2022年数学物理方法期末考试答案.pdf

天津工业大学（20092010 学年第一学期）数学物理方法 (A) 试卷解答( 2009.12 理学院 ) 特别提示 ：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊 本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系满分30 42 20 8 总分复核题目一二三四得分评阅人一.填空题 (每题 3 分, 共 10 小题) 1. 复数ie1的指数式为：iee；三角形式为：) 1sin1(cosie.2. 以复数0z为圆心，以任意小正实数为半径作一圆， 则圆内所有点的集合称为0z 点的邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是不等价的(什么关系？ ). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即f0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属-密封线-密封线-密封线-学院专业班学号姓名装订线装订线装订线满分30 得分于该区域的点，这样的区域称为复通区域.6. 若函数)(zf在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(zf的孤立奇点. 7. 函数的挑选性为)()()(00tfdtf. 8. 在数学上，定解条件是指边界条件和初始条件. 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为波动方程、输运方程和稳定场方程. 10. 写出l阶勒让德方程 : 0) 1(2)1 (222lldxdxdxdx.二. 计算题 ( 每小题 7 分，共 6 小题) 1. 已 知 解析 函 数)(zf的 实 部xyyxyxu22),(， 求该 解 析 函 数满分42 得分(0)0(f). 解：yxux2，xyuy2，2xxu，2yyu. 0 xxyyuu, ( , )u x y是调和函数 . 2分利用柯西 - 黎曼条件xyuv ,xyvu , 即，xyvx2,yxvy2， 2分于是，),()2()2(yxCdyyxdxxyv)0,()0,0(),()0,()2()2()2()2(xyxxCdyyxdxxydyyxdxxyCxyxy22222. 2分所以，)21 ()(2izzf. 1分2. 给出如图所示弦振动问题在0 x 点处的衔接条件 . 解：), 0(),0(00txutxu, 2 分0sinsin)(21TTtF, 2 分又因为),0(sin011txutgx, ), 0(sin022txutgx, 2 分所以，)(), 0(), 0(00tFtxTutxTuxx. 1 分3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程. 解：三维输运方程为02uaut (1分) 分离时间变数 t 和空间变数 r , 以)()(),(rvtTtru (2分) 上式代入方程 , 得vvTaT2 (1分) 令上式等于同一常数2k, 22kvvTaT (2分) 则得骇姆霍兹方程为02vkv (1分) 4. 在00z邻域把mzzf)1()(展开( m不是整数 ) . 解：先计算展开系数：mzzf)1 ()(，mf1)0(；)(1)1()(1zfzmzmzfm；mmf1)0(；2)1)(1()(mzmmzfmmmf1) 1()0(；5 分)()1 ()1(2zfzmm, 所以，mz)1 (在00z邻域上的泰勒级数为21!2)1(1! 11)1 (zmmzmzmmmm2!2)1(! 111zmmzmm. 2分5. 计算22sin21zzzdz.解：因为4nz( n为整数，包括零 ) ，有0)sin21 (2z，因此，40nz是极点 . 但是，在2z圆内的极点只有4. 又由于1 分4sin21)4(lim24zzzz，2 分4sin21)4(lim24zzzz，2 分所以，isfsfizzdzz222)4(Re)4(Re2sin21. 2 分6. 求拉氏变换costL,为常数 .解: )(21costitieet, speLst1 2分)(21costitieeLtL2121titieLeL2 分ipip11212 分22pp0Re p1 分三. 计算题求解两端固定均匀弦的定解问题02xxttuau00 xu，0lxu，)(0 xut，)(0 xutt. 解: 设此问题的解为)()(),(tTxXtxu代入方程和初始条件，得02TXaTX，0)()0(tTX，0)()(tTlX，可得，XXTaT2，0)0(X，0)(lX，令，XXTaT2所以，0)(,0)0(0lXXXX，(本征值问题 ) 02TaT下面先求解本征值问题：当0时，xxececxX21)(，满分20 得分由初始条件，得021cc，因此，0),(txu，解无意义 . 当0时，21)(cxcxX，同样由初始条件，得021cc，因此，0),(txu，解无意义 . 当0时，xcxcxXsi nc o s)(21，由初始条件，得01c，0sin2lc，所以，0sinl，即，nl(n为正整数 )，因此本征值为：222ln,3 ,2, 1n本征函数为：lxncxXsin)(2，2c 为任意常数 . 10 分方程02TaT的解为：latnBlatnAtTsincos)(，因此，lxnlatnBlatnAtxunnnsinsincos),(，此问题的通解为：lxnlatnBlatnAtxutxunnnnnsinsincos),(),(11，代入初始条件得1)(sinnnxlxnA，1)(s i nnnxlxnlanB，所以，lndlnlA0s i n)(2，lndlnanB0s i n)(2. 10 分四. 简答题给出泊松方程，并说明求解此方程的方法、步骤. 解：泊松方程为：),(zyxfu 3分令wvu，取 v唯一特解， 2分则0fuvuw 2分然后求解拉氏方程0w得 w。