探究多层薄膜系统反射率与入射波长和介质厚度的关系 光学软件课程设计.doc

安徽工业大学光信息科学与技术专业《光学软件课程设计》课程报告年级： 光 082 班 姓名： 董和义 089084034 指导教师： 黄仙山 日期： 6/27/2011 2/10探究多层薄膜系统反射率与入射波长和介质厚度的关系一、设计理论1、传输矩阵在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型如图 1(a)所示，在(a)中若已知 A点电压及电路电流，则我们只需要知道电阻 R，便可求出 B点电压传输矩阵具有和电阻相同的模型特性A B(a)E0 E1(b)图 1 传输矩阵模型及电路模拟模型如图 1(b)所示，有这样的关系式存在：E 0=M(z)E1M(z)即为传输矩阵，它将介质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将 A、B 两点的电势联系起来的实质是相似的……1 2 3 4 …… j …… N图 2 多层周期性交替排列介质传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质（如图 2所示） ， M(z)反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积，若用 表示第 jjM3/10层的特征矩阵，则有： DCBAMzNjj1)(其中， （1）为相位厚度，有 j如公式（1）所示， 的表示为一个 2×2的矩阵形式，其中每个矩阵元都没有任jM何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在第二部分给出。

2、传输矩阵推导图 3 薄膜边界上的场假设平面波以入射角 从折射率为 的介质入射到薄膜上，薄膜的折射率和厚度i10n分别为 和 ，薄膜下面的基片的折射率为 由于一般情况下，入射光中电矢量垂1nhG直于入射面的 S 波河电矢量平行于入射面的 P 波德反射本领不同，有必要对这两个波分别予以讨论先讨论入射波电矢量垂直于入射面的情况，即假定入射波时一个 S 偏振波；并且设入射波的电场和磁场为 和 由于薄膜两界面的反射，在 介质中，除入射场1iEiH0ncos-sin-icj jjjjjjjjdNos2E’r2 H’r2Er2 Hr2Et2 Ht2Ei2 Hi2Ei1 Hi1 t21ti2i2i1n2 GnEt1 Ht14/10外，还有反射场 和 在薄膜内，入射场在界面 1 处的透射场为 和 ，另外1rErH1tEtH在界面 1 处还有从界面 2 反射回来的透射场 和 ；在界面 2 处，入射场 和 ，'1rE'rH2ii反射场为 和 在基片中，只有界面 2 的透射场 和 图 3 示意地表示了光2rr 2tt线的传输应该注意，除了入射场 和 之外，其余的场都是薄膜界面多次反射和1ii透射造成的总的效应。

下面从电磁场的边值关系寻求薄膜两界面上的场的关系按照边值关系，电场和磁场的切向分量在界面两边相等因此，在界面 1上有（2）'111'122EcoscscoscsirtriitiriHH式中， 是平面波在界面 1 的折射角，也是对界面 2 的入射角由于2i HE取 ， （2）式可改写为0（3）01101'01212()cosiritriHEn在界面 2上，则有（4）22irtEE（5）012022()cosiritGtHn式中， 是对界面 2 的折射角在不考虑薄膜对光能的吸收时， 和 ，2t 2iE1t和 的关系如下：'2rEr（6）21'exp()irEi式中 （7）112cosinh5/10是平面波通过薄膜一次 A,B 两点的位相变化这样，式（ 4） （5）可写成'2121' 01 12exp()exp()[ ]cost rt iEiEiHn由以上两式可求得 （8）211exp())2tiH（9）' 1221()E)ri式中 （10）0112cosin把式（8）和式（9）代入（2）和（3）得到（11）11212sincos()EH（12）12121ico把这两个式子写成矩阵形式（13）111 2cossinicEEHH其中矩阵 （14）11cssiincoM称为薄膜的特征矩阵，它的重要意义在于把薄膜的两个界面的场联系了起来，而它本身却包含了薄膜的一切特征参数。

上面的推导是对单层膜且假设入射波为 S 偏振波散出的，为了使它适用于更一般的情况，可以做两点推广：I、如果入射波时 P 偏振波，做类似的推导则可以证明，只要把参数 改为1（15）0112cosinA6/10薄膜的特征矩阵仍然有式（14）的形式II、对于多层膜的情况，例如双层膜，则有三个界面，而对于第 2 和第 3 界面有关系32EMH式中， 是与基片相邻的第 2 层膜的特征矩阵把上式两边同乘以矩阵2M 1M如此类推，当膜系包含 N 层膜时，则有112NEEMHH式中， 代表不同层的特征矩阵，它们都具有（14）式所给出的形式，以12,NM及相应的 和 而整个膜系的特征矩阵就是它们的乘积：12N由于矩阵运算不服从交换律，所以上式中矩阵相乘的次序不能颠倒3、薄膜反射率透射率的计算反射系数： ，01DrcGABCEi透射系数： (1) 002rNcGti其中 ，0(1)cosGiNn01osin反射率： 透射率： Rr *Tt4、材料选择此程序所选取的色散材料，如[11,12]，LiF（模型中的 A 层）的折射率在范围内的关系为1.25~.3m2241.38760.19.041.0345.057AnL7/10Si（模型中的 B 层）的折射率在同一波段为 2243.41690.3847.01394.090.18nL其中 。

