地球椭球与椭球计算理论.docx

第六章地球椭球与椭球计算理论［本章提要］:本章讲述地球椭球与参考椭球的概念，进而介绍椭球的基本几何参数，基本坐 标系及其相互关系同时，讲述椭球面同地面之间的关系，如何将地面观测元素（水平方向 及斜距等）归算至椭球面上在对本章的学习中，要建立起空间的概念，只有建立了地球椭 球的这些基本空间概念后，才能更好地学习控制测量的内业数据处理等相关知识§ 6.1地球椭球的基本几何参数及其相互关系6.1.1地球椭球的基本几何参数地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型参考椭球:具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球 地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算参考椭球面是大地 测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面地球椭球的几何定义：O是椭球中心，NS为旋转 轴，a为长半轴，b为短半轴子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭 圆纬圈:垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆， 也叫平行圈赤道：通过椭球中心的平行圈地球椭球的五个基本几何参数：椭圆的长半轴a椭圆的短半轴b椭圆的扁率a= QaI椭圆的第一偏心率e =侦2一如a椭圆的第二偏心率d=E」如b其中a、b称为长度元素；扁率a反映了椭球体的扁平程度。

偏心率e和口是子午椭圆 的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球 愈扁两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数：W = v1 - e2sin2 BV = \；1 + ef2 cos2 B我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球;建立1980年国家大地坐标系 应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统（GPS）应用的是WGS-84系椭球参数几种常见的椭球体参数值克拉索夫斯基椭球体1975年国际椭球体WGS-84椭球体a6 378 245.000 000 000 0 (m)6 378 140.000 000 000 0 (m)6 378 137.000 000 000 0 (m)b6 356 863.018 773 047 3 (m)6 356 755.288 157 528 7 (m)6 356 752.314 2 (m)c6 399 698.901 782 711 0 (m)6 399 596.651 988 010 5 (m)6 399 593.625 8 (m)a1 / 298.31 / 298.2571/298.257 223 563e 20.006 693 421 622 9660.006 694 384 999 5880.006 694 379 901 3ef 20.006 738 525 414 6830.006 739 501 819 4730.006 739 496 742 276.1.2地球椭球参数间的相互关系其他元素之间的关系式如下：1 a = by 1 + e 2, b = aP 1 - e 2 c = a<1 + e'2, a = c*1 -e21 i e' = e《1 + e'2, e = e1 -e2 >V = W(1 + e”，W = '1 -e2e2 = 2a —a2 牝 2a (b \W = 41 - e 2 - V = - - VIa )/ ( a、V = J1 + e‘2 • W = - - WI b )W 2 = 1 - e 2 sin2 B = (1 - e 2)V 2V 2 = 1 +门 2 = (1 + e‘2)W 2式中，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。

§ 6.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1大地坐标系P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二 面角L，叫做P点的大地经度，由起始子午面起算，向东 为正，叫东经（0°〜180°），向西为负，叫西经（0穴 180°）P点的法线P与赤道面的夹角B，叫做P点的 大地纬度由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°〜90°）； 向南为负，叫南纬（0°〜90° ）大地坐标系是用大地经度L、大地纬度B和大地高H表示地面点位的过地面点P的子 午面与起始子午面间的夹角叫P点的大地经度由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0° ~180°），向西为负，叫西经（0°〜-180°）过P点的椭球法线与赤道面的夹角叫P点的大 地纬度由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°〜90°）， 向南为负，叫南纬（0° ~-90°）从地面点P沿椭球法 线到椭球面的距离叫大地高大地坐标坐标系中，P点 的位置用L , B表示如果点不在椭球面上，表示点的位 置除L , B外，还要附加另一参数一一大地高H，它同 正常高H正常及正高H正有如下关系H = H正常+高程异常）H = H正+ N（大地水准面差距）6.2.2空间直角坐标系以椭球体中心0为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标 系0 - XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X, Y, Z表 示。

