傅里叶变换分析.docx

第二章傅立叶变换分析方法§1引言系统（或信号）时域描述：线性差分方程，单位脉冲响应.频域描述：傅立叶变换,Z变换.= 今 今时域特征频域特征滤波器频域特征 滤波后信号§2序列的傅立叶变换 1・定乂 ： X (ej) E x (n )e-m® ；n = -»X (em )称为x(n)的傅立叶变换,也称频谱函数.简记 X (ej )=FT[x(n)];注意1当①定时,e - Jn»是n的序列产»内积«投影«分量 注意2结果x (e扣)是①的连续函数.2. { x (n)}的 FT 存在=E I x (n )13 ；n = 一83.傅立叶反变换:x (n) =j " X (ej )eJn ° d ①. 2冗—冗简记 x(n)=IFT[x (抻)].4. X (ej)的幅频，相频表示：X (ej°) = X (ei°) ej 岫[x (ej)]例1求（n）的FT.解 X (ei°) = 了s (n) e -jn ° = 1,n = 一8例2求x (n) = R (n)的傅立叶变换.4解 对任给一个& G [0, 2冗],有ZN 一 1、 , R (n) e - j ①=乙 e - j ①' ‘ Nn = 一8 n = 01 一 e一j①n e一j①n/2(ej®n/2 一 e-加n/2)e - j ® /2( ej ° /2 — e - j °/2)sin( ° N /2)=e - j ° ( n —1)/2 sin( ° /2)当 N=4 时,有x (ej°) = e- j°3/2 "n(2 °) sin( ° / 2)由于当® =冗时，序列=cos n瓦变化最剧O =冗e - jn ①烈，即数字频率最高值为…cos(npi)图:n=[-3 -2 -1 0 1 2 3 4]; stem(n,cos(n*pi));X@w）的程序计算说明：对每个w有N-1X (e> ) = £ x(n)e-Jwn = [x(0), x(1),..., x(N - 1)] | n = 0对各个w ,2w 0 0Kw 有:[X (5 o), X[g -币(N-l)X(eA-0)lg->o-21 g-jwo-Kl，…，••• •••I e-^o10g-jw 11=[x(0), x(2V-l)]| °g-jwo-l(N-l) g-jw^2(N-l) g-Jw^K(N-l)1 - 0 - 2 0 K - 01 - 1 - 2 1 K - 1, ,...,... ・.. ...=[x ( 0 X, (1 X, N.-, (e-Jw01_1) N~( 1)N ) 1K) ~N J( 1 )-0 -1 [1,2,..., K ]...=[X (0), x (1)，…，x (N - 1)]( e - Jw 0) l_N -1J%X(w)的作图xn=[1 1 1 1]; n=0:3;k=0:100; w=pi/50*k;xw=xn*(exp(-j*pi/50)).A(n**k);magx=abs(xw);magx2=[magx,magx]; w2=[w-2*pi,w,]; % 拼成 2pi angx=angle(xw); angx2=[angx,angx];%X(5 )的幅频图 subplot(2,1,1);plot(w2,magx2);%X(eiw )的相频图subplot(2,1,2);plot(w2,angx2);%也可直接作出X w=0:2*pi/100:2*pi;plot(w,abs(sin(2*w)./sin(w/2)));Warning: Divide by zero.§3序列的傅立叶变换性质1.周期性（关于w）8X (e j(°+2冗m)) = £ x(n)e- j(必+2冗m)n = x (e j®)n = -82. 线性性设X (ej ) = FT[ x (n)], X (ej ) = FT[ x (n)], 1 1 2 2则FT[ ax (n) + bx (n)] = aX (ei° ) + bX (ej° ).(Va,b )•证按定攵即得.2 1 23. 时移，频移设X(e扑)=FT[x(n)],则FT[x(n - n )] = e-加％ X(e加)； 0FT[ ei^ o nx (n)] = X (eg-%%证由定义得① FT[x(n - n )] = E x(n - n )e-加 n 0 0n = -8m = n - n yo 乙 x(m)e-拘m-加n0 = e-所0 X(e肿)•m =-8(ii) FT[ej°onx(n)] = X ej°onx(n)e-加nn = -88H MH(K}e — Je—80)n H X (e Je—o3)).a n —8演 I%* (n — k )3FT・4 0蒲 y(ewnF TR【aiaN 0H e—j顶 X (ew ).a)(0)势海迓势海遂“ a)势海*蔷滓势海® “H(ln) hh(k)s()Jw二洞»一 9m(ii)称X (n)是共轭反对称序列:若X (- n) = -X *(n);(2)频域上对称(关于w)。

