数学集合之间的关系个人用课堂PPT.ppt

1答案：答案：C答案：答案：B 答案：答案：C 2答案：答案：B5．若．若a＝＝n2＋＋1，，n∈ ∈N，，A＝＝{x|x＝＝k2－－4k＋＋5，，k∈ ∈N}，则，则a与与A的关系是的关系是________．．答案：答案：a∈ ∈A3课后思考课后思考42．设正整数的集合．设正整数的集合A满足：满足：“若若x∈ ∈A，则，则10－－x∈ ∈A”．．(1)试写出只有一个元素的集合试写出只有一个元素的集合A；；(2)试写出只有两个元素的集合试写出只有两个元素的集合A；；(3)这样的集合这样的集合A至多有多少个元素？至多有多少个元素？ 5新课引入一特警小组共有5人，上级要求组长至少带一名特警队员去执行一项特殊任务．问有多少种不同的分组方案？6学习目标1.理解集合之间的包含与相等包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；2.在具体情境中,了解全集与空集全集与空集的含义.学习重点：子集、真子集的概念学习重点：子集、真子集的概念学习难点：元素与子集，属于与包含间学习难点：元素与子集，属于与包含间的区别；的区别； 空集是空集是任何非空集合任何非空集合的真子集的理的真子集的理解解71、元素与集合的关系、元素与集合的关系2、集合与集合的相等关系、集合与集合的相等关系思考思考81．对于两个集合A与B，如果集合A的________一个元素都是集合B的元素，就说集合A________集合B(或集合B______集合A)，记作A______B(或B________A)，这时，也说集合A是集合B的________．2．集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)，记作A________B(或B________A)．3．如果________，并且________，那么集合A叫集合B的真子集，记作________或________．94．空集是任意一个集合的________，记作Ø________A；空集又是任意________集合的________，任意一个集合都是它本身的________．特别警示：若A⊆B，则先考虑A＝Ø的情形，在解题时容易忽略这一点而导致不必要的错误．105．一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的________一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的________一个元素都是集合A的元素，就说集合A________集合B，记作________，对于集合A、B，如果A⊆B，同时B⊆A，那么________．经验公式：有限集合的子集的个数：n个元素组成的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．11答案：1.任意　包含于　包含　⊆　⊇　子集2．3．集合A是集合B的子集　B中至少有一个元素不属于A　A B　B A4．子集　⊆　非空　真子集　子集5．任意　任意　等于　A＝B　A＝B12 (3)集合间的基本关系与实数间的关系比较：研究对象关系及符号比较集合关系包含于(被包含)真包含于包含真包含等于不包含于符号⊆⊇＝实数关系小于等于小于大于等于大于等于不等于符号≤<≥>＝≠13概念概念Venn图图数轴数轴子集子集真子集真子集集合相等集合相等返回返回 集合间的基本关系图形及数轴表示1415题型一 判定集合间的关系【例1】　判断下列关系是否正确．(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}；(3)Ø {0}；(4)0∈{0}；(5)Ø∈{0}；(6)Ø＝{0}；(7)Ø {0,1,2}；(8){1} {x|x≤5}．16集合集合A={ (x,y)|y= }，集合，集合B={(x,y)|y=x-1},集合集合A，，B有什么关系？有什么关系？【分析】【分析】本题主要考查集合与集合之间关系的判断能力本题主要考查集合与集合之间关系的判断能力.【评析】判断【评析】判断A是否为是否为B的真子集应严格执行两步：一是的真子集应严格执行两步：一是 ，即，即A的元素的元素全在全在B中；二是中；二是A≠B，即，即B中至少有一个元素不在中至少有一个元素不在A中，两者缺一不可中，两者缺一不可.