特征值问题变分原理.pdf

第第 8 章章 特征值问题的变分原理特征值问题的变分原理8.1 Sturm-Liouville 微分方程与特征值微分方程与特征值在求解微分方程、 结构的稳定性或者求结构的固有频率时， 我们经常会遇到下面的微分算子A01dd ( )( )[ ( )]( ) ( ),(,)ddy xAy xp xq x y xxx xxx  (8.1.1)其中)(),(xqxp都是已知的函数，0)(xp，那么方程 ( )( ) ( )Ay xw x y x(8.1.2)称为 Sturm-Liouville 方程方程，其中权函数0)(xw， 当且仅当在01(,)x x的一个零测度集上等号成立当给定了齐次边界条件后，只有某一些特定的才能使得该方程有非零解, 使得该方程有非零解的称为特征值特征值，相应的解)(xy称为特征函数特征函数常见的边界条件为(1) 两端固定∶0)()(10xyxy2) 两端自由∶0))(())((1' 0'xpyxpy3) 一端固定、 另一端自由∶0)(0xy或0)(1xy，0))((0'xpy或0))((1'xpy我们可以在复函数空间中定义一个内积运算为101212( ),( )( )( )xxy xyxy x yx dx容易证明，1212( ),( )( ),( )Ay xyxy xAyx， 即A是对称(自伴)算子。

如果记12,, (......21n)为 Sturm-Liouville 方程的特征值...,...,21nyyy是相应的特征函数也就是说( )( )( )iiiAy xw x y x(8.1.3)那么，对于特征值和特征函数，我们可以得到以下一些性质：1. 所有特征值是实的所有特征值是实的若, ( )y x是一组特征值和特征函数，即 ( )( ) ( )Ay xw x y x(8.1.4)则, ( )y x也是一组特征值和特征函数，即( )( ) ( )Ay xw x y x(8.1.5)将(8.1.4) 乘( )y x、(8.1.5) 乘( )y x相减并积分可得10()( ) ( ) ( )d0xxw x y x y xx2. 特征函数正交性特征函数正交性,0,ijwy yij由算子A的对称性,,,ijijjiAy yy AyAyy 另一方面，由于,ijy y是算子A的特征向量，所以有,,,ijiijiijAy ywy ywy y,,,,jijjijjijijAyywyywyywy y    因此`0,)(jijiywy当ji时，要求上式成立，只有0,jiywy当ij时，若,ijy y是A的两个线性无关的特征向量，选择,/,jjijjiiyywy yywy y代替jy，满足正交性要求,0ijwy y。

对于有多个线性无关特征向量的重特征值问题，也可类似处理(Schmit 正交化)这样，我们总是可以选择合适的特征函数，使得 jijiywyijji01, (8.1.6)也就是说可以把特征函数单位正交化 否则， 我们只要把得到的特征函数作下面的变换就可以,i i iiyywy y3. 特征函数的富里叶展开特征函数的富里叶展开对于任意一个连续函数)(xf，均可以用 Sturm-Liouville 算子的特征函数进行富里叶展开0)()(iiixyaxf (8.1.7)其中)(),()()(,)()(),()(xyxwxfxyyxwxyxwxfai iii i这里，严格的证明我们不去讨论8.2 Sturm-Liouville 特征值问题的特征值问题的 Rayleigh 原理原理根据上面 Sturm-Liouville 方程的算子A及内积定义，对于任意的函数)(xy,定义 , ,Ay y wy y (8.2.1)我们称该泛函为算子A的 Rayleigh 商商定理定理 8.1 上述定义的 Rayleigh 商与算子A的特征值有0,st.,yAy y wy y (8.2.2)这里st.( ) 表示泛函取驻值，此时得到的)(xy为对应特征值的特征函数。

当( )0p x 时，所有特征值0i，此时取最小特征值1,则(8.2.2) 变成10,min,yAy y wy y (8.2.3)证明证明: 对任何一个函数)(xy，按 Sturm-Liouville 方程的特征函数进行富里叶展开0)()(iiixyaxy其中( ) ( ),( )iiaw x y xy x那么由于,,,ijiijijijAy ywy y20002000,( ),( ),( ),( )iiiiii iiiiiiii iiiAy yAa y xa y xawy ywa y xa y xa因此有2020, ,ii ii iaAy y wy ya 从而2020,0d0,ii ii iaAy y wy ya  即0,,st.,1,2,,,ii iyiiAy yAy yiwy ywy y 当( )0p x 时，式(8.2.3) 可由性质(2)得到定理 8.1 称为 Sturm-Liouville 特征值问题的 Rayleigh 原理原理。

8.3 特征值问题的特征值问题的 Rayleigh-Ritz 法法根据 Rayleigh 原理，Ritz 提出了求解 Sturm-Liouville 微分方程特征值的近似计算方法:首先把特征值问题转化为变分问题(8.2.2)，然后再用数值方法来求解该变分问题令( )Ty x   12[( ),( ), ...,( )]Tnxxx 12[ ,, ...,]Tn 其中i是待定的常数，i是选定的一系列基函数，它们满足指定的边界条件在实际应用中最好从一组完备的函数系中来选取基试算函数，如幂函数，三角函数等将)(xy的表达式代入的定义中，可以得到,, ,,JAy yA Iwy ywK G             其中[],,ijijijKKA K[],,ijijijGGw G而且矩阵K和G是对称的要使得上面的取到最小值，那么必定要求满足 d0d 从而得到 dd0ddJI也就是 0KξGξ这是一个(广义)代数特征值问题，可以通过迭代方法，SVD 方法或者其他数值方法来求解。

