByqM162工程力学静力学163[例例3] 已知：已知：M=40KNm,P=100KN, q= 50KN/m , 求：求：A处的反力处的反力以以BC为研究对象：为研究对象：FCxFCyFB解解：q1.5mABCM2mDE1m3mP1.5mBEPC163工程力学静力学164q1.5mABCM2mDE1m3mP1.5m以整体为研究对象：以整体为研究对象：FAxFAyMAFB164工程力学静力学165[例例4] 已知：已知：P1=1000kN, P2=2000kN, m=1000kNm, q=1000kN/m, 求：求：A、、B 处的反力处的反力及及BC杆对铰杆对铰C的约束力的约束力以整体为研究对象：以整体为研究对象：解解：3m3m4mACBP11mP2qm FBxFByFA165工程力学静力学166[例例4] 已知：已知：P1=1000kN, P2=2000kN, m=1000kNm, q=1000kN/m, 求：求：A、、B 处的反力处的反力及及BC杆对铰杆对铰C的约束力的约束力。

以以C为研究对象：为研究对象：解解：3m3m4mACBP11mP2qm FCxFCyFCP2C166工程力学静力学1671m1m2mPACBD[例例5] 已知：已知：P=2kN, B、、D两轮半径均为两轮半径均为R= 0.3m , 求：求：A、、C 处的反力处的反力以整体为研究对象：以整体为研究对象：解解：FAxFAyFCxFCy167工程力学静力学168以以BC为研究对象：为研究对象：FCxFCy1m1m2mPACBDEFECEBFBxFBy168工程力学静力学169[例例6] 已知：已知：m=30kNm,P=10kN, q= 5kN/m , 求：求：A、、C 、、E处的反力处的反力以以DE为研究对象：为研究对象：q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mPEDFDxFDyFE60oP解解：169工程力学静力学170以以BD为研究对象：为研究对象：q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mFBxFByCBF'DxF'DyqmDFCP170工程力学静力学171以以AB为研究对象：为研究对象：q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mAF'BxF'ByqBFAxFAyMAP171工程力学静力学172[例例7] 已知：已知：m=30KNm,P=10KN, q= 5KN/m , 求：求：A、、C 、、E处的反力。

处的反力以以DE为研究对象：为研究对象：q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mPEDFDxFDyFE60oP解解：172工程力学静力学173以以BDE为研究对象：为研究对象：q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mFBxFByCBqmFCEDFE60oPP173工程力学静力学174qm1mAB1m1m1mC2m1m1mDE60o3mP以整体为研究对象：以整体为研究对象：FAxFAyMAFCFE174工程力学静力学175作业：作业：第一次：第一次：4－－1（（a）（）（c）（）（e），），4－－5第二次：第二次：4－－16，，4－－17，，4－－18，， 4－－19选　做：选　做：4－－20，，4－－21175工程力学静力学176176工程力学静力学177 工程中常常存在着很多各力的作用线在空间内任意分布的工程中常常存在着很多各力的作用线在空间内任意分布的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系 (a)图为空间汇交力系；图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。

图中去了风力为空间平行力系迎 面风 力侧 面风 力b177工程力学静力学178第五章第五章 空间任意力系空间任意力系 §5–1 空间任意力系的简化空间任意力系的简化 §5–2 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 178工程力学静力学179F1A1A2AnF2FnOM1F'2F'nOF'1M2MnMOOF'R空间任意力系空间任意力系空间汇交力系空间汇交力系空间力偶系空间力偶系§5-1 §5-1 空间任意力系的简化空间任意力系的简化179工程力学静力学180F1A1A2AnF2FnOM1F'2F'nOF'1M2MnMOOF'R空间汇交力系的合力称为力系的主矢：空间汇交力系的合力称为力系的主矢：力系的主矢与简化中心的选择无关，投影为：力系的主矢与简化中心的选择无关，投影为：xyz180工程力学静力学181F1A1A2AnF2FnOM1F'2F'nOF'1M2MnMOOF'R空间力偶系的合力偶称为力系的主矩：空间力偶系的合力偶称为力系的主矩：力系的主矩与简化中心的选择有关，投影为：力系的主矩与简化中心的选择有关，投影为：xyz181工程力学静力学182Ø空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。

空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶Ø这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各个这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各个力的矢量和，并与简化中心的选择无关力的矢量和，并与简化中心的选择无关Ø这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，并这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并与简等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并与简化中心的选择有关化中心的选择有关182工程力学静力学183§5-2 §5-2 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程F1A1A2AnF2FnOMOOF'Rxyz一、空间任意力系的平衡条件一、空间任意力系的平衡条件空间任意力系平衡空间任意力系平衡力系的主矢和对任一点和主矩适于零力系的主矢和对任一点和主矩适于零183工程力学静力学184二、空间任意力系的平衡方程二、空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件是：空间任意力系平衡的充要条件是： 各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个轴力矩的代数和都必须分别等于零。

