高考试题的探究（二）：圆锥曲线的切线中的定点问.doc

傩曲钱切钱的定丘问縣摘要圆锥曲线中的切线是直线与圆锥曲线的位置关系的一种特殊情形定点问题，是在运动 变化中寻找不变量的一类题型.本文尝试从理论指导实践与实践性反思的角度力求较为深层次地剖析 圆锥曲线的切线蕴涵的定点问题，掌握其解题的主要规律，简化解析几何的运算，促使学生能举一反 三、触类旁通，提升数学素养与能力关键词 圆锥曲线 切线 定点问题 解题教学 简化运算 解题策略圆锥曲线中的切线是直线与圆锥曲线的位置关系的一•种特殊情形，圆锥曲线中的切线有一些结论 而圆锥曲线中的定点问题是指某些几何量不受运动变化的点的影响而有固定収值的一类问题，是在运 动变化中寻找不变量的一类题型.其解题方法体现了一般与特殊的数学思想，是数学思想与数学知识 紧密结合产生的一类综合性试题，也是高考考查考生综合能力的热点题型2—这类问题往往是先根据特殊情况找到这个定点，再对一般情况作出证明，即“特殊情形求定值，一般情形证定值下面结合高考试题探讨圆锥曲线的切线有关的定点问题.例(2012年高考福建卷文科)如图，等边三角形04〃的边长为8亦，且其三个顶点均在抛物线£:兀2 =2〃y(p>0)上1) 求抛物线E的方程；(2) 设动直线/与抛物线E相切于点P,与直线y = -\相较于点Q。

证明以P0为直径的圆恒过y轴上某定点解：(1)法1：依题意碉=8般,ZBQy = 30°,设点则x = \OB\sin 30° = 4巧,y = \OB\ cos 30° = 12,°・・・B（4^3,12）在抛物线上,・・・（4舲）=2pxl2,・・・p = 2,故抛物线E的方程x2=4y.法 2：设人（西,必）,3（兀2，%），则西2 = 2py\,x22 =2py29|OA| = \OB\ => 西2 + x22 =必2 + y2 n 2pyx + 片=2py^ + 才点 A,B 关于 y 轴对称,\OA\ = \OB\ = \AB\ = 8>/3=> A（-4局2）,B（4巧,12）,代入抛物线£的方程：p = 2,故抛物线E的方程评析：几何法是求解圆锥曲线的方程重要方法之一，是数形结合思想的具体应用许多美妙而有 趣的性质和结论都是在其几何特征的基础上展开的，在分析求解时若重视几何特征，可以使得许多问 题化繁为简，收简捷巧妙解题之效果2)法 1：设点 P(x0,y0),x0 ^0 ,1—1••• y=7x =-^4 21 . 1 z 、 1 1 . ・°•切线方程为：y ——x0 = — x0(x — x0),即『二㊁兀。

％ —才兀・旺2 _42兀0 »_ 1 1 2y = -i尸一1①取无）=2,此时P（2,l） Q（ Or ）1,以P0为直径的圆为（x-1）2 + /=2 ,交y轴于点取x0=l,此时P 1,-、Q 一二,一1，以P0为直径的圆为x +丄\ 4丿I 2丿 \ 4丿( 7于点m3(o,i),m4 0,--故若满足条件的点M（0,l）存在，只能是M（0,l）・—,交y轴64评析：定点问题的解决过程中，往往借助于特殊情形确定出这个定点此乃特殊与一般的思想之 “特殊”.而特殊情形的选择不一定就是平行于坐标轴的情形，具有一定的灵活性、技巧性②设M（0, X ）,令MP MQ = 0对满足y0 =扌x02 （如工0）的x0, y0恒成立,f 2 A \由于MP = ^y｛）-y^MQ=迢「,_1_必，I 2心 丿•： MP ・ MQ = 0,_y()u + y即（y： + X - 2）+ （1 -）［））% =0.此式对满足y0二扌如2（如工0）的兀0，儿恒成立,I豐严心故以PQ为直径的圆过j轴上的定点M（（）,l）.评析：定点问题的解决的第二个环节是结合一般情形论证这个定点此乃特殊与一般的思想之“一 般”・一般情形的论证往往借助于待定系数法，运用转化与化归的数学思想化归为含有参数的等式恒成立问题来处理。

