无穷小与无穷大.doc

1.4 无穷小与无穷大1.4.1 无穷小1．无穷小量的定义定义：如果x → x0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x) 的极限为零 ,那么把f (x) 叫做当x → x0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小例如：由于，因此函数x-1是x→1时的无穷小由于，因此函数是当x→1时的无穷小由于，因此函数是当x→－∞时的无穷小以零为极限的数列｛xn｝，称为当n→∞时的无穷小，， 都是n→∞时的无穷小注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一种函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，由于这个常数在x→x0（或x→∞）时，极限仍为常数自身，并不是零⑶常数中只有零可以看作是无穷小，由于零在x→x0（或x→∞）时，极限是零2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有如下性质：⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多种无穷小之和不一定是无穷小）⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小常数与无穷小的乘积仍是无穷小）⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小例1．求解：∵，是有界函数， 而∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

∴＝03．函数极限与无穷小的关系定理：具有极限的函数等于它的极限与一种无穷小之和；反之，如果函数可表达为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限4．无穷小的比较例：当x→0时，x, 3x， x2, sinx, 都是无穷小观测各极限： x2比3x要快得多 sinx 与x大体相似 sinx比x2慢的多 不存在 不可比极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的得到如下结论：设α和β都是在同一种自变量的变化过程中的无穷小⑴如果＝0，则称β是比α高阶的无穷小⑵如果＝∞，则称β是比α低阶的无穷小⑶如果＝k（k≠0），则称β与α是同阶的无穷小⑷如果＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β例2．比较当x→0时，无穷小与x2阶数的高下解：由于因此 ～x2例3．当x→1时，无穷小1－x与1-x3与否同阶，与否等价？解：故同阶但不等价常用的等价无穷小：当x→0时，sinx～ x ； arcsinx ～x ； tanx ～x ；arctanx ～ x ； 1-cosx ～，ln(1+x)～x ; ex-1～x ；(1+x)a～1-ax1.4.2无穷大1．无穷大量的定义如果当x → x0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x) 的绝对值无限增大,那么函数f (x) 叫做当x → x0（或x → ∞ ）时的无穷大量，简称无穷大。

注：⑴说一种函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向如函数是当x → 0 时的无穷大，当x → ∞时，它就不是无穷大，而是无穷小了⑵不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，由于常数在x→x0(或x→∞)时极限为常数自身，并不是无穷大2．无穷小与无穷大的关系定理：在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则为无穷大例4．求解：当x→1时，分母x2-5x+4→0，因此不能直接使用商的极限法则，但f(x)的倒数的极限由无穷大与无穷小的关系可得1．5函数的持续性1.5.1函数持续性的概念1．函数的增量定义：在函数y=f (x)中，当x由x0（初值）变化到x1（终值）时，终值与初值之差x1-x0叫做自变量的增量（或变化量），记为Δx= x1-x0.相应的，函数终值f (x)与初值 f (x0)之差Δy，叫做函数的增量注意：增量Δx可正、可负；增量Δy可正、可负或为零2．函数y=f (x) 在x0的持续性先观测两个函数的图像的特点当Δx→0时，Δy→0 当Δx→0时，Δy不趋向于零定义：设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，如果当自变量x在点x0处的增量Δx趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点x0持续。

用极限表达，就是或定义2：设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当x1→x0时的极限存在，且等于它在x0处的函数值f(x0),即那么就称函数f(x)在点x0处持续函数f(x)在点x0处持续必须满足三个条件：⑴函数f(x)在点x0及其左右近旁有定义；⑵存在；⑶例5 试证函数，在x＝0处持续证明：函数在x＝0及其左右近旁有定义∵ f(0)=0 ∴函数在x＝0处持续3．函数y=f(x)在区间(a,b)内的持续设函数在区间(a，b]内有定义，如果左极限存在且等于，即＝，就说函数在点b左持续设函数在区间[a，b）内有定义，如果左极限存在且等于，即＝，就说函数在点a右持续定理：函数在点x0处持续在点x0处既左持续又右持续在区间(a,b)内任一点都持续的函数叫做在该区间内的持续函数，区间(a,b)叫做函数的持续区间持续函数的图像是一条持续不断的曲线4．复合函数的持续性设函数在点处持续，函数在点处持续，且，则复合函数在点处持续，即例6 求解：原式＝＝可以推出：当时，～1．5．2函数的间断点 函数在点持续必须满足三个条件，如果这三个条件有一种不满足，则称在点不持续（或间断），并称点为的不持续点或者间断点。

间断点的分类：第一类间断点：⑴，但，或者无意义⑵不是第一类间断点的其她间断点都称为第二类间断点1.5.3 闭区间上持续函数的性质性质1 闭区间上的持续函数一定有最大值和最小值注意：⑴若区间是开区间，定理不一定成立⑵若区间内有间断点，定理不一定成立推论：在闭区间上持续的函数在该区间上一定有界性质2 如果函数在上持续，且＜0，那么至少存在一点ξ∈(a,b)，使得对于方程＝0，若满足性质2中的条件，则方程在(a,b)内至少存在一种实根ξ，ξ又称为函数的零点例7 证明方程在区间（0，1）内至少有一种根证明：设＝，在上是持续的，又由于＝1＞0 ＝－2＜0根据性质2，至少存在一点ξ∈（0，1），使即 从而证得方程在区间（0，1）内至少有一种根判断命题与否对的：如果函数在上有定义，在(a,b)内持续，且＜0，那么 在(a,b)内必有零点解答：不对的例如函数在（0，1）内持续，·＝－2e＜0，但在（0，1）内无零点。