《微分几何试题库》.docx
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微分几何一、判断题1、两个向量函数之和的极限等丁极限的和（V）2、二阶微分方程A（u,v）du2+2B（u,v）dudv+B（u,v）dv2=0总表示曲面上两族曲线.（x）3、右r（t）和s（t）均在［a,b姓续，则他们的和也在该区间连续（V）4、向量函数命具有固定长的充要条件是对丁t的每一个值，T—」T…一s（t）的微冏与s（t）平行（X）5、等距变换一定是保角变换.（《）6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一~定是最短的.（*）7、常向量的微商不等丁零（X）8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1,0,0）的切线为X=Y=Z（x）9、对丁曲线s=s（t）上一点（t=t°），若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（x）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（V）11、曲线的法面垂直丁过切点的切线（V）12、单位切向量的模是1（/）13、每一个保角变换一定是等距变换（x）14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是F=0，这里F是第一基本量.（寸）二、填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t在点（1,0,0）的法平■面是y+z=0,设给出c曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平•面、法平•面、从切平•面杜邦指标线的方程为Lx2*****2Mxy,Ny2=129、已知曲面P=(ucosv,usinv,6v},u>0,0壬v〈兰，则它的第一基本形式类曲线：r=r(t),a,《b.则其弧长可表示为jjr、t)dt19、已知■,3.3…-二E1r={cosx,sinx,cos2x),0
20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线21、旋转面r=(甲(t)cos8,^(t)sin6,甲(t)},他的坐标网是否为正交的?M(填“是”或“不是”).22、过点平行丁法方向的直线叫做曲面在该点的线线.23. 任何两个向量p,q的数量积pq=p|qcos(pq)保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为等距(保长)变换.24. 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数数(填“常数”或“非常数”).25. 若曲线(c)用自然参数表示r=r(t),则曲线(c)ftP(s°)点的密切平■面的方程是处沿方向du:dv=2的法曲66—,—3737(R-r(s),r(so),r(so))M30、(Cohn-Voeeen定理)两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R3中的合同或对称32. 31、球面上正规闭曲线的全挠率等丁零—一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平•面族的包络三、综合题求曲线x=tsint,y=tcost,z=tet在原点的密切平■面，法平■面，切线方程解：r={tsint,tcost,tet},r(t)={sinttcost,cos^tsint,ettet},r(t)={2cost-tsint,-2sint-tcost,2ette?在原点处t=0r(0)={0,0,0},r(0)={0,1,1},r(0)={2,0,2}.在原点处切平■面的方程为：(R-r(0),r(0),r(0))=0即XY-Z=0法平面的方程为：即Y•Z=0切线方程为XY(R-r(0))r(0)=0R-r(0)=-r(0)Z01134、求曲面z=x3-y3的渐近曲线。
解设r={u,v,u3—v3}则ru={1,0,3u},0=01,—3v}^_=J44m{-3u?,3v\l}|rurv|9u49v41ruu={0,0,6u},Hv=0，rvv={一6v},m■6u5m♦czm.-6vL=nR=-^4,M=n%=N=n%=l_44——.9u49v41.9u49v41因渐近曲线的微分方程为Ldu2-2MdudvNdv2=0即udu2=vdv2或Tudu±\/vdv=0渐近曲线为u2=v3+G或(—u)3=v；+C2求双曲抛物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的第一基本形式解:r={a(uv),b(u-v),2uv},邕={a,b,2v},r={a,-b,2u}.E=「u.=a2b24v2,FR=a2-b24uv,G=rvrv=a2b24u2.2222_222222I=(ab4v)du2(a-b-4uv)dudv(ab4u)dv计算球面r=(Rcos&cos平,Rcos^sin甲,Rsin^)的第二基本形式解：r={RcosMos,Rcos^sin,Rsin»,r={-Rcos^sin,Rco^icos,0},j={—Rsin^cos，一Rsin^sin,Rcos^},由此得到222E=r..