【解析】【解析】集合集合A的元素是函数的元素是函数y= =x-1(x≠-1)图象上的点，是一图象上的点，是一条直线上去掉了点条直线上去掉了点(-1, -2)后剩余的所有点，集合后剩余的所有点，集合B的元素是函数的元素是函数y=x-1(x∈∈R)图象上的所有点图象上的所有点.显然，集合显然，集合A的所有元素都在集合的所有元素都在集合B中，即有中，即有 ，而集合，而集合A≠B，所，所以有以有A B，即，即A是是B的真子集的真子集.返回返回 17变式训练 1　已知X＝{x|x＝n2＋1，n∈N＋}，Y＝{y|y＝k2－4k＋5，k∈N＋}，试判断集合X与Y的关系，并给出证明．解：集合X中，x＝2,5,10,17，…，集合Y中，y＝(k－2)2＋1＝2,1,2,5,10,17，…，可得XY.证明如下：对于任意的元素x∈X，有x＝n2＋1＝(n2＋4n＋4)－4(n＋2)＋5＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5.由n∈N＋，知n＋2∈N＋，∴x具有y＝k2－4k＋5，k∈N＋的形式．∴x⊆Y.又k＝2时，y＝1，∴1∈Y.而1∉X，从而XY.18判断下列集合判断下列集合A与与B的关系：的关系：（（1））A={x|00}, B={(x,y)|x>0,y>0};（（3））A={a∈∈R|a≥0}, B={a∈∈R|方程方程x2+x-a=0有实根有实根}解：解：（（1）因为）因为00 x>0,y>0或或x<0,y<0,由由x>0,y>0xy>0,所以所以B A （（3）因为方程）因为方程x2+x-a=0有实根，有实根，所以所以Δ=1+4a≥0,解得解得a≥ , B= ,返回返回 变式训练 219题型二 子集关系的应用【例2】　满足条件{1,2} M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是(　　)A．3　　　　　　　 B．6C．7 D．9分析：根据已知条件确定M中元素的组成情况，进而求解．答案：C20解法一：由已知得集合M必含有元素1和2，且至少有一个不同于1和2的元素，故符合条件的集合M为{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,2,3,4,5}共7个，故选C.解法二：由已知得集合M必含有元素1和2，且至少有一个不同于1和2且等于3，或4，或5的元素，所以集合M的个数为集合{3,4,5}的非空子集的个数，即23－1＝7，故选C.评析：本题是利用真子集和子集的定义解题，可根据元素个数由少到多来分类处理．21变式训练 2　已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|a2或x<－1的实数在数轴上表示出来．如下图①②.∵B⊆A，∴a≥2或a＋1≤－1.解得a≥2或a≤－2.即所求a的取值范围为a≥2或a≤－2.22【评析】（【评析】（1）写出集合的所有子集时）写出集合的所有子集时,一定按顺序、规律一定按顺序、规律写出写出,避免遗漏或重复避免遗漏或重复;(2)一般地一般地,如果一个集合有如果一个集合有n个元素个元素,则子集有则子集有2n个个,非空子集非空子集有有2n -1个个.【解析】【解析】(1) ;(2)一个元素的子集一个元素的子集:{a},{b},{c};(3)两个元素的子集两个元素的子集:{a,b},{a,c},{b,c};(4)三个元素的子集三个元素的子集:{a,b,c}.综上，综上，{a,b,c}的子集有的子集有,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.写出集合写出集合{a,b,c}的子集的子集.【分析】【分析】按集合中元素的个数分类写按集合中元素的个数分类写,以防遗漏、重复以防遗漏、重复.返回返回 变式训练 323 ∵∵P M,∴∴P是是M的子集，而的子集，而M中有四个元素，中有四个元素，∴∴M的的子集有子集有 =16个个.故集合故集合N的元素个数为的元素个数为16个个. 故应选故应选C.已知集合已知集合M={a,b,c,d},N={P|P M},则集合则集合N的元素个数为的元素个数为( ) A.4个个 B.8个个 C.16个个 D.32个个C返回返回 变式训练 424题型三 集合相等关系的应用【例3】　已知三元素集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．