小学奥数中的余数问题资料.ppt

小学奥数中的 “余数问题”,余数的定义 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b＝q……r，或者a＝b×q＋r，0≦rb 当r＝0时，称a能被b整除； 当r ≠0时，称a不能被b整除，r为a除于b的余数，q为a除于b的商余数的性质 （1）被除数＝除数×商＋余数 除数＝（被除数－余数）÷商 商＝（被除数－余数） ÷除数 （2）余数小于除数,同余定理（一） 如果a，b除于c的余数相同，就称a，b对于余数来说是同余的，且有a与b的差能被c整除a,b,c均为自然数）,同余定理（二） a与b的和除于c的余数，等于a，b分别除于c的余数之和（或这个和除于c的余数） 例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以（23＋16）除于5的余数等于3＋1＝4 例：23，19除于5的余数非别是3和4，所以（23＋19）除于5的余数等于（3＋4）除于5的余数，即2,同余定理（三） a与b的乘积除于c的余数，等于a，b分别除于c的余数之积（或这个积除于c的余数） 例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以（23×16）除于5的余数等于3×1＝3 例：23，19除于5的余数非别是3和4，所以（23×19）除于5的余数等于（3×4）除于5的余数，即2,1．小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54，余数是8.正确的商是_____,余数是_____. 2. a÷24=121……b,要使余数最大，被除数应该等于_____. 3. 一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是_____.,解1. 48,44. 依题意得 被除数=78×54+8=4220 而4220=87×48+44,所以正确的商是48,余数是44. 解 2. 2927 因为余数一定要比除数小,所以余数最大为23,故有 被除数=24×121+23=2927 解3. 831 这个三位数可以写成 37×商+17=36×商+(商+17). 根据“被36除余3”.(商+17)被36除要余3.商只能是22(如果商更大的话,与题目条件“三位数”不符合). 因此,这个三位数是37×22+17=831.,4. 393除以一个两位数,余数为8,这样的两位数有_____个,它们是_____.,解：4. 4; 11,35,55,77 393减8,那么差一定能被两位数整除. ∵393-8=385 385=5×7×11=(5×7)×11=(5×11)×7=(7×11)×5 ∴385能被两位数11，35，55，77整除.,5. 31453×68765×987657的积,除以4的余数是_____.,解： 5. 1 ∵31453÷4=7863…1 68765÷4=17191…1 987657÷4=246914…1 1×1×1=1 ∴31453×68765×987657的积除以4余数是1.,,6. 888……8乘以666……6的积，除以7余数是 50个8 50个6,,,解：. 5 因为111111能被7整除,所以888888和666666均能被7整除.而50=6×8+2,故得被乘数与88被7除的余数相同,乘数与66被7除的余数相同,进而得:被乘数被7除余4,乘数被7除余3.所以乘积与(4×3=)12被7整除的余数相同.因此得乘积被7除的余数是5.,,7. 如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990格之后是_____点钟.,解：7. 16 因为分针旋转一圈为一个钟头,所以分针旋转24格,时针旋转2格.若以现时18点整为起点与终点,这样时针又回到18点整的位置上. 由1990÷24=82…余22，可知那时时钟表示的时间应是16点整.,,8. 甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏,从1起按下面顺序进行：甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、乙报5、丁报6、甲报7、乙报8、丙报9，……，这样，报1990这个小朋友是_____.,,,解8. 丁 根据小朋友报数顺序列表如下: 甲 乙 丙 丁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ……………………… 由上表可知每6个数号为一组的报数的规律.由1990÷6=331…4，根据余数是4可知报1990的小朋友是丁.,,9. 如果按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序，将19921992……1992只彩灯依次反复排列，那么 1991个1992 何种颜色的彩灯必定要比其他颜色的彩灯少一只.,,解：9. 紫 考虑通过试除发现规律后求彩灯总数被7除的余数即可.经试除得:199219921992能被7整除,而1991被3除余2,所以彩灯总数与19921992被7除的余数相同,均为6.所以,紫色的彩灯要比其它颜色的彩灯少一只.,,10. 从7开始,把7的倍数依次写下去,一直写到994成为一个很大的数:71421……987994.这个数是_____位数.,解：10. 411 ∵9÷7=1…2 ∴一位数中能被7整除的数有1个； ∵99÷7=14…1 ∴两位数中能被7整除的数有（14-1=）13个； ∵999÷7=142…5 ∴三位数中能被7整除的数有 142-13-1=128（个） 所以，这个数的位数为： 1+13×2+128×3=411,。