相似三角形与圆的综合应用.docx

个性化讲义课题相似三角形与圆的综合应用教学目标1. 了解相似图形和相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质2. 掌握与圆的相关性质，以及与圆相关的角的概念及性质，理解切线及切线长定理在圆中的应用3. 掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的相关位置关系，了解相似三角形在圆中的应用重点、难点1. 相似三角形的定义及相似三角形的判定定理和性质2. 与圆相关的性质3. 与圆相关的位置关系4. 相似三角形在圆中的应用考点及考试要求考点一：相似三角形，了解相似图形和相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质考点二：圆的基本性质及与圆相关的位置关系，掌握圆的基本性质，特别是垂径定理、圆周角及圆心角；理解与圆相关的位置关系，特殊是直线与圆位置关系中的相切关系和圆与圆的位置关系教学内容知识框架相似三角形的概念与判定（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）二）判定：① 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似② 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似③ 有两个角对应相等的两个三角形相似。

④ 三条边对应成比例的两个三角形相似⑤ 一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似⑥ 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相似三角形的性质1•相似比：相似三角形对应边的比值2. 相似三角形各组对应角相等3. 相似三角形各组对应边的比值相等4. 相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比5. 相似三角形周长的比等于相似比6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方7. 直角三角形中，斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项圆的性质1、旋转不变性2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心.3、轴对称：4、与圆有关的角⑴圆心角⑵圆周角点和圆、圆与圆的位置关系1•点与圆的位置关系2•判定直线与圆的位置关系的方法有两种3、常用的辅助线是：圆心到直线的垂线段圆与圆的位置关系：1. 两圆的位置关系有五种2. 根据两圆交点个数判断两圆的位置关系3•根据圆心距与两圆半径的和的数量关系圆中常见的辅助线1. 作半径，利用同圆或等圆的半径相等；2. 作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算；3. 作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算;4. 作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；5. 作弦、直径等构造直径所对的圆周角一一直角；6. 遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。

考点一：相似三角形典型例题#1在AABC中，AB=AC,ZA=36°,ZABC的平分线BD与AC交于D,求证:(1)BC=BD(2)△ABCs^BDC2•两个相似三角形对应中线之比是3:7,周长之和为30cm,则它们的周长分别是.3•如图，已知AB=BCDEACAE，求证：△ABDs^ACE4. 在RtAABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,则BD:AD等于（(A)a：b(B)a2:b2(C)■■■；'a：\/b（D）不能确定CE5•如图，在△ABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,DE丄AC于E,—DE=1=2的值知识概括、方法总结与易错点分析相似三角形的概念与判定（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）二）判定：① 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似② 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似③ 有两个角对应相等的两个三角形相似④ 三条边对应成比例的两个三角形相似⑤ 一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似⑥ 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

2. 相似三角形的性质1•相似比：相似三角形对应边的比值相似三角形各组对应角相等相似三角形各组对应边的比值相等相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方直角三角形中，斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项针对性练习1两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm和20cm，若它们的周长的差是60cm，则较大的三角形的周长是，若它们的面积之和为260cm2，则较小的三角形的面积为cm2如图，PLMN为矩形，AD丄BC于D，PL:LM=5:9，且BC=36cm,AD=12cm，求矩形PLMN的周长A如图，在RtAABD中，ZADB=90°,CD丄AB于C，AC=20cm,BC=9cm，求AB及BD的长如图，矩形ABCD中，AE丄BD于E,若BE=4,DE=9，求矩形的面积考点二：圆、相似与圆的综合应用典型例题1•如图，AB是厶ABC的外接圆00的直径，D是00上的一点，DE丄AB于点E,且DE的延长线分别交AC、0O、BC的延长线于F、M、G.求证：AE・BE=EF・EG；2. 如图，AB是00的直径，BC是00的切线，D是00上的一点，且AD〃C0。

1)求证:△ADBsA0BC；⑵若AB=2,BC=、.2，求AD的长结果保留根号)已知：如图，AB是00的直径，点P在BA的延长线上，PD切00于点C,BD丄PD，垂足为D,连接BC求证：(1)BC平分ZPBD；(2)BC圆的性质旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.性质：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等AB-BDB4.如图，AB是0O的直径，BC丄AB,弦AD〃OC.求证：CD是0O的切线知识概括、方法总结与易错点分析3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.4、与圆有关的角⑴圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数⑵圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角的性质：① 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.② 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.点与圆的位置关系点在圆外d>r点在圆上d=r点在圆内dVr直线与圆的位置关系判定方法有两种(1) 根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断常用的辅助线是：圆心到直线的垂线段圆与圆的位置关系(1)当两圆有唯一的公共点时，叫做两圆相切，唯一的公共点叫做切点。

