(完整word版)高一数学集合与函数知识点总结,推荐文档.doc
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高中课程复习专题#高中课程复习专题 ——数学集合与函数专题、集合相关概念1、 集合中元素的特性⑴ 元素的确定性：组成集合的元素必须是确定的⑵ 元素的互异性：集合中不得有重复的元素⑶ 元素的无序性：集合中元素的排列不遵循某种顺序，是随意排列的2、 集合的表示方法⑴ 列举法：将集合中元素一一列出⑵ 描述法：将集合中元素的公共属性用语言描述出来⑶解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共属性⑷图示法：用韦恩图直观的画出集合中的元素3、 集中特殊数集的表示方法自然数集：N 正整数集：N+整数集：Z 有理数集：Q实数集：R 空集：①、集合间的基本关系一一子集与真子集1、自反性一一任何一个集合都是它本身的子集： A? A2、 如果A? B且AMB,贝叽 A是B的真子集3、 传递性：如果 A? B, B? C，贝U A? Co4、 如果 A? B 且 B? A，贝U A=B5、 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集6、有n个元素的集合，有 2n个子集，有2n-1个真子集三、集合间的运算运算类型交集并集补集由所有属于集合A且属于集 定 合B的元素组成的集合称为 义 A和B的交集（AQB ）。
即 An B={x I x € A 且 x € B}由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成的集合称为 A和B的并集（A U B）o 即 A U B={x I x € A 或 x € B}设S是一个集合，A是S的一个子 集，由S中不属于A的元素组成的 集合称为S中A的补集（CsA ）o 即 CsA ={ x I x € S 且 x隹 A }性质AnA=AAn①=oAn B=BQAAnB ? AAnB ? BA U A=AA U ①=AA U B=B U AA? A U BB? A UBCsAn CsB= Cs (AU B)CsAU CsB= Cs (AnB )A U CsA=SAnc sA=O四、函数的相关概念1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系 f,使对于集合 A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f: A^B为从集合A到集合B的一个函数，写作 y=f(x) , x € A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数 的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 B={f(x) I x € A }叫做函数的值域★ 2、函数定义域的解题思路：⑴若x处于分母位置，则分母 x不能为0。
⑵ 偶次方根的被开方数不小于 0⑶对数式的真数必须大于 0⑷指数对数式的底，不得为 1，且必须大于0⑸指数为0时，底数不得为0⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分 都有意义的x值组成的集合⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义3、 相同函数⑴ 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关⑵ 定义域一致，对应法则一致4、 函数值域的求法⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数⑵ 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数⑶ 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2 +b的形式⑷ 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域5、 函数图像的变换⑴ 平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减⑵伸缩变换：在x前加上系数⑶ 对称变换：高中阶段不作要求6、 映射：设 A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于A中的任 意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的 y与之对应，那么就称对应 f: A^B为从集 合A到集合B的映射⑴ 集合A中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的。
⑵ 集合A中的不同元素，在集合 B中对应的象可以是同一个⑶不要求集合B中的每一个元素在集合 A中都有原象7、 分段函数⑴ 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式⑵ 各部分自变量和函数值的取值范围不同⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集8、 复合函数：如果(u € M ) , u=g(x) ( x€ A),则，y=f[g(x)]=F(x) ( x€ A),称为 f、g 的复合函数★五、函数的性质1、 函数的局部性质一一单调性设函数y=f(x)的定义域为|，如果对应定义域I内的某个区间 D内的任意两个变量 XI、 X2,当xi< X2时，都有f(xi)
⑵复合函数的单调性复合函数y=f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x) , y=f(u)的单调性密切相关，其规律为“同增异减”；多个函数的复合函数，根据原则“减偶则增，减奇则减” ⑶注意事项函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成并集，如果函数在区间 A和B上都递增，则表示为 f(x)的单调递增区间为 A和B，不能表示为 A U B2、 函数的整体性质一一奇偶性对于函数f(x)定义域内的任意一个 X，都有f(x) =f(-x)，贝U f(x)就为偶函数；对于函数f(x)定义域内的任意一个 X，都有f(x) =-f(x)，贝y f(x)就为奇函数⑴奇函数和偶函数的性质i无论函数是奇函数还是偶函数， 只要函数具有奇偶性，该函数的定义域一定关于原点对称i奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y轴对称⑵函数奇偶性判断思路i先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数i确定f(x)和f(-x)的关系：若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=i，则函数为偶函数;若 f(x)+f(-x)=0，或 f(x)/ f(-x)=-i，则函数为奇函数。
3、 函数的最值问题⑴对于二次函数，利用配方法，将函数化为 y=(x-a)2 +b的形式，得出函数的最大值或最小值⑵ 对于易于画出函数图像的函数，画出图像，从图像中观察最值⑶ 关于二次函数在闭区间的最值问题i判断二次函数的顶点是否在所求区间内，若在区间内， 则接ii,若不在区间内，则接iiii若二次函数的顶点在所求区间内， 则在二次函数y=ax2+bx+c中，a>0时，顶点为最小值，a<0时顶点为最大值；后判断区间的两端点距离顶点的远近， 离顶点远的端点的函数值，即为a>0时的最大值或a<0时的最小值i若二次函数的顶点不在所求区间内，则判断函数在该区间的单调性若函数在［a , b］上递增，则最小值为f(a)，最大值为f(b); 若函数在［a，b］上递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a)六、指数和对数1 、指数的性质(n >1, n € N+)⑴ 根式：如果xn=a,则x叫做a的n次方根，记作 :/ .i负数没有偶次方根ii 0的任何次方根都是 0iii当n为奇数时⑵分数指数幕(a>0.负指数幕(a>0, m、n € N+, n>1)=a，当n是偶数时I a Im、n € N+, n>1)0的正分数指数幕为 0,0的负指数幕没有意义。
⑶实数指数幕的运算性质ar ? as = ar+s (a>0, r、s€ R)(ar)s = ar?s (a>0, r、s€ R)(ab)r = ar?br (a、b>0, r € R)2、对数的性质⑴ 对数：如果ax=N (a>0 , a丰1,)那么，x叫做以a为底N的对数，记住：logaN=x，其中 a为底数，N为真数i注意底数a的取值范围：a>0且a^i常数对数：以10为底的对数lgN;自然对数：以e=2.71828 •为底的对数lnN⑵ 对数的运算性质：如果 a>0且a工)M>0 , N>0loga(M ?N)=log aM + log aNMloga ' =log aM - log aNlogaMn = nlog aM⑶对数的换底公式(N € R)logab = logcb / log cam(a>0 且 a 工 1 c>0 且 c^l, b>0)logab = 1/ log ba七、基本初等函数1、指数函数：函数 y=ax (a>0且a^ 1)叫做指数函数a的取值a>10 ⑵ 对于任意指数函数 y=ax (a>0且a* 1)，都有f(1)=a2、对数函数：函数 y=log ax(a>0且a* 1))，叫做对数函数a的取值a>10