轴力矩的代数和都必须分别等于零 共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数184工程力学静力学185二、空间任意力系的平衡方程二、空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程的其它形式：空间任意力系的平衡方程的其它形式：四矩式四矩式五矩式五矩式六矩式六矩式投影轴和取矩轴可以任意选择，但六个方程必须线性无关投影轴和取矩轴可以任意选择，但六个方程必须线性无关185工程力学静力学186 三、对于空间汇交力系：（设各力汇交于原点三、对于空间汇交力系：（设各力汇交于原点）因为：成为恒等式成为恒等式故空间汇交力系的平衡方程为：故空间汇交力系的平衡方程为：F2FnOF1xyz186工程力学静力学187四、空间平行力系（平行于四、空间平行力系（平行于 z 轴的平行力系）：轴的平行力系）：因为：成为恒等式成为恒等式OxyzF1F2F3故空间平行于故空间平行于 z 轴的平行力系的平衡方程为：轴的平行力系的平衡方程为：Fn187工程力学静力学1881、球形铰链、球形铰链六、空间约束六、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。

的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶FxFyFzFzFyFx188工程力学静力学1892、向心轴承，蝶铰链，滚珠、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱柱)轴承轴承FxFzFxFz189工程力学静力学1903、止推轴承、止推轴承 FxFyFz190工程力学静力学1914、带有销子的夹板、带有销子的夹板FxFyFzFyFzFx191工程力学静力学1925、空间固定端、空间固定端FxFyFzFxFyFz192工程力学静力学193[例例1] 已知已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡时求：平衡时(匀速转动匀速转动)力力Q=？和轴承？和轴承A , B的约束反力？的约束反力？最好使每最好使每一个方程一个方程有一个未有一个未知数，方知数，方便求解Q力作用在力作用在C轮的最低点）轮的最低点）解：解：①①选研究对象选研究对象 ②②作受力图作受力图 ③③选坐标列方程选坐标列方程FAxFAyFAzFBxFBz193工程力学静力学194FAxFAyFAzFBxFBz194工程力学静力学195FAxFAyFAzFBxFBz195工程力学静力学196FAxFAyFAzFBxFBz196工程力学静力学197FAxFAyFAzFBxFBzozx方法方法方法方法( (二二二二) : ) : 将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力 系平衡问题来求解。

系平衡问题来求解系平衡问题来求解系平衡问题来求解QzQxPxPz右视图：右视图：xz平面平面yzCABFAzFBzFAyPzPyQz主视图：主视图：yz平面平面yxCABFAxFBxFAyPxPyQx俯视图：俯视图：yx平面平面197工程力学静力学198FAxFAyFAzFBxFBzozxQzQxPxPz[例例1] 已知已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡时力求：平衡时力Q=？和轴承？和轴承A , B的约束反力？的约束反力？右视图：右视图：xz平面平面198工程力学静力学199FAxFAyFAzFBxFBz主视图：主视图：yz平面平面yzCABFAzFBzFAyPzPyQz199工程力学静力学200俯视图：俯视图：yx平面平面yxCABFAxFBxFAyPxPyQxFAxFAyFAzFBxFBz200工程力学静力学201①①选研究对象选研究对象②②画受力图画受力图③③选坐标、列方程选坐标、列方程④④解方程、求出未知数解方程、求出未知数 p　解题步骤、技巧与注意问题　解题步骤、技巧与注意问题： 1、、解题步骤解题步骤： 2、、解题技巧：解题技巧：①① 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。

用取矩轴代替投影轴，解题常常方便②② 投影轴尽量选在与未知力投影轴尽量选在与未知力 ，力矩轴选在与未知力，力矩轴选在与未知力 平行或相交平行或相交 ③③ 一般从整体一般从整体  局部的研究方法局部的研究方法④④ 摩擦力摩擦力F = FN fs ，方向与运动趋势方向相反方向与运动趋势方向相反201工程力学静力学202①① x , y, z (三个取矩轴和三个投影轴）可以不重合、可以三个取矩轴和三个投影轴）可以不重合、可以是任选的六个轴是任选的六个轴②②空间力系独立方程六个，取矩方程不能少于三个空间力系独立方程六个，取矩方程不能少于三个③③力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现）力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现）④④空间力系中也包括摩擦问题空间力系中也包括摩擦问题 3、注意问题：注意问题：202工程力学静力学203此题训练：此题训练：①①力偶不出现在投影式中力偶不出现在投影式中②②力偶在力矩方程中出现是把力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类似力在投力偶当成矢量后，类似力在投影式中投影影式中投影③③力争一个方程求一个支反力力争一个方程求一个支反力。

[例例2] 曲杆曲杆ABCD, ∠∠ABC=∠∠BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, M2, M3 求：支座反力及求：支座反力及M1=?④④了解空间支座反力了解空间支座反力M1M2M3203工程力学静力学204解解：M1M2M3FAyFAzFDzFDxFDy204工程力学静力学205[例例3] 已知：已知：AB杆杆, AD,CB为为绳绳, A、、C在同一垂线上，在同一垂线上，AB重重80N，，A、、B光滑接触，光滑接触，∠∠ABC=∠∠BCE=600, 且且AD水平，水平，AC铅直求平衡时，铅直求平衡时，FTA，，FTB及支座及支座A、、B的反力解：解：思路：要巧选投影轴和取思路：要巧选投影轴和取矩轴，使一个方程解出一个未矩轴，使一个方程解出一个未知数FNBFTBFTAFNA205工程力学静力学206FNBFTBFTAFNA206工程力学静力学207207工程力学静力学。