2/.L二、设计程序本程序中选用的是色散材料，如[11,12]，LiF，其传播速度和纤芯折射率随波长变化根据其 A,B 层折射率和波长的关系，只要给定波长，即可算出介质折射率再根据折射定律和电磁场边界条件，便可算出传输矩阵程序中选定的周期数 N=16，入射角 a0=0,A 层厚度 da=0.5um,B 层厚度db=0.35,0.36,0.37，入射波长为 1.25um~2.35um注意：该程序由于带有中文说明，在 matlab 能显示中文的情况下运行比较好若 matlab 因为版本的不同不能显示中文，这样调节：选择 File/Preferences/Fonts,选择“宋体” 程序清单：clcclearclose alln0=1;%n0 为空气折射率a0=input('请输入入射角 a0:');N=input('请输入需要计算的周期数 N:');for db=0.35:0.01:0.37s=0;for d=1.25:0.001:2.35;%波长范围L=1/(d^2)-0.028;na=1.38761+0.001796*L-0.00041*L^2-0.0023045*d^2-0.00000557*d^4;nb=3.41696+0.138497*L+0.013924*L^2-0.0000209*d^2+0.000000148*d^4;a1=asin(n0*sin(a0)/na);%第一分界面折射角a2=asin(na*sin(a1)/nb);%第二分界面折射角da=0.5;p1=2*pi*na*da*cos(a1)/d;%相位变化p2=2*pi*nb*db*cos(a2)/d;u0=4*pi*1e-7;%真空磁导率e0=1e-9/(36*pi);%真空介电常数b=sqrt(e0/u0);8/10c1=b*cos(a1)*na;%波阻抗c2=b*cos(a2)*nb;A1=cos(p1);B1=-i*sin(p1)/c1;C1=-i*c1*sin(p1);D1=cos(p1);M1=[A1 B1;C1 D1];%介质 1 传输矩阵A2=cos(p2);B2=-i*sin(p2)/c2;C2=-i*c2*sin(p2);D2=cos(p2);M2=[A2 B2;C2 D2];%介质 2 传输矩阵M=(M1*M2)^N;%N 个周期总的传输矩阵A=M(1,1);B=M(1,2);C=M(2,1);D=M(2,2);a3=asin(nb*sin(a2)/n0);%射出介质时的出射角c0=b*cos(a0)*n0;c00=b*cos(a3)*n0;r=(A*c0+B*c0*c00-C-D*c00)/(c0*A+c0*c00*B+C+D*c0);%反射率r1=r*conj(r);s=s+1;kr(1,s)=r1;endd=1.25:0.001:2.35;hold onaxis([1.25 2.35 0 1])set(gca,'XTick',[1.25:0.1:2.35])switch dbcase 0.35subplot(3,1,1)plot(d,kr)xlabel('入射波长(um)'); ylabel('反射系数')legend('db=0.35')case 0.36subplot(3,1,2)plot(d,kr,'r:')xlabel('入射波长(um)');ylabel('反射系数')legend('db=0.36')case 0.37subplot(3,1,3)plot(d,kr,'g-.')xlabel('入射波长(um)');ylabel('反射系数')legend('db=0.37')end9/10end10/10三、程序结果与分析该程序在 matlab6.5中运行结果如下图所示图 4 反射率与入射波长的关系图谱观察结果发现，当保持 A 层厚度不变，而增加 B 层厚度发现带隙红移（光谱向长波段（红）段的位移） ；反观结果，随着膜层变薄，带隙会出现蓝移（光谱向短波长波段（紫）段的位移） 。

在物理上可以理解为增加（或减小）结构单元厚度，导致光在周期性结构中传输时光程的相应增加（或减小） ，必然导致反射加强的部分向波长长（或短）的位置移动四、心得体会此次设计还有很多不完善的地方，还有待提高比如程序的细想，我想还有很大的提升空间程序设计过程中，有许多难题，上网参考了诸多资料，在此感谢浩瀚的互联网资源其次，也感谢系主任黄仙山老师，给我们提供了这样一个动手、实际操作的机会，在此表示感谢，3Q!。