专题02-概率统计与数学文化-高考中的数学文化试题(解析版)(共16页).docx

精选优质文档-----倾情为你奉上专题02 概率统计与数学文化纵观近几年高考,概率统计部分以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养例1】（2019全国I理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）A． B． C． D． 【答案】A【解析】在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数本题，则该重卦恰有3个阳爻的概率．故选A．【试题赏析】《周易》是我国最古老的一部筮占之书，约成书于西周时期起初编纂此书的目的，是为了便于占算时检索吉凶的结果后有人依附于它的卦爻形式借以发挥哲学思想，对中华文化影响最深远的一部书本题以《周易》卦象为背景，考查古典概率的计算，可联系经典实验抛硬币，相当于一枚硬币抛了6次，求有3次正面向上的概率。

例2】(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)A. B. C. D.【答案】C【解析】先弄清不超过30的素数有哪些，然后通过列举，得到基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式进行求解．不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，列举如下：{2,3}，{2,5}，{2,7}，{2,11}，{2,13}，{2,17}，{2,19}，{2,23}，{2,29}，{3,5}，{3,7}，{3,11}，{3,13}，{3,17}，{3,19}，{3,23}，{3,29}，{5,7}，{5,11}，{5,13}，{5,17}，{5,19}，{5,23}，{5,29}，{7,11}，{7,13}，{7,17}，{7,19}，{7,23}，{7,29}，{11,13}，{11,17}，{11,19}，{11,23}，{11,29}，{13,17}，{13,19}，{13,23}，{13,29}，{17,19}，{17,23}，{17,29}，{19,23}，{19,29}，{19,29}，故共有9＋8＋7＋…＋2＋1＝×9＝45种．而和为30的有{7,23}，{11,19}，{13,17}这3种情况，所以所求概率为＝.【试题赏析】“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”是德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach,1690－1764)于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想.18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质的推进，直到20世纪才有所突破.1966年，我国年轻的数学家陈景润，在经过多年潜心研究之后，成功地地证明了“1＋2”，也就是“任何一个大偶数都可以表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和”．这是迄今为止，这一研究领域最佳的成果，距摘取这颗“数学王冠上的明珠”仅一步之遥，在世界数学界引起了轰动．“1＋2”也被誉为陈氏定理．本题以“哥德巴赫猜想”为背景，将数学文化与概率计算相结合，不仅考查了古典概型的概率计算，同时也展示了我国数学家陈景润的研究成果.【例3】(2017高考新课标I文)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】本题以古代的太极图为背景，考查几何概型的概率计算，通过审题，要弄清太极图的特征，得到黑色部分的面积所占的比例，然后进行计算．设正方形边长为，则圆的半径为，则正方形的面积为，圆的面积为．由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，故选B．秒杀解法：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率，故选B．【试题赏析】 “太极”是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源，太极图形象地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理．本题以此为情境设计了一个简单的概率问题。

试题不仅考查几何概型的计算，同时也引导师生重视我国传统文化的学习，关注生活中的数学问题，增强数学的应用意识.【例4】 (2015·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B【解析】由样本的频率估计总体的频率，254粒和1534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，据此估计．设1534石米内夹谷x石，则由题意知≈，解得x≈≈169. 故这批米内夹谷约为169石．【试题赏析】本题考查样本估计总体的统计知识，却自然地将数学史作为一种数学文化融入高考 试题源于古代数学名著《九章算术》中的“米谷粒分”，渗入其中的是我国古代数学中最朴实的统计思想，能使学生接受数学文化的熏陶，领略数学思想方法的魅力，领会统计思想在现实生活中的应用，形成直接应用数学知识指导社会实践，解决生活、生产问题的意识.1．《张邱建算经》《张邱建算经》分上、中、下三卷，北魏数学家张邱建著．《张邱建算经》的主要贡献有以下三方面：一是提出求最小公倍数的算法；二是提出计算等差级数的公式；三是“百鸡问题”首创不定方程的研究，对后世影响深远．2．《算学启蒙》《算学启蒙》是中国元代数学家朱世杰撰，分上中下三卷，20门，259问．卷上8门，113问，包括各种乘除捷算法和歌诀的应用题，以及各种比例算法．许多问题反映了元代的社会经济情况．卷中7门，71问，是面积、体积及各种算术问题．卷下5门，75问，是关于分数运算、垛积(即高阶等差级数求和)、盈不足术、线性方程组解法、天元术及增乘开方法等问题，还处理了开方过程中系数变号的问题．《算学启蒙》是一部很好的数学教材，它把当时的初级和中级数学知识从乘除口诀开始，包括面积、体积、比例、开方、高次方程、天元术等，有例题，有方法，分门别类，由浅入深，循序渐进，自成系统，确是一部很好的数学启蒙读物．1.（2019贵阳一模)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】设齐王的上、中、下三个等次马分别为1,3,5，田忌的上、中、下三个等次马分别为2,4,6，记齐王的马匹为A＝{1,3,5}，田忌的马匹为B＝{2,4,6}．从集合A，B中各抽取一个数字，共有9种：{1,2}，{1,4}，{1,6}，{3,2}，{3,4}，{3,6}，{5,2}，{5,4}，{5,6}．其中田忌获胜的三种：{3,2}，{5,2}，{5,4}．故所求概率为.2．（2019宝鸡模拟）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个不同的数，其和等于15的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先计算从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有种选法，在计算符合条件和等于15的三个数的种类，即可算出概率．从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有种选法，其和等于15的三个数的种类共有8种，即：（图形中各横，各列，对角线所在的三个数字之和均为．故其和等于15的概率是：，故选：．3．（2019襄阳二模）《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】从八卦中任取一卦，基本事件总数，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数，由此能求出这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率．从八卦中任取一卦，基本事件总数，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为．故选：．4．（2019大兴区模拟）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代入们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代入们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是．故选：．5．（2019青岛模拟）“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小明和小华两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】：根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小华胜小明、小华与小明和局和小华输给小明的概率都为，小华获胜有三种情况：①小华连胜三局，概率为，②小华前三局中两胜另一局不胜，第三局小华胜，概率为：，②小华前四局中两胜，另两局不胜，第五局小华胜，概率为：，小华获胜的概率是．故选：．6．（2019景德镇模拟）如图所示的是我国发行的一枚2019猪年生肖邮票 “肥猪旺福”，其规格为．为估算邮票中肥猪图案的面积，现向邮票中随机投掷21粒芝麻，经统计恰有12粒芝麻落在肥猪图案内，则可估计肥猪图案的面积大致为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】：直接利用随机模拟试验方法求解．由题意，可估计肥猪图案面积大约是：．故选：．7.（2019衡水金卷）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全。