彭中桃论文第二稿.doc

本科生毕业(学位)论文关于电磁学理论对称性的研究彭中桃(2009061119)指导教师姓名：刘晓春职 称：讲师单 位：物理与电子科学系专业名称：物理学论文提交日期：论文答辩日期：学位授予单位：黔南民族师范学院论文评阅人:20 年 月 日关于电磁学理论对称性的研究彭中桃(黔南民族师范学院物理系与电子科学系2009061119)摘要：在电磁学理论中，多处存在着的对称性，同时，对称性是物理学中 一个重要的概念，更是现代物理理论重要组成部分利用对称性原理进行 分析教学是一种极为有效的方法，本文主要对电磁学理论中存在的对称性 理论进行研究，并阐述对称性原理在电磁学中的应用，以及对称性原理解 题的一般思路和方法，从而有助于今后的教学工作关键词：对称性原理；电磁学；电场；磁场；场强Research on electromagnetic theory symmetryPeng Zhong-tao(Department of Physics and Electronic Science, Qiannan Normal College for Nationalities) (2009061119)Abstract: Symmetry in electromagnetic theory, many exist, at the same time, the symmetry is an importa nt con cept in physics, it is an imports nt part of the moder n physical theory・ The use of the principle of symmetry analysis of teaching is a very effective method, the symmetry of the theory of electromagnetic theory, and explains the application of the principle of symmetry in electromagnetism, as well as the principle of symmetry solving general ideas and methods, thus contributing to the future of the teaching work.Key words： The principle of symmetry; Electromagnetics; Electric field; Magnetic field; Field strength引言：人们对对称性的认识可追溯到远古时期，最早注意到的应当是口然 界中普遍存在的现象一一空间对称。

比如：当物体或一个系统各部分Z间 比例适当、平衡、协调一致时，就会产生一•种简单性和美感所以，对称 性最初应用于打造石器和制作装饰物随着人类文明的发展，对称性广泛 进入建筑、雕塑、文学、音乐等各个领域在古希腊时期，对称性终于走 进了科学领域，随着经典物理学的建立，深化了人们对于对称性的认识到1918年徳国数学家艾米•诺特(A • E • Noether)提出著名的诺特定 理：作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律，有一个守恒量从而将 对称和守恒性这两个概念紧密联系在一起，而月.，诺特定理告诉我们，一 个没有对称性的世界，物理定理也变动不定冋从而使物理学家意识到， 物理定律的对称性也意味着物理定律在各种变换条件下的不变性，所以物 理学小的对称性观念可以概括为：如果某一•现彖或系统在某一变换下不改 变，则说该现象或系统具有该变换所对应的对称性或者说它们存在对立 性、相似性甚至是相同性电磁学理论中，宏观来说，电和磁其实就是一个对称的概念，电荷周I韦I 即产生电场，磁体周I韦I即产生磁场；电能生磁，磁也能生电；带电物体在 电场中要受到电场力的作用，在磁场中运动要受到磁场力(包拾对运动电 荷的洛仑兹力和磁场对电流作用的安培力)等等。

深入来探究，诸如高斯 定理、静电场与静磁场、安培环路立理、以及伟大的麦克斯韦方程组都有着强烈的对称性，下面我们一一进行深入研究1利用高斯定理求解电场通过任意闭合曲面的E通量与该彩面所包含的净电荷成正比，这就是高斯 定理公式：J Eds =—我们知道，高斯定理主要运用在求解电场分布的问题上，下面我们來分析 几个具有对称性性质的例子由高斯定理求电场强度的思路：电荷分布的对称性n电场分布的对称性=＞适当的选取高斯面（E Ellen ）=＞将从积分号内提出，化积分方程为代数方程求E 1.1例：无限长均匀带电直线的电场（几）求解问题利用对称性原理，作图进行明了化，设空间任意一点到直线的垂直距离为 r,利用直线为轴对称线，那么空间任意一点的场强都可简易的表示出來例：无限人均匀带电平面的电场（b）, = —解:1718F=05 dS=《E cos OdS ,+建cos OdS ,cosGdS ,+ cos OdS=0+ ES + ES = 2ES*02w（）上而两题，充分的利用了电荷分布具有一定的对称性以至于场强E具有轴对称以及而对称等空间对称的条件，从而能精确地表示出各种条件下空间各点的场强。

由此可见，利用对称性解题既能简化问题又能很好地帮助 学生理解问题作用可见一斑高斯定理扩展：补偿法求电场强度凹 例：带有圆孔的无限人均匀带电平面 求：圆孔轴线上的电场强度解：E,=? (sgn x _ - ) + —(sgn x _ -( X )J/ + r； 2 匂 J/ + &2=—( 无 - 兀 )2匂 + 肩 + R：例：均匀带电球体内挖去一小球因为高斯定理应用的前提是电荷分布具有一定的对称性这两道题利用补偿法Z 后，使原题中的带电体具有一定的对称性补偿法的精髓体现出了对称性, 把问题对称性的解出，并不影响求解结果利用补偿法解题的思路完全体 现岀了高斯定理与对称性的深刻意义2静电场与静磁场在静电场中各带电体系的电场强度都可以看成是点电荷场强迭加的结果, 而点电荷场强正是从实验得到的基木规律一一库仑定律：由上式可知，它是点电荷作为场源产生的电场在空间的分布，点电荷具有 球对称性点电荷作为源它又能把这种对称性完全的传递到静电场中在 静磁场中，载流导线产生的磁场的基本规律毕•萨定律写成微分形式有dB虽叫乞4 71 厂整个回路产生的磁场是个电流元所产生的元磁场dB矢量迭加，式中矢径 -从电流元指向场点的单位矢卩】。