相切的两个圆除了切点外,一个圆上的点都在另一个圆的外部时，我们就说这两个圆外切(如图1);，相切的两个圆，除了切点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，我们就说这两个圆内切(如图2)2)设两个圆的半径为R和r,(R>r)，圆心距为d,则可得两圆外切Od=R+r;两圆内切Od=R-r相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆的圆心的直线叫做连心线，是他们的对称轴，由此我们得到相切两圆的连心线的性质：相切两圆的连心线必经过切点图1T两圆的位置关系还有以下三种情况:当两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交(如图1);当两个圆没有公共点时，叫做两圆相离，相离的两个圆，如果一个圆上的点都在另一个圆的外部，我们就说这两个圆外离(如图2),如果一个圆上点都在另一个圆的内部我们就说这两个圆内含(如图3)设两个圆的半径为R和r,圆心距为d,则(1) 两圆相交oR-rVdVR+r;(2) 两圆外离Od>R+r;1. 两圆内含OdVR-r(R>r);圆中常见的辅助线作半径，利用同圆或等圆的半径相等；作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算；作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算；作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；作弦、直径等构造直径所对的圆周角一一直角；遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。

针对性练习：1. 如图，AB是00的直径，弦DE丄AB,垂足为C,过点D作00的切线交BA的延长线于点P,tanvi5ZP=，P0=16o15(1)求00的半径；(2)求0C的长；⑶若F为弧AE的中点，求cosZAOF的值2. 已知：如图，直线PA交0O于A、E两点，PA的垂线DC切0O于点C,过A点作0O的直径ABP(1) 求证:AC平分ZDAB；(2) 若DC=4，DA=2，求0O的直径PC切00于点C,过圆心的割线PAB交00于A、B两点，BE丄PE,垂足为E,BE交00于点D,FB是PC上一点，且PF=AF,FA的延长线交00于点Go求证：（1）ZFGD=2ZPBC；PCPO（2）AGAB4•已知直线L与00相切于点A,直径AB=6，点P在L上移动，连接0P交00于点C,连接BC并延长BC交直线L于点D,（1）若AP=4,求线段PC的长（2）若厶PA0与ABAD相似，求ZAP0的度数和四边形0ADC的面积（答案要求保留根号）巩固作业若ZAPB=60°，则ZAB0=.2.（第1题）（第2题）（第3题）如图，在△ABC中，ZA=90°,AB=AC=2cm,0A与BC相切于点D,则0A的半径为..cm.3.如图，已知ZAOB=30°,M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作0M.若点M在OB边上运动，则当0M=..cm时，0M与0A相切.4.如图，PA为00的切线，A为切点，P0交00于点B,PA=3,0A=4,则cosZAP0的值为（）(A)3(BQ4（c）4(D)35.已知正三角形的内切圆半径为¥cm,则它的边长是（）(A)2cm(B)3cm(C)2打cm(D)\'3cm6.(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个已知半径均为1厘米的两圆外切，半径为2厘米，且和这两圆都相切的圆共有（）7.如图，AD、AE分别是00的切线，D、E为切点，BC切00于F交AD、AE于点B、C，若AD=8.则三角形ABC的周长是（）A.8B.10C.16D.不能确定8.如图，BC是0O的直径，弦AE丄BC，垂足D,AB=|BF,AE与BF相交于点G.cB求证：(1)BE=EF；(2)BG=GE9.如图，已知AB是0O的直径,0O过BC的中点D,且DE丄AC.（1）求证:DE是0O的切线.⑵若ZC=30°,CD=10cm,求00的半径.10.如图，在△ABC中，ZABC=90,AB=6,BC=8。

以AB为直径的00交AC于D,E是BC的中点,连接ED并延长交BA的延长线于点F1) 求证：DE是00的切线；求DB的长；11•已知：如图，以RtAABC的斜边AB为直径作00,D是00上的点，且有AC=CD过点C作00的B切线，与BD的延长线交于点E,连结CD1) 试判断BE与CE是否互相垂直?请说明理由；(2) 若CD=2、“5，tanZDCE=1,求00的半径长212.已知：如图，AABC中，AC=BC，以BC为直径的00交AB于点D,过点。