法2：（同法1）解得Q巫二纟,一 1 •若满足条件的点M（0,1）存在，只能是M （（）, 1）.以下验证点M（0,l）就是所要求的点.因为 MP = (x°,y°_l),MQ =牯_ 42x（）所以MP MQ = X() ~4-2yo + 2 = O.故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M（0,l）・评析：定点问题的解决的第二个环节可以结合一般情形“论证”这个定点，更为简捷的方法不是 论证，而是“验证”法3：设点PG％）,兀°工0 ,则以P为切点的切线为x0x = 2（y0 + y）.<2(旳_1)I兀0 丿评析：抛物线C:x2=2py（p>0），点P（x0,y0）在抛物线C上，则以P为切点的切线为xox = p（yo + y）.应用圆锥曲线的切线的重要结论可以减少运算量，增强运算的准确性以下验证点M（0,l）就是所要求的点.因为 MP =（如,％ — 1）, MQ 二 fbo j）—],所以 MP MQ = xq '（Vo _l）_2（y—1） = 0.xo故以PQ为直径的圆过y轴上的定点A/（0,1）・反思：本题中的直线/恰为抛物线的准线，结论中的定点恰为抛物线的焦点，这是不是抛物线的共性问题呢？PQ为直径的圆恒过抛物线E的焦点。

椭圆的切线与准线相交，冇没冇类似的定点问题呢?在椭圆C上I) 求椭圆C的方程；(II) 若直线/与椭圆C相切于点P,与直线x = 2相交于Q,问是否存在定点M使得MP丄MQ?若存在，写岀定点M的坐标；若不存在，请说明理由a1 29 b2 i o 0 解：(I)由题知，e2=l—- =-,a2=2b2・■4 + 2 = 1=丄 + 厶=3 = 1,=＞宀2cr It cr 2lr cr故椭圆c的方程为:"1.评析：圆锥曲线的解答题的第一问大多是求解圆锥曲线的标准方程，往往可以根据已知信息进行猜 a = >/3, c — \[1, (II )①直线/的斜率为0时，若l:y = \ ,则P(0,) Q( 此时M必在圆 (x-l)2+(j-l)2 = 1 上;若 l:y = -l9 P(0,_l),Q(2,_l),此时 M 必在圆(_l)2 + (y + l)2 = ]上;所以若存在定点M，则M必是圆(x —l『+(y —1『二1与圆(a:-1)2+(v + 1)2 = 1的公共点 M(1,O).评析：定点问题的解决过程中，特殊情形的选择往往是平行于坐标轴的情形，方便可行②法1：直线/与直线x = 2相交于Q,则直线/的斜率必存在，设直线l\y = kx + my则2・・・直线/与椭圆C相切于点, yj,・・・（4加亍 一4（2疋 +1）（2加$ _ 2）= 0 m2 =2^ + 1.口 -2km -2k . （-2k\ 1且西=—z~ = ,y] =k + 加=—•-2k 1 \,万,0(2,2+),假设存在定点Af （x0,^0）,则(-2k 1 )MP =_x(r Vo »MQ ~(2-Xo,2R +/T7 - y。

),m 丿:.MP MQ =(-2k ) 兀0(m )(1 A一 + 2Z: + m y0 =0当且仅当"°一1 = 0时，取等号>0=°故存在定点M（1,O）,使得MP丄MQ.法2：（同法1）若满足条件的点M存在，只能是M（OJ）.以下验证点Al（OJ）就是所要求的点.(1、 15— yMQ = (1，2£ + m)、< m m J_2£ 1MP MQ = MP = l + —(2k +加) = 0.tn tn故存在定点M(l,0),使得MP丄MQ.MP =—1，一，MQ = (1，2£ + ni)、法3：设直线/与椭圆C相切于点巩西,必），则直线/:半+ y y以下验证点M（0,1）就是所要求的点•・・・』2二MP = (xi-},y^MQ =匕―0.>1故存在定点M（l,0）,使得MP丄MQ.评析:点戶（兀'（））在椭圆C上1.则以P为切点的切线为引申：动直线/与椭圆C:反思：本题中的直线/恰为椭圆的准线，结论中的定点恰为椭圆的右焦点，这是不是椭圆的共性 问题呢？>b>0）相切于点P,与准线x =—相交于Q,则以P0为直径的圆恒过椭圆C的相应焦点反思：双曲线的切线有没有类似的定点问题呢？7引申：动直线/与双曲线C: —a~>0）相切于点P,与准线x =—相交于Q,则以PQ为直径的圆恒过椭圆C的相应焦点。

拓展：动直线/与圆锥曲线C相切于点P,与准线相交于Q,则以PQ为直径的圆恒过圆锥曲线C的相应焦点圆锥曲线中的切线蕴涵的定点问题，是在运动变化中寻找不变量的一类题型.是数学思想与数学 知识紧密结合产生的一类综合性试题，也是高考考查考生综合能力的热点题型Z-O在每-•题高考试 题中总是若隐若现地岀现那种看似无形却有形、犹抱琵笆半遮面的情景，这就要求认真审题，仔细分 析已知信息，及时反思、联想，挖掘其内涵，掌握其本质的属性，感受到解析儿何的魅力，达到数学 素养与能力的提升.这正是：现实中并不缺少美，缺少的是发现！参考书H:［1］ 《中国高考年鉴》［M］內蒙古：内蒙古少年儿童出版社2012. 7.［2］ 罗增儒.《数学解题学引论》［M］.陕西：陕西师范大学出版社，2008年修订版.。