微分方程与差分方程详解与例题.doc

微分方程与差分方程 详解与例题 - 第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一局部，是描绘客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的根底微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所打破 【数学一大纲内容】常微分方程的根本概念；变量可别离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利〔Bernoulli〕方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的构造定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉〔Euler〕方程；微分方程的简单应用 【数学二大纲内容】常微分方程的根本概念；变量可别离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的构造定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可别离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。

理解线性微分方程解的性质和解的构造，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法理解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题 【考点分析^p 】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点利用微分方程解决实际问题时，假设是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程假设是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，理解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题 【考点八十三】形如y-f(x)g(y)的一阶微分方程称为变量可别离微分方程可别离变量的微分方程的解题程序： 当g(y)?0时,y-f(x)g(y)?dy?f(x)dx，然后左、右两端积分 g(y)?dy?f(x)dx?C,上式即为变量可别离微分方程的通解其中，C为任意常数，g(y)?dy1表示函数的一个原函数，?f(x)dx表示函数f(x)的一个原函数. g(y)g(y)?【例7.1】微分方程y-xy?x?y?1的通解为____________。

- 1 - 【详解】?y-?x?1-y?1-dydy-x?1?dx . ， ?y?1dx两边积分得?dy-x?1?dx， 即 y?1?1?x?1?2?Ce2lny?1?1?x?1?2?c1， 2?y?1-ec11?x?1?2?e2 ，?y1?x?1?2?Ce2?1，C为任意常数 【例7.2】微分方程xy2?xdx?x2y?ydy?0，当x?0时，y?1的特解为____________ 【详解】别离变量得 xy2?1dx?yx2?1dy?0，?xx2?1yy2?1----xx2?1dx?yy2?1dy?0. 积分得?dx-dy?C1，?11lnx2?1?lny2?1?C1， 22lnx2?1y2?1?2C1，即?x2?1-y2?1-?e2C1?C. 令x?0,y?1，那么?2?C， ∴所求特解为x2?1y2?1-2 . 【例7.3】假设连续函数f?x?满足关系式f?x-?2x?t?f-dt?ln2，那么 0?2---?f?x?等于〔 〕 〔A〕exln2.〔B〕e2xln2.〔C〕ex?ln2.〔D〕e2x?ln2. 【详解】对所给关系式两边关于x求导，得f-x-2f?x?，且有初始条件f?0-ln2. 于是，f-x-2f?x?，df?x-2dx，积分得 f?x?ln|f?x?|?2x?ln|C|，故 f?x-Ce2x. 令x?0,得C?ln2.故f?x-e2xln2.应选〔B〕。

【例7.4】曲线y?f-x过点?0,-且其上任一点,-?1?2?处的切线斜率为x,?yxln1?x2,那么f?x-_______. - - 2 - 【详解】y?f?x?满足dy1?xln1?x2,y|x?0-. dx2111y-xln1?x2dx-ln1?x2dx2?1?x2ln1?x2?x2?C 将22211x?0,y-代入上式,得C-. 221故f?x-1?x2?ln1?x2?1?. --2--------【例7.5】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k?0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，半径为r0的雪堆在开场融化的3小时内，融化了其体积的7，问雪堆全部融化需要多少小时？ 82【详解】半径为r的球体体积为?r，外表积为4?r，而雪堆为半球体状，故设雪堆在t时刻433的底面半径为r，于是雪堆在t时刻的体积V?与侧面积S均为时间t的函数 由题意，有即23?r，侧面积S?2?r2其中体积V，半径r3dv2dr-kS. -?3r2-k?2?r2 3dtdtdr-k,dr-kdt， ?dr-k?dt，?r-kt?c dtt?0又?t?0时，r而V1?Vt?38?r0, ?r0?C，即r-kt?r0 . 212-?3k?r0?3-?r03 . 383t?0，即 ?k?11r0，r-r0t?r0。

66当雪堆全部融化时，r?0,V?0 1 ?令0-r0t?r0 ，得t?6〔小时〕6【例7.6】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进展的，设该人群的总人数为N，在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)〔将x(t)视为连续可微变量〕，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数k?0，求x(t) 【详解】首先要根据题中所给条件，建立x(t)的微分方程由于题中条件很明确，即：x(t)的变化率dx与x(t)-N?x(t)?成正比，容易得出x(t)的微分方程，再求出特解即得x(t) dt?dxdx-kx?N?x?由得?dt , 别离变量，得?kdt . -xN?x-xt?0?x0 - 3 - 积分得?dx?kdt x?N?x-dx1?11?1?11---dx--?dx ?N?x?xN?xN?x?N?xx?N?即 kt?c1- ?1x1x ln?lnNx?NNN?x?ln?x?xx?Nkt?Nc1 , ?eNC1?eNtk?CeNkt . N?xN?xNceNkt1?ceNkt , 又?xt?0?x0 ∴代入得 C?Nx0eNktN?x0?x0eNktx0， N?x0故 x(t)? 。

【考点八十四】形如u?ux,dudy--dx?y?y?的微分方程称为齐次方程其解法是固定的：令u?，那么x?xdudxdydudu?，代入得 u?x 两端积分，得?u?x-?u? .别离变量，得-?u?uxdxdxdxdxy，求出积分后，将u换成，即得齐次方程的通解 xx-?u-u- -22-y?x?y【例7.7】求初值问题--yx?1?022【详解】-?y?x?y-dx?xdy?0 ?x?0-的解 -dx?xdy?0-?x?0? 2dyy?x2?y2y?y--?1-? xdxx?x?故此方程为齐次方程，其解法是固定的 令u-du1?u2ydydudu，故u?x,y?xu,?u?x?u?1?u2 xdxdxdx?dx，积分得 xlnu?1?u2?lnx?c1 -?u?1?u2?elnx?C1?ec1?x?Cx - 4 - yy2y代入u?，得 ?1?2?Cx xxx即y?x2?y2?cx2，由y0?12?02?C?1 ， ?C?1 x?1?0，代入得 ∴所求初值问题的解为 y?x2?y2?x2，化简得y?12x?1 . 2-【例7.8】设函数f(x)在[1,-)上连续假设由曲线y?f(x)，直线x?1,x?t(t?1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 V(t)-3[t2f(t)?f(1)].试求y?f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y【详解】由旋转体体积计算公式得V(t)-x?2?2的解。

9?f1t2(x)dx,于是，依题意得 -f2(x)dx?1t?3[t2f(t)?f(1)] . 两边对t求导得 3f2(t)?2tf(t)?t2f'(t). 将上式改写为 xy'?3y?2xy，即 22dyyy?32?2?. dxxx令u?ydu?3u(u?1). ，那么有 xdxxu?1du3dx?Cx3. . 两边积分得?uu(u?1)x当u?0,u?1时，由从而方程dyyy?32?2?的通解为y?x?Cx3y(C为任意常数〕 dxxx由条件，求得C-1,从而所求的解为 3 y?x-xy或y?x(x?1). 31?x22【例7.9】求微分方程(3x?2xy?y)dx?(x?2xy)dy?0的通解. 2 - 5 - 第 页 共 页。