分析：依据“相等”的定义和集合中元素的互异性，构造x、y的方程．25解：∵0∈B，A＝B，∴0∈A.∵集合A为三元素集，∴x≠xy.∴x≠0.又∵0∈B，y∈B，∴y≠0.从而x－y＝0，x＝y.这时，A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|.解得x＝0(舍去)或x＝1(舍去)或x＝－1.经验证：x＝－1，y＝－1是本题的解．26变式训练 1　已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}(a≠0)，且M＝N，求q的值．2728解：解：由题意得由题意得 解得解得由集合中元素的互异性知由集合中元素的互异性知已知已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},且且M=N.求求a,b的值的值.返回返回 变式训练 229【解析】【解析】A={x|x2+4x=0}={-4,0},∵∵B A,∴∴分分B=A，，B A两种情况讨论两种情况讨论.（（1）当）当A=B时，时，B={-4,0},即即-4,0是方程是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，于是得的两根，于是得a=1.（（2）当）当B A时，若时，若B= ,则则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得解得a<-1; 若若B≠ ，则，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得解得a=-1, 验证知验证知B={0}满足条件满足条件. 综上可知，所求实数综上可知，所求实数a的值为的值为a=1或或a≤-1.设集合设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈∈R}，若，若B A，求实，求实数数a的值的值.【分析】【分析】B A可分为可分为B A,B=A两种情况两种情况. A={0,-4}，因此，，因此，关键是对关键是对x2+2(a+1)x+a2-1=0的根的情况讨论的根的情况讨论.返回返回 题型4 子集的应用30【评析】（【评析】（1）当）当B A时，要特别注意时，要特别注意B=的情况不能漏的情况不能漏 掉，否则就会得出掉，否则就会得出a=±1 的错误结论的错误结论.（（2）分类讨论要结合实际，做到不重、不漏）分类讨论要结合实际，做到不重、不漏.此题既有集合此题既有集合的讨论，又有一元二次方程根的讨论，有时需对结果进行的讨论，又有一元二次方程根的讨论，有时需对结果进行验证验证.返回返回 31返回返回 设集合设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x| ax-2=0}，若，若B A,求实数求实数a组成的集合组成的集合.解解：由题意得由题意得A={1,2},B={x| ax-2=0},∴∴当当a=0时，时，B= ; B A 当当a≠0时，时，B={ } A,∴∴ =1或或 = 2,∴∴a=2或或a=1.综上，可知当综上，可知当B A时，实数时，实数a组成的集合为组成的集合为{0,1,2}.3233题型一 判定集合的个数【例1】　满足{a}⊆M {a，b，c，d}的集合M共有(　　)A．6个　　　　　　 B．7个C．8个 D．15个分析：用子集及真子集的概念来解决．34解：∵{a}⊆M，∴M中至少含有一个元素a.又∵M {a，b，c，d}，∴M中至多含有三个元素．由此可知满足条件的集合M有：{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}共7个．故选B.答案：B35答案：B3637评析：当判定用特征性质描述法表示的两个集合关系时，一是可用赋值法，二是从两集合元素的特征性质p(x)入手，通过整理化简，看是否是一类元素．38题型三 利用集合之间的关系求参数范围【例3】　设A＝{x|－2≤x≤a，a≥－2}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，且C⊆B，求实数a的取值范围．分析：B与C分别是函数y＝2x＋3，x∈A及z＝x2，x∈A的值域，且两个函数定义域均为A，可借助函数图象分析得a，需以2为界分两部分进行讨论．