新高考一轮复习导学案第69讲 圆锥曲线中的定点问题（微专题）（解析版）.doc

第69讲 圆锥曲线中的定点问题题型一 圆锥曲线中的直线过定点问题例1、（2023·山西·统考一模）双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点.【答案】(1)；(2)见解析【分析】(1)根据双曲线过点和焦点到渐近线的距离为列出方程组，解之即可；(2)设直线的斜率为，由题意直线的斜率为，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出，两点的坐标，再求出，两点所在的直线方程即可求解.【详解】（1）由双曲线可得渐近线为，不妨取渐近线即由焦点到渐近线的距离为可得，即由题意得，得， 从而双曲线的方程为.（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，由题意可知：直线的方程为，直线的方程为，联立直线与双曲线方程得，于是，从而，从而， 联立直线与双曲线方程得，于是，从而，从而， 于是，从而，化简得，从而过定点.变式1、（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知椭圆的右顶点为A（2，0），右焦点F到右准线l的距离为3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点F和T（7，0）的圆与直线l交于P，Q，AP，AQ分别与椭圆C交于M，N.证明：直线MN经过定点.【解析】 (1)由题意知，，设椭圆的焦距为，则，解得，所以，，所以，椭圆C的标准方程(2)设直线的方程为：.由，得，设，则，.所以，，，因为直线的方程为：，令，得，所以，，同理可得，以为直径的圆的方程为：，即，因为圆过点，所以，，得，代入得，化简得，，解得或(舍去)所以直线经过定点变式2、（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））已知椭圆：的左焦点为，且离心率．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点，直线（不经过点）与椭圆相交于，两点，与交于点，设直线，，的斜率分别为，，，且．证明：直线过定点，并求出该点的坐标．【解析】 (1)由题设，，又，，可得，，则椭圆的方程为.(2)由题意，设直线为，，，则，所以，，．联立直线与椭圆有，整理得，由得：，，．而，又，则，整理得，当时，，过定点，此时才满足题设，不符合；当时，，过定点，符合．故直线过定点．变式3、（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.(1)求C的方程；(2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）可设双曲线的方程为，将点代入求出，即可得解；（2）可设直线为，，联立，消，利用韦达定理求得，然后求出直线的方程，整理分析即可得出结论.(1)解：因为双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，将点代入得，解得，所以双曲线C的方程为；(2)解：显然直线的斜率不为零，设直线为，，联立，消整理得，依题意得且，即且，，直线的方程为，令，得.所以直线过定点.题型二 圆锥曲线中的圆过定点问题例2、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）根据题意，可得，，进而求解；（2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解.【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为，代入双曲线方程，可得，，即，由题意，可得，解得，，，双曲线的方程为：；（2）方法一：设方程为，，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得，而，，对恒成立，，以为直径的圆经过定点；方法二：设方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.设以为直径的圆过，，而，，，即对恒成立，，即以为直径的圆经过定点.变式1、（2022·广东揭阳·高三期末）已知椭圆为椭圆的左､右焦点，焦距为，点在上，且面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线交椭圆于两点，以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若存在该定点，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)以为直径的圆恒过轴上的定点.【解析】【分析】（1）根据焦距求出，再根据面积的最值求出，即得椭圆的方程；（2）当直线的斜率为0时，圆与轴的交点为；当直线的斜率不为0时，设直线.联立直线和圆的方程得到韦达定理，得到，即，解方程，且即得解.(1)解：由椭圆的焦距为，可得，即.设点的纵坐标为的面积，其中，根据面积的最大值为，可得.由椭圆的性质可得：.于是椭圆的方程为.(2)解：当直线的斜率为0时，以为直径的圆的方程为圆与轴的交点为当直线的斜率不为0时，设直线.将直线与椭圆联立，可得.设点的坐标分别为，则有以为直径的圆的方程为令，可得：①.其中②，③.②③代入①可得④.式子④可变换为⑤.当，且时，⑤式成立，可解得.综上可得，以为直径的圆恒过轴上的定点变式2、（2022·山东德州·高三期末）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意知抛物线开口向右可设其抛物线方程，焦点为，抛物线上点A的横坐标为1，可设出点坐标含有未知数，再由可列出，再由，代入即可解得，即可求出抛物线方程.（2） 由题意设直线l：，，，再把抛物线与直线进行联立消，得.直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得，可写出圆心和半径进而写出圆的方程，在令，即可求出以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.(1)由题意可设抛物线方程为，､，由.可得，即.解得抛物线方程为：.(2)设直线l：，，，由联立得，.则.直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得.以AB为直径的圆的圆心为，半径为，则圆的方程为. 令.则.即，解得或.即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，.题型三 、 圆锥曲线中的椭圆过定点问题例3、（2021·河北石家庄市高三二模）已知直线：与椭圆：相交于，两点，，（1）证明椭圆过定点，并求出的值；（2）求弦长的取值范围．【分析】（1）设，，将直线l与曲线C联立，根据韦达定理，可得表达式，又，可得坐标，代入数量积公式，即可求得，即可得定点坐标，即可得答案.（2）根据（1），利用弦长公式，可得表达式，由，化简整理可得，根据范围，分析可得的取值范围.【解析】（1）设，，联立直线与椭圆方程：，整理得，∴，则，又，因为，所以，所以，即，所以，即椭圆过定点，，，，所以（2）（）由得：，∴，带入式有因为，所以，，，所以，所以所以的取值范围。