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第四章,效用,回忆偏好关系,x y: 表示x严格偏好于 y x ~ y: 表示x 与 y受到同等偏好 x y: 表示x至少和y受同等偏好p,回忆偏好关系,完备性: 对于任意的两个消费束x和y，那么它们之间关系式 x y 或者 y x.,回忆偏好关系,反身性: 任何消费束至少与它本身受到同等偏好; 例如 x x回忆偏好关系,传递性: 假如 x 弱偏好于y, 且 y 弱偏好于z, 那么 x 弱偏好于z; 例如: x y 且 y z x z.,,效用函数,满足完备性、反身性、传递性和连续性的偏好关系可以通过一个连续效用函数来表示 连续性表示消费束的微小变动只会引起偏好的微小变动效用函数,效用函数 U(x) 表示 弱偏好关系 ，当且仅当： x’ x” U(x’) U(x”) x’ x” U(x’) U(x”) x’ ~ x” U(x’) = U(x”).,p,p,效用函数,效用函数是序数的效用函数 例如： 假如U(x) = 6 且 U(y) = 2 ，那么消费束x严格偏好于消费束y，但是消费束x并不是三倍偏好于消费束y。

效用函数与无差异曲线,考虑消费束(4,1), (2,3) 和(2,2) 假设 (2,3) (4,1) ~ (2,2) 可以对这些消费束赋值来保持它们之间的偏好顺序关系： 例如： U(2,3) = 6 U(4,1) = U(2,2) = 4 我们称这些值为效用水平p,效用函数与无差异曲线,无差异曲线包含受到同等偏好的消费束 同等偏好  同样的效用水平 因此所有在无差异曲线上的消费束都有相同的效用水平效用函数与无差异曲线,消费束(4,1) 和 (2,2) 在无差异曲线上，有相同的效用值4 但是消费束(2,3) 不在无差异曲线上，它的效用值为6 在无差异曲线图上, 这种偏好如下图所示:,效用函数与无差异曲线,U º 6,U º 4,(2,3) (2,2) ~ (4,1),x1,x2,p,效用函数与无差异曲线,另一种表示这种偏好关系的方式为通过立体图在垂直方向显示效用值U(2,3) = 6,U(2,2) = 4 U(4,1) = 4,效用函数与无差异曲线,3个消费束的消费与效用函数的三维图,x1,x2,效用,效用函数与无差异曲线,通过加入两条无差异曲线可以使得三维图能更好地显示这种偏好关系。

效用函数与无差异曲线,U º 4,U º 6,更高的无差异曲线 包含更受偏好消费束,效用,x2,x1,效用函数与无差异曲线,比较更多的消费束会发现更多的无差异消费曲线，从而能使我们对消费者的偏好有更好的理解效用函数与无差异曲线,U º 6,U º 4,U º 2,x1,x2,效用函数与无差异曲线,如前所述，可以通过在三维空间里面的垂直方向轴所表示的效用来描述每一条无差异曲线效用函数与无差异曲线,U º 6,U º 5,U º 4,U º 3,U º 2,U º 1,x1,x2,效用,效用函数与无差异曲线,比较所有可能消费束可以得到消费者的所有无差异曲线，每一条曲线都有它的效用值 所有的这些无差异曲线完全代表了消费者的偏好效用函数与无差异曲线,x1,x2,效用函数与无差异曲线,x1,x2,效用函数与无差异曲线,x1,x2,效用函数与无差异曲线,x1,x2,效用函数与无差异曲线,x1,x2,效用函数与无差异曲线,x1,x2,Utility Functions & Indiff. Curves,x1,效用函数与无差异曲线,x1,效用函数与无差异曲线,x1,效用函数与无差异曲线,x1,效用函数与无差异曲线,x1,效用函数与无差异曲线,x1,Utility Functions & Indiff. Curves,x1,效用函数与无差异曲线,x1,效用函数与无差异曲线,x1,效用函数与无差异曲线,x1,效用函数与无差异曲线,关于给定偏好关系的所有无差异曲线的集合构成了无差异曲线图。

一个无差异曲线图代表着一个效用函数，它们之间是相互对应的关系效用函数,一个给定的偏好关系的效用函数不止一 个 假设 U(x1,x2) = x1x2 表示一种偏好关系 我们考虑消费束 (4,1),(2,3) 和 (2,2)效用函数,U(x1,x2) = x1x2, 因此 U(2,3) = 6 U(4,1) = U(2,2) = 4; 也即, (2,3) (4,1) ~ (2,2).,p,效用函数,U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2). 令 V = U2.,p,,效用函数,U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2). 令V = U2. 那么有 V(x1,x2) = x12x22 且 V(2,3) = 36 V(4,1) = V(2,2) = 16 同样， (2,3) (4,1) ~ (2,2). V 代表着与U相同的偏好顺序，因此表示相同的偏好p,,p,效用函数,U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2). 假设 W = 2U + 10.,p,,效用函数,U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2). 假设 W = 2U + 10. 那么 W(x1,x2) = 2x1x2+10 s因此 W(2,3) = 22 W(4,1) = W(2,2) = 18. 同样 (2,3) (4,1) ~ (2,2). W 代表了和U和V一样的偏好顺序，因此也表示了相同的偏好关系。