由于磁场是涡旋场，它只能满足旋转对称性，也就是轴对称，和静电场 所不同的是，静电场满足点对称，也就是球对称性两种场各自的特点和 相似点它们都利用对称性来求解，但是满足的对称性却不一样，这和它 们场的性质完全不一样有关弄清楚了这一点，我们就能清晰的解决电场 和磁场分布的问题要强调电场的对称性，可以用电场线來画出点电荷所激发的电场（如 下图1）同理，电流元所激发的磁场具有轴对称性（如图二）正电荷负电荷上面图一、图二的分别表示出了静电场与磁场场强分布的特点，图像直 观、形象对称性是一个抽象的概念，往往让初学者很难理解，但是如果 借助图像，理解起来会更加轻松，印彖会更加深刻在学习物理时，一定 要善于作图，发掘图像所具备的价值静电场和静磁场是电磁学部分非常重耍的内容，占有绝大部分的篇幅. 静电场和静磁场的规律有很多可和互类比的地方所以总结两部分内容的 和似点，进行比较，提炼和似部分的相异点具有重要意义3安培环路定理当激发磁场的是一根无限长直导线时，某闭曲线包I韦I该电流，那么成 立这样一个表达式：j B • d/ = p（）M这就是安培环路定理当电流分布具有一定的对称性时，可以由电流分布 的对称性去分析磁场分布的对称性。

下面我们通过一道例题来具体分析一 下例：无限长圆柱形均匀载流导线的磁场问题设圆柱形导线半径为R,电流为I由屯流分布 沿柱轴的平移对称性可知B也有这种对称性，因 此只需讨论任一与轴垂直的平面内的情况在此 平面内任意取一个与轴距离为r的场点P,以工 代表由P和柱轴决定的平面（左图），则易见工 是电流分布的镜像对称而（命题1：设两电流元 关于平而》镜像对称，那么它们在》上激发的 合磁场B必垂直于工,除非B=0）o （圆柱形导 线可被分成无数对电流元，每对电流元关于工 镜像对称）则由上述命题1知它们在工上激发的合磁场B 必垂直于工（除非B=0）, P点的B与工垂直, 过P作圆周L,其圆心在柱轴上，由绕轴旋转的 对称性可知L上各点的B有相同的数值B,以r 代表P与轴的距离，先讨论P在导线外的情况（r>R）o对L使用安培环路定理得g0/ = | B dL = B2nr故有 B = ^-（对 r>R）, 2兀厂可见柱外磁场等同于全部电流集中于柱轴所得直线电流的磁场在讨论场点P在导线内的情况（rvR）注意到现在的圆周L所围绕的电流不是I而是（巴y）/ = （j ,对L使用安培环路定理便得丄叫/（对了仗）［1］求解完毕2兀亡上文提到过，有时用高斯定理或者安培环路定理时可能遇到电荷、电流体 系对称性残缺的情况，对于这样的问题我们可以用补偿法来操作，这样就 把它归结到对称性求解的问题中了。

使解题更加可行，方便讲解和理解4麦克斯韦方程组变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一 起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体这就是麦克斯韦电磁场理 论的基木概念另外，根据对称性原理，当场源具有某种对称性时，其场 的分布一样的具有相同的对称性麦克斯韦方程组是电磁学的核心和灵 魂，其所概括的电磁学基本规律，也必具有对称性在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场E⑴，变化磁场也可激 发屯场E⑵，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为 E = E（l）+E（2）又由于，稳恒电流可激发磁场〃⑴，变化电场也可激发磁场B⑵，则一 般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为B = B（1） 2） 因此，在一般悄况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的 规律，也包含变化电磁场的规律冋根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间 激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场 因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在变化电磁 场的规律是：高斯定理安培环路定理电场在没有自由屯荷的空间，由变化磁场激 发的涡旋电场的电场线是一系列的闭 合曲线。

通过场中任何封闭曲面的电位 移通量等于零，故有：dvD（2）dS=O涡旋电场是非保守场，满 足的环路定理是E⑵心• "dS磁 场变化的电场产生的磁场和传导电流 产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁 感线是闭合线因此，磁场的高斯定理 仍适用，即Q B 2）dS=O变化的电场和它所激发的 磁场满足的环路定理为H⑺ dL= 1,0 dS1 5在变化电磁场的上述规律中，电场和磁场成为不可分割的一个整体 将两种电、磁场的规律合并在一起，就得到电磁场的基本规律，称Z为麦 克斯韦方程组，表示如下：O s D dS = a Gidds=oH dL = aI.+ 曲 dS5 i s q fE dL = ・吧dS$ s们上述四个方程式称为麦克斯韦方程组的积分形式将麦克斯韦方程组的积分形式用高等数学中的方法可变换为微分形式微 分形式的方程组如下：N。