39解：∵A＝{x|－2≤x≤a，a≥－2}，∴B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a＋3}．(1)当a≥2时，C＝{z|0≤z≤a2}，∵C⊆B，∴a2≤2a＋3，解得2≤a≤3.(2)当－2≤a<2时，C＝{z|0≤z≤4}．∵C⊆B，∴4≤2a＋3，解得 ≤a<2.综合(1)(2)得 ≤a≤3.40评析：集合与不等式的关系问题主要分两类：(1)不含参数的一般可直接求解；(2)含参数问题，往往要等价转换集合的表示或化简集合，然后依据数形结合进行分类讨论．41【例4】　(1)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a组成的集合；(2)设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．分析：以上两题，虽然一个是等式，一个是不等式，但殊途同归，解题方法一样．由于B可能为空集，且B＝Ø时，仍然有B⊆A成立，因此，都要分B＝Ø，B≠Ø两种情况讨论．42解：(1)∵x2－8x＋15＝0，∴x＝3，或x＝5.∴A＝{3,5}．∵B⊆A，∴①B＝Ø时，a＝0.②B≠Ø时，由B⊆A知，3∈B或5∈B.43(2)当B≠Ø时，如下图，由B⊆A得解得2≤m≤3.当B＝Ø时，m＋1>2m－1，解得m<2.由以上可得m≤3. 44评析：(1)①B⊆A说明集合B的任何一个元素都属于A.②集合B可能为Ø，这一点在解题时常常容易忽视，从而致错．在解题时要特别注意这个“陷阱”．(2)①画数轴解决不等式问题，形象直观，提高了正确率和解题速度．②本题能够加深对空集的理解．空集是不含任何元素的集合．本题中的集合B在什么条件下是空集呢？当且仅当不等式m＋1≤x≤2m－1不成立时，B＝Ø，这个不等式何时不成立？当且仅当m＋1>2m－1时，不成立．45③当B≠Ø时，2≤m≤3；当B＝Ø时，m<2.怎么最终结果变成了m≤3？这是因为2≤m≤3时和m<2时，都有B⊆A.将这两个不等式标在数轴上，如下图，可以发现，这两部分连接成一体了，因此，只要写出m≤3就可以．④在集合问题中，常常需要分类讨论，当A⊆B时，A可以是Ø，但常常由于解题时忽略这一点而致错．46题型四 子集综合问题【例5】　一特警小组共有5人，上级要求组长至少带一名特警队员去执行一项特殊任务．问有多少种不同的分组方案？分析：可把这一特警小组的5名队员看做一个集合．47解：设特警小组组长为a，其他四名特警队员分别为b，c，d，e.组成含组长a去执行任务的集合为A，则满足{a}A⊆{a，b，c，d，e}．则A为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，c，d，e}，{a，b，c，d，e}．共计15种不同的分组方案．48【例6】　同时满足：①M⊆{1,2,3,4,5}，②若a∈M，则6－a∈M的非空集合M有多少个？写出这些集合．解：由题意知，a∈M,6－a∈M，且M⊆{1,2,3,4,5}，故以M中元素的个数进行分类．①M中含1个元素时，若3∈M，则6－3∈M，∴M＝{3}；②M中含2个元素时，M为{1,5}，{2,4}；③M中含3个元素时，M为{1,3,5}，{2,3,4}；49④M中含4个元素时，M为{1,2,4,5}；⑤M中含5个元素时，M为{1,2,3,4,5}．因此满足条件的集合共有7个，即{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．评析：正确理解条件若a∈M，则6－a∈M的含义，也就是说元素1与5,2与4,3分别成对出现，转化为三个元素的非空子集，由2n－1可得共23－1＝7(个)．501.在以下六个写法中，错误写法的个数是在以下六个写法中，错误写法的个数是（（ ））①① ②② ③③ ④④ ⑤⑤ ⑥⑥A．．3B．．4C．．5D．．6课堂检测课堂检测512、若、若 ，则，则 中的元素中的元素 必须满必须满足什么条件？足什么条件？3、已知、已知 ，， 若若A=B，试求，试求 的值。

的值52课堂小结课堂小结1、集合与集合之间的关系：子集、、集合与集合之间的关系：子集、集合相等、真子集及子集的性质集合相等、真子集及子集的性质2、空集：是任何集合的子集，是任、空集：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集何非空集合的真子集53。