例例 8.10)()0(, 0“lyyyy解解：：“yAy其特征值为222ln ，特征函数为lxn lxynsin2)(Rayleigh 商为yyyAy ,,如果取近似函数为)()(1xlxaxy，那么12aAy ，代入的表达式中得到2 3 111 2 52 1112 ,()1/310st.st.(),()1/30a a x xla l a x lx a x lxa ll它比真实的1稍大如果取近似函数为22 21)()()(xlxaxlxaxy，代入的表达式中得到287. 9l ，它和真实的1几乎相等8.4 Sturm-Liouville 四阶微分方程的特征值问题四阶微分方程的特征值问题Sturm-Liouville 四阶微分算子为2222dd( )dd ( )( )[ ( )][ ( )][ ( ) ( )]ddddy xy xAy xs xp xq x y xxxxx (8.4.1)特征方程为 ( )( ) ( )Ay xr x y x(8.4.2)这里( )0x边界条件为每端12(,)xx x各取下列两个边条件(1)0y或者22ddd()0dddyyspxxx ；(2)d0dy x 或者22d0dy x 。

与该方程特征值问题等价的变分问题为1010222002(“')d st.st. dxx xyyxsypyqyxJ Iryx   8.5 结构的稳定性结构的稳定性结构的平衡状态可以分为三类: 稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡在工程中经常会遇到结构失稳问题：(1) 细长杆受压， 当压力从零开始增加时，杆件保持为直线，当压力到达一定值的时候，杆件被压弯，产生较大的变形2) 板条或者工字梁在最大抗弯刚度平面内弯曲，当载荷到达一定值时，会发生侧向弯曲与扭转3) 圆柱壳的失稳定义定义 8.1（（稳定性稳定性））设结构处于某一平衡状态，受到任一微小扰动后而稍微离开原平衡位置当扰动消失后，如果结构能回到原来位置，则称此平衡状态为稳定平衡状态稳定平衡状态；如果结构可能继续偏离，不能回到原来位置，则称此平衡状态为不稳定平衡状态不稳定平衡状态介于稳定平衡和不稳定平衡之间的过渡平衡，称为临界平衡状态临界平衡状态，简称临界状态临界状态注：这里我们用临界平衡替代前述的随遇平衡这是两个不同的概念，因为临界平衡可能是随遇平衡，也可能是稳定平衡或不稳定平衡，它在工程上更有用定理定理 8.2 设( )VVu为系统的总势能，u是结构的位移函数，则其平衡点0uu必定满足0()0Vu，并且（1）对于任意0u，2 0()0Vu，则0uu必定是稳定的平衡点；（2）至少存在一个非零的u，使得2 0()0Vu，则0uu必定是不稳定平衡点；（3）对于任意u，2 0()0Vu，并且至少有一个非零的u使得不等式中的等号成立，则0uu必定是系统的临界平衡点。

定理定理8.3 平衡点稳定的充要条件是使得总势能取严格极小值例例8.2图8.1（a）为一刚性压杆（不变形），承受中心压力为F，底端A为铰支座，顶端B有弹簧系数为k的水平弹簧支承 Fk BAlI(不稳定)I(不稳定)II(不稳定)II(不稳定)FOABC()kl（a）（b）图 8.1 例 8.2 图解解：：当AB为竖直时，系统能平衡，这是原始的平衡形式现在考虑倾斜位置是否还存在新的平衡状态为此，写出平衡条件（水平方向）tansin0Fkl即(cos )sin0Fkl这个方程有两个解0这正好是原始平衡状态（Ⅰ），另一解为cosFkl这是新的平衡路径（Ⅱ）将这些解画在图（b）上，显然分支点为AcrFkl分支点A将原始平衡路径Ⅰ分成两段：前段OA上的点属于稳定平衡，而后段AB属于不稳定平衡而在新的平衡路径上，当载荷减少时倾角反而增大，所以也是属于不稳定平衡对于这类具有不稳定分支的完善体系，进行稳定性验证时要特别小心，一般应考虑初始缺陷（初曲率、偏心）的影响现在按小挠度理论分析所谓小挠度理论，是将平衡方程中位移分量按小量线性化处理由于sin, cos1代入方程（a）得()0Fkl故两个平衡态为0,Fkl，Fkl前者是原始平衡状态，后者是新的平衡状态。

OABC()klⅠⅡ图 8.2小挠度理论结果显然，按小挠度理论计算出的分支点与大挠度完全一样；但对分支点以后的情形，小挠度给出的随遇平衡是一种假象例例8.3 考虑图8.3（a）单自由度非完善体系，刚性杆AB有初倾角，其余同上例a)(b)(c)图 8.3 例 8.3 图解：解：在图（b）中，平衡条件（水平方向）为tan()[sin()sin ]0Fkl（a）所以sincos()[1]sin()Fkl（b）对于不同的，F曲线画在图（c）上曲线上有极值点，为此令d0dF  ，解得1 3si。