地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z轴 指向地球北极，x轴指向起始子午面与地球赤道的交 点，y轴垂直于XOZ面并构成右手坐标系6.2.3子午面直角坐标系设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上， 以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y平面直角坐标系在该坐标系中，P点的位置用L, x, y表示6.2.4大地极坐标系M为椭球体面上任意一点，MN为过M点的子午线，S 为连结MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角以M 为极点，MN为极轴，S为极半径，A为极角，这样就构成 大地极坐标系在该坐标系中P点的位置用S , A表示椭球面上点的极坐标（S , A）与大地坐标（L , B）可以 互相换算，这种换算叫做大地主题解算6.2.5各坐标系间的关系椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标 系不同，表现出来的坐标值也不同1. 子午面直角坐标系同大地坐标系的关系过P点作法线Pn，它与x轴之夹角为B，过P点作子 午圈的切线TP，它与x轴的夹角为（90° + B）子午面 直角坐标x,y同大地纬度B的关系式如下：a cos B a cos Bx = ~. 7 =vl-e2 sin2 B Wa (1 - e 2)sin B a * 、 . _ b sin By = • == (1 - e 2)sin B =-v'l- e2 sin2 B W V2. 空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标系中的P2 P相当于子午平面直角坐标系中的y，前者的0《相当于后者的x，并且二者的经度L相同i 2X = xcosLY = x sin L >Z = y3. 空间直角坐标系同大地坐标系的关系同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换。

x =(N + H )cos B cos LN/+ H)Y B 和 Lz = N1 - e A h sin BL = arctan —x八 z + Ne 2 sin BB = arctan—— -f'X2 + — 2e 2)zH = ^— - Nsin B式中:，可由长短半径按式e 22算得N 法线长度，可由式N = a /\'1一 e2 sin2 B算得§6.3几种主要的椭球公式过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面， 法截面同椭球面交线叫法截线(或法截弧)包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面， 相应有无数多个法截线椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于 圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同6.3.1子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK = ds， 相应地有坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中 心，于是线段Dn及Kn便是子午圈曲率半径M任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：豚 dSM = dB子午圈曲率半径公式为:M = ^1^W 3c NM = 或 M =—V 3 V 2M与纬度B有关.它随B的增大而增大，变化规律如下表所示:BM说 明B = 0。

― ，一 、 c在赤道上，M小于赤道半径aM = a(1 - e 2) = i0 L'(1 + e'2)30< B < 90B = 90a(1 - e 2) < M < c-, a此间M随纬度的增大而增大在极点上，M等于极点曲率半径cM = ： = c6.3.2卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个法截 面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭 球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈在图中 PEE'即为过P点的卯酉圈卯酉圈的曲率半径 用N表示为了推导N的表达计算式，过P点作以O 为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂 直于子午面的平行圈平面内因卯酉圈也垂直于 子午面，故PT也是卯酉圈在P点处的切线即 PT垂直于Pn所以PT是平行圈PHK及卯酉圈 PEE'在P点处的公切线卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：6.3.3任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°卯 酉法截弧是东西方向，其方位角为90或270°现在来讨 论方位角为A的任意法截弧的曲率半径Ra的计算公式任意方向A的法截弧的曲率半径的计算公式如下：RA 1 +门 2 cos 2 A 1 + e' 2 cos 2 B cos 2 A(7-87)6.3.4平均曲率半径N N在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适 当半径的球面。

取过地面某点的所有方向Ra的平均值来作为这个球体的半径是合适的这个球面的半径一一平均曲率半径R：R —MNb c N a .■- "R = = = — = y (1 — e 2)W 2 V 2 V W 2因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率 半径N的几何平均值6.3.5子午线弧长计算公式子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分如图所示，取子午线上某微分弧PP = dx，令P点纬度为B， P'点纬度为B + dB，P点的子午圈曲率半径为M，于是有：dx = MdB从赤道开始到任意纬度B的平行圈之间的弧长可由下列积分求 出：X = j B MdB 0 式中M可用下式表达：M = a — a cos 2B + a cos 4B — a cos 6B + a cos 8Ba = m +—2 + — m +#m — m +—其中:a2m=—+2m+2157—m16 832m +am 一^ +3 —m+ -7 —m4 8 16 6 32 80 0 2 8 4 16 6 128 8m ma = -+ -8-6 32 16ma = ―8-8 128经积分，进行整理后得子午线弧长计算式:a a a aX = a B — —2- sin。