（江苏专用）高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书 文 苏教版-苏教版高三全册数学试题.doc

4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α.2.各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角π－α－α＋α图示与角α终边的关系关于y轴对称关于直线y＝x对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限【知识拓展】1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数基本关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)(2)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　×　)(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　×　)(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(　√　)1.(2015·福建改编)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为 .答案　－解析　∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，∴tan α＝＝－.2.(教材改编)已知cos θ＝，且＜θ＜2π，那么tan θ的值为 .答案　－解析　因为θ为第四象限角，所以tan θ＜0，sin θ＜0，sin θ＝－＝－，所以tan θ＝＝－.3.(2016·连云港模拟)计算：sin π＋cos π＝ .答案　－1解析　∵sin π＝sin(π＋π)＝－sin ＝－，cos π＝cos(2π＋)＝cos ＝－，∴sin π＋cos π＝－1.4.(教材改编)已知tan α＝1，则＝ .答案　解析　原式＝＝＝.5.(教材改编)化简：＋＝ .答案　1解析　因为tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α，sin(－α)＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α，cos(α－)＝cos(α＋)＝－sin α，sin(＋α)＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α，所以原式＝＋＝－＝＝＝1.题型一　同角三角函数关系式的应用例1　(1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为 .(2)(2016·苏州期末)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝ .答案　(1)　(2)－解析　(1)∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.(2)由得5cos2θ－cos θ－＝0，解得cos θ＝或－.因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－，从而sin θ＝－，所以sin θ＋cos θ＝－.思维升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.　已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝ .答案　－1解析　由消去sin α得2cos2α＋2cos α＋1＝0，即(cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－.又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan＝－1.题型二　诱导公式的应用例2　(1)(2016·宿迁模拟)已知f(x)＝，则f(－)＝ .(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是 .答案　(1)－1　(2){2，－2}解析　(1)f(x)＝＝－tan2x，f(－)＝－tan2(－)＝－tan2π＝－1.(2)当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝－＝－2.∴A的值构成的集合是{2，－2}.思维升华　(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.　(1)化简：＝ .(2)(2016·南京模拟)已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为 .答案　(1)－1　(2)－解析　(1)原式＝＝＝＝－＝－·＝－1.(2)原式＝＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－.题型三　同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3　(1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是 .答案　解析　2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0， ①tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为tan α－6sin β－1＝0. ②由①②消去sin β，解得tan α＝3.又α为锐角，根据sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝.(2)已知－π0，∴cos x>0，sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.②＝＝＝＝－.引申探究本题(2)中，若将条件“－π0，cos x<0，∴sin x－cos x>0，又(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，故sin x－cos x＝.思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，求的值.解　由于方程5x2－7x－6＝0的两根为2和－，所以sin α＝－，再由sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝±＝±，所以tan α＝±，所以原式＝＝tan α＝±.7.分类讨论思想在三角函数中的应用典例　(1)已知sin α＝，则tan(α＋π)＋＝ .(2)已知k∈Z，化简：＝ .思想方法指导　(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论.(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论.解析　(1)∵sin α＝＞0，∴α为第一或第二象限角.tan(α＋π)＋＝tan α＋＝＋＝.①当α是第一象限角时，cos α＝＝，原式＝＝.②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，原式＝＝－.综合①②知，原式＝或－.(2)当k＝2n(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1.综上，原式＝－1.答案　(1)或－　(2)－11.(2016·盐城模拟)已知cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值为 .答案　解析　∵α∈(0，π)，∴sin α＝ ＝ ＝，由tan α＝，得tan α＝.2.已知cos α＝，且－＜α＜0，则＝ .答案　－2解析　原式＝＝tan α，∵cos α＝，－<α<0，∴sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－2.3.若角α的终边落在第三象限，则＋的值为 .答案　－3解析　由角α的终边落在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.4.若sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sin α·cos α的值为 .答案　－解析　由sin(π－α)＝－2sin(＋α)，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝＝＝－.5.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为 .答案　－3解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin α－bcos β＝－3. 6.(2016·扬州模拟)若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为 .答案　1－解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.7.已知α为钝角，sin(＋α)＝，则sin(－α)＝ .答案　－解析　因为α为钝角，所以cos(＋α)＝－，所以sin(－α)＝cos[－(－α)]＝cos(＋α)＝－.8.(2016·江苏如东高级中学期中)若sin α＝2cos α，则sin2α＋2cos2α的值为 .答案　解析　由sin α＝2cos α，得tan α＝2，因此sin2α＋2cos2α＝＝＝＝.9.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝ .答案　2解析　由题意可得。