p,,p,效用函数,假如 ——U 是一个表示 偏好关系的效用函数 ——f 是一个严格递增的函数， 那么 V = f(U)也同样是一个表示 偏好关系的效用函数嗜好品、厌恶品和中性商品,嗜好品是指那些能够增加效用的商品 (即更加受到偏好的消费束) 厌恶品是指那些能够降低效用的商品(即不受到偏好的消费束) 中性商品是指那些不影响效用的商品 (即它的存在不会影响消费者偏好关系)嗜好品、厌恶品和中性商品,,,效用,水,,,,x’,,,水的消费量 是嗜好品的 范围,水的消费量 是厌恶品的 范围,在 x’ 周围，少量额外的水是不影响消费者的效用效用函数,一些其它的效用函数以及它们的无差异曲线,考虑用 V(x1,x2) = x1 + x2代替 U(x1,x2) = x1x2 那么对于这个表示完全替代关系的无差异曲线是怎样的？,完全替代品的无差异曲线,,,,,,5,5,9,9,13,13,x1,x2,x1 + x2 = 5,x1 + x2 = 9,x1 + x2 = 13,,,,V(x1,x2) = x1 + x2.,完全替代品的无差异曲线,,,,,,5,5,9,9,13,13,x1,x2,x1 + x2 = 5,x1 + x2 = 9,x1 + x2 = 13,,,所有的无差异曲线都是线性和平行的,,V(x1,x2) = x1 + x2.,一些其它的效用函数以及它们的无差异曲线,考虑用函数 W(x1,x2) = min{x1,x2}替代 U(x1,x2) = x1x2 和 V(x1,x2) = x1 + x2 函数 那么完全互补品的无差异曲线是怎样的？,完全互补品的无差异曲线,,,x2,x1,,45o,,,,,,,min{x1,x2} = 8,3,5,8,3,5,8,min{x1,x2} = 5,min{x1,x2} = 3,W(x1,x2) = min{x1,x2},完全互补品的无差异曲线,,,x2,x1,,45o,,,,,,,min{x1,x2} = 8,3,5,8,3,5,8,min{x1,x2} = 5,min{x1,x2} = 3,无差异曲线是相互垂直的直线，最高点是一条 从原点出发的射线。

W(x1,x2) = min{x1,x2},一些其它的效用函数以及它们的无差异曲线,一个效用函数有如下的形式 U(x1,x2) = f(x1) + x2 是关于x2 的线性效用函数，我们称之为拟线性效用函数 例如 U(x1,x2) = 2x11/2 + x2.,拟线性无差异曲线,,,x2,x1,,,,,,,,,每一条无差异曲线都是垂直的向上平行移动一些其它的效用函数以及它们的无差异曲线,任何有如下形式的效用函数 U(x1,x2) = x1a x2b 其中 a 0 ， b 0 叫做柯布道格拉斯效用函数 例如 U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (a = b = 1/2) V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b =3）,柯布-道格拉斯无差异曲线,,x2,x1,所有曲线都是双曲线，渐进趋 向于坐标轴边际效用,边际意味着“增量”. 商品i的边际效用 是总效用的该变量与 i的消费量的改变量之比:,边际效用,例如 ，假设 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么,边际效用,例如， 假设 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么,,,边际效用,例如 假设 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么,边际效用,例如 假设 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么,,,边际效用,那么, 如果 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么,边际效用和边际替代率,无差异曲线效用函数的一般形式为 U(x1,x2) º k, k为常数 全微分得到如下方程：,边际效用和边际替代率,也即,边际效用和边际替代率,也即,且,这是边际替代率。

边际效用和边际替代率; 一个例子,假设 U(x1,x2) = x1x2. 那么,那么,边际效用和边际替代率; 一个例子,,,MRS(1,8) = - 8/1 = -8 MRS(6,6) = - 6/6 = -1.,x1,x2,,,,,8,6,1,6,U = 8,U = 36,,,,,,,,U(x1,x2) = x1x2;,,拟线性效用函数的边际替代率,拟线性效用函数有如下形式： U(x1,x2) = f(x1) + x2.,因此,拟线性效用函数的边际替代率,MRS = - f (x1) 与x2无关，对于给定的x1，拟线性效用函数的无差异曲线的斜率是一个常数，且与x2无关那么拟线性效用函数的无差异曲线图是怎样的？,¢,拟线性效用函数的边际替代率,,,x2,x1,,,,,,,,,每一条无差异曲线都是垂直的向上平行移动对于给定的x1 ，边际替代率对于是一个常数MRS = - f(x1’),MRS = -f(x1”),x1’,x1”,单调变换与边际替代率,对一个效用函数使用单调变换并不改变消费束的偏好关系 当使用单调变换时，边际替代率会怎么样变化？,单调变换与边际替代率,对于 U(x1,x2) = x1x2 MRS = - x2/x1. 令 V = U2; i.e. V(x1,x2) = x12x22. 那么V的MRS会怎样变化? 和效用函数U的MRS一样。

单调变换与边际替代率,一般来说, 假如V = f(U) 且f 是一个严格单调递增函数因此 MRS不受单调变换的影响。