')称X(e^ )是共轭对称函数：若X(e-j®) = X *(ej® )；(ii')称 X (ej®)是共轭反对称函数若 X (e-j®) = - X * (ej®)；例2分析x (n) = ej® n的对称性.解因x(-n) = ef n = x*(n),故x(n)共轭对称.<1>共轭对称序列的虚实分解:实部偶+j虚部奇；x (n) = x (n) + jx (n), x (- n) = x (- n) + jx (- n) 由x(-n) = x * (n),得x (-n) = x (n), x (-n) = -x (〃)• v2＞共辄反好称序列南虚实昇解:实矗奇+j虚部偶 例3分析y(〃)=力加”对称性.j(―n) = je-＞®« = (—jej5)* =—(力加”)* = — j*(n) ==＞共魏反对称,实部奇,虚部偶.⑶ 实成〃)的FT为共巍对称(主要)设X(em)=广 x(n)e-J^ 9 则n = — ooX (e )=乙 x (n )e JnGy、乙 x (n )e -JnGyn = - oo第13页共19页)（易得,对纯jx （n）的FT为共轭反对称）（4）复序列的FT性质（介绍）设 x (n) = x (n) + jx (n),作 FT 得X (ej ) = FT[ x (n)] = FT[ x (n )] + FT[ jx (n)]X (e 扣)+ X (ej® ).其中X (ej® )共轭对称，X (ej® )共轭反对称.时域中虚实分解==> 频域中共轭对称与反对称分解5.时域卷积（=＞频域乘积）前有 y (n) = x(n) * h(n) = X x(m)h(n 一 m),现有m = fZ^^、 ， 〜 乙 x (m) h (n 一 m) e-加nn = 一8 m = 一8令k = n - m，得、 ， 乙 x(m)e一皿mh(k)e一 jkk = 一8 m = -^=H (em ) X (e 加)6・(时域乘积=>)频域卷积设y(n) = x(n)h(n),则有Pn = -p:二\ 2冗—冗H (ei9 )ej9 n d 9 I e - i° n JY (e 加)=FT[ y (n)]=乙 x (n)h (n)e -加 nn = 一81 j" H (ej ) X x(n)e-j®nejQnd92 " 一瓦n = 一8 J" H (e羚)X x(n)e-j。

9)nd92 " 一冗n = 一81j " H (ei9)X (ei(『9))d9 = H (e加)* X (e加)一"艮口 Y （e加）=—H （e加）* X （em ）.2冗7.帕斯维尔（Parseval）（时频能量守恒）X lx (n)2 = 1「X (e 加)2d& •I 2冗—丸n = 一8证设 y (n) = x (n )|2 = x (n) x * (n )及X x* (n)e-加n = | X x(n)ej®n = [X (e-抻)]* = X *(e-加),n=—8 n=—8则有Y(eh ) = FT[y(n)] = FT[x(n)x*(n)]=乙 x (n) x * (n) e -j nn = —81=X (e 加)* X * (e -询)1 . -=j X (e JQ)X *(e-j(0-0 ))d0 •2冗—冗令 0 ,得^8乙 x (n) x * (n)= J" X (ej)X *(ej )d9 2" 一"=1 J" X (ej )2d9 .2" 一"部分性质汇总在表2.3.1中，P39.作业P481；3； 4(1,3,5); 5; 8(1,3); 9(2).。