：・r=Rcos,F=r,：；j-0,G=jr^-R,_r_r2_、EG-F2ei-Rcossin-Rsincos={cos^cos,cos『sin,sin□},乂由丁r={-Rcos^cos*-Rcosgn*0},r-{Rsin^sin*—Rsincos,0},r.^-{—Rcos^cos',—Rcos^sin*—Rsinu},所以L=r计n=-Rcos2(T),M=r小n=0,N=jn=-R,因而得到du2dv2n=-(Rcos2ud2Rdf)35. 如果曲面的第一基本形式ds2=；u广2,计算第二类克力斯托费尔符(u2v2c)2解:因为E=22、2，(uvc)F=0,222(uvc)所以22一2(uvc)2u-4u所以Ev■212z22\4(uvc)z22\3(uvc)=Gu22-2(uvc)2vz22\4(uvc)_Eu_-2u一2E一u2v2c,_Ev-2v-2E-22,uvc-Gu2u■i1i■122E刑=2u『c驾21138、已知曲面的第一基本形式为I率。
0,-4v/22(uv2GGu2GGv2Gu-线的测地曲率guEvv-线的测地曲率gvc)3=Gv2v-2u-2v=v(du2+dv2),va0,求坐标曲线的测地曲Ev=12E.G2v.v氏=039、问曲面上曲线r的切向量沿曲线「本身平■行移动的充要条件是曲面上的曲线r是测地线吗？为什么？曲面上的4du2r2—ds2a'duJ1,2)答：曲面上曲线r的切向量沿曲线「本身平行移动的充要条件是曲线「是测地线.事实上，设T:u'=u'(s)(i=1,2)，则「的切向量为日=［史~tds1du2du211.1ij22-记,a=—,Da=da-二.『adu,Da=da•、则曲线「的切向量』沿「平行移动uD)=2uDa1=0,Da2=0i2kij40. Dadu、.kdudu仁福」0w，*M"胃云=°(k=u「为测地线求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线.解:因为r={ucosv,usinv,bv},E=1,F=0,G=u2b2,L=0,M：—b—,N=0.,,,,、u2b2,由丁L=N=0,所以，正螺面的曲纹坐标网是渐进网，则一族渐近线是r={u0cosv,u0sinv,bv},这是螺旋线，另一族渐近线是r={ucosv°,usinv0,bv。
},这是直线.41、设空间两条曲线r和c的曲率处处不为零，若曲线r和c可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平■行，求证曲线「和c在对应点的切线夹固定角.证设「：h=r（s）,r：*=r*（s）,则由0//N*知"=±&,从而建昂=0,m=0,净办+右配；串=0dsds=constant,即cos（J,』*）=C这表明曲线「和C在对应点的切线夹固定角.42、证明r(t)具有固定方向的充要条件是r(t)r(t)=0证明:必要性设r(t)="t)e(e为常单位向量)，则r(t)='(t)e,所以r(t)r(t)=0充分性：r(t)=，《t)e(t)(e(t)为单位向量函数),则r(t)='(t)e(t)(t)e(t),r(t)r(t)=2(t)[e(t)e(t)].因为r(t)#0,于是*t)#0,当r(t)*r'(t)三0,从而有e(t)e⑴=0,即e(t)//e'(t)，因为e(t)_Le'(t)(根据e(t)=1)，因此e'(t)=0即e(t)为常向量，所以r(t)=■(t)e(t)有固定方向43、给出曲面上一条曲率线「，设：r上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角.求证「是一条平面曲线.4o-Tnsdd证设W：r="u,v),「：u=u(s),v=v(s)，其中s是r的自然参数，记8=(7,布，则r‘*=cos8，两边求导，得一4:十由「为曲率线知思混，即至〃四=私因此，n=r也一部也=0dsdsdsds若T=0,U「为平■面曲线；若n=0，则因「为曲面£上的一条曲率线，故d^Kndr.而=3翟土崩J=o,所以dn=0,即n为常向量.丁是「为平面曲线.44、求圆柱螺线R(t)={acost,asint,bt}在i=—处的切线方程。
3r(t)={acost,asint,bt},r(t)={-asint,acost,b},}nJ3nb\3尸项,；a,at=^时，有r'(：)={—耳&,：切.3322所以切线的方程为nnPW,「（3）即1-’3.3■,二、，p=aqae2(―‘)be3223如果用坐标表示，则得切线方程为Xa2、3■:Y-一aZ-一b2_32b2即2x-a2Y-3a-3aa45、求双曲螺线r={acosht,asinht,at}从t=0起计算的弧长〃力r={acosht,asinht,at},r={asinht,acosht,a}从t=0起计算的弧长为GHr(t)|dt="x'2+y'2+z'2dt=t./sin^t/cos^tadt=o,a2(sinh211)a2cosh2tdt0^，a2cosh2ta2cosh2tdt=■-2asinht.46、求球面r={RcosHcos甲，Rcos^sin甲,Rsin8}的第一基本形式r={RcosHcos甲,RcosHsinB,Rsin0},可得出解：由g={—Rcos@sin甲,Rcos6cos?,0},r.^-{—Rsincos*—Rsinsin:,Rcos},由此得到曲面的第一类基本量E=r：r=R2co&,F=r匚-0,2G=JJ-R因而I=R2cogud'2R%/47、曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。
证明设ki
