2019-2020年高考数学一轮复习 第七章 第4讲 知能训练轻松闯关.doc

2019-2020年高考数学一轮复习 第七章 第4讲 知能训练轻松闯关1．(xx·惠州模拟)已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是(　　)A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m解析：选C．借助正方体模型进行判断．易排除选项A，B，D，故选C．2．(xx·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选D．若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A．若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B．若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C．故选D．3．(xx·大连市双基测试)在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则真命题是(　　)A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析：选D．对于A，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，因此选项A不正确；对于B，分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行的或异面的或相交的，因此选项B不正确；对于C，直线b可能位于平面α内，此时结论不正确；对于D，直线a与平面β没有公共点，因此a∥β，选项D正确．4． 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线(　　)A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：选D．由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．5． 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B．由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，∴EF∥平面BCD．又H，G分别为BC，CD的中点，∴HG綊BD，∴EF∥HG且EF≠HG．∴四边形EFGH是梯形．6． 如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是__________．解析：在平面ABD中，＝，∴MN∥BD．又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴MN∥平面BCD．答案：平行7．(xx·汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β；④若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行．解析：①为假命题；②为真命题；在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题；在④中，m，n也可能异面，故为假命题．答案：②8．(xx·湖南长沙一中高考模拟)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ．又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ．∴＝＝2，即PQ＝2PM．又知△APM∽△ADB，∴＝＝，∴PM＝BD，又BD＝a，∴PQ＝a．答案：a9． 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1．证明：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1．又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1．又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1．10． 如图，已知四棱锥P­ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．(1)求证：AM＝CM；(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC．证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝AB＝1，∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC．又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝PB，在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝PB，∴AM＝CM．(2)连接DB交AC于点F，∵DC綊AB，∴DF＝FB．取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM．又DG⊄平面AMC，FM⊂平面AMC，∴DG∥平面AMC．连接GN，则GN∥MC，∴GN∥平面AMC．又GN∩DG＝G，∴平面DNG∥平面AMC．∵DN⊂平面DNG，∴DN∥平面AMC．1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是对角线AB1，BC1上两点，且＝，求证：MN∥平面A1B1C1D1．证明：如图所示，在平面AA1B1B内，作MK∥A1B1交BB1于点K，因为A1B1⊂平面A1B1C1D1，MK⊄平面A1B1C1D1，所以MK∥平面A1B1C1D1连接KN，由MK∥A1B1可知＝，又＝，所以＝，所以KN∥B1C1，因为B1C1⊂平面A1B1C1D1，KN⊄平面A1B1C1D1，所以KN∥平面A1B1C1D1．又MK，KN是平面MNK内两条相交的直线，所以平面MNK∥平面A1B1C1D1，因为MN⊂平面MNK，所以MN∥平面A1B1C1D1．2． 如图，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．解：(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1．连接A1B交AB1于点O，连接OD1．由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1．又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1．∴＝1时，BC1∥平面AB1D1．(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O．因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1．∴＝，＝．又∵＝1，∴＝1，即＝1．3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC．解：(1)证明：因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D．又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．同理B1D1∥平面C1BD．又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD．(2)如图，连接A1C1，交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E．又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．连接AC，交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC．因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F．在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF．同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即FC＝EF，所以A1E＝EF＝FC．。