湖南省郴州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学Word版含解析.docx

郴州市2025年高一上学期期末教学质量监测试卷数学试题注意事项：1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，共19小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上.3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在试卷上作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知，为实数，（为虚数单位），则（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】由复数相等的条件即可求解.【详解】因为，所以，.故选：B.2. 已知向量，，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由共线向量的坐标表示求解即可.【详解】因为，，，所以故选：A.3. 在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知找到异面直线所成角的平面角，再根据已知求其大小即可.【详解】由长方体结构知且，则为平行四边形，故，所以直线和直线所成角，即为或其补角，而，，，所以，则.故选：C4. 某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题可知圆锥底面半径，高为等边三角形的高为，再利用锥体体积公式即可求解.【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以圆锥底面半径，高为等边三角形的高为，则圆锥的体积.故选：C.5. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（ ）A. 12 B. 28 C. D. 20【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法及已知求出圆平行四边形的边长，即可得.【详解】由题设，易知，则，故，，所以，而，，所以原四边形的周长为20.故选：D6. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ）A. 16 B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理整理等式，再根据正弦和角公式求得角的正弦值，利用同角三角函数关系式求得角的正弦值，再结合正弦定理，可得答案【详解】由，则，即，由，则，由，则，因为,所以，所以.故选：B.7. 同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ）A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 与相互独立【答案】B【解析】【分析】根据对立事件的定义，可判定A错误；根据古典摡型的概率计算公式，可判定B正确；利用古典摡型的概率计算公式，结合，可判定C错误；结合，可判定D错误.【详解】对于A中，当时，，，事件与同时发生，所以事件与不对立，所以A错误；对于B中，因为，当时，要使得为偶数，有6种情况；当时，要使得为偶数，则，有3种情况；当时，要使得为偶数，有6种情况，又由抛掷两枚骰子，共有种情形，所以，所以B正确；对于C中，事件有：，共有5种情形，概率为，事件“”，有，共有18种情形，所以概率为，且，则，所以与不相互独立，所以C错误；对于D中，事件“为偶数”，事件“为奇数”，有共9种情形，所以概率为，又由，，可得，所以与不相互独立，所以D错误.故选：B.8. 中，，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式化解得，根据内角范围可确定，由此可得的范围，由正弦定理，根据和差及二倍角公式化解，根据单调性确定范围即可.【详解】，，或，又，，即不成立，则，又，所以，由正弦定理得，又，所以，即的取值范围是.故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9. 已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限【答案】BC【解析】【分析】根据复数虚部的概念、模长计算公式、共轭复数的概念以及其几何意义，可得答案【详解】对于A，由可得其虚部为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，由可得其共轭复数为，故C正确；对于D，由可得其在复平面上的对应点为，易知该点位于第四象限，故D错误.故选：BC.10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，则下列说法正确的有（ ）A. B. 四边形的面积为C. 的外接圆的周长为 D. 【答案】ABC【解析】【分析】利用向量的坐标运算求得即可求解选项A；根据四边形的面积为求解选项B；利用正弦定理求解选项C；利用向量数量积公式求解选项D.【详解】由题意得：，，A正确，，，，，过点C作x轴的垂线，设垂足为点E，，，四边形的面积为，B正确在直角三角形AEC中，，设外接圆的半径为R，由正弦定理，解得，故外接圆的周长为，C正确；，，，，D错误故选：ABC11. 如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，动点在平面内，则下列说法中正确的是（ ）A. 当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形B. 当四面体的顶点在一个体积为的球面上时，C. 当时，取得最小值D. 的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】A应用平面基本性质画出截面，应用面面平行的性质判断；B四面体的外接球即为的外接球，利用几何关系及已知列方程求线段长判断；C将平面与平面展开到一个平面内，根据两点间线段距离最短求解判断；D在平面内，过作，交延长线于，连接，关于直线对称的直线在平面内，其中为的对称点，应用二倍角余弦公式求得，进而确定最小时的位置，再应用余弦定理求长度判断.【详解】对于A：连接并延长，交延长线于，连接并延长，交延长线于，连接，交于，最后连接，即得平面截正方体所得的截面，由为线段中点，根据等比例关系有为的中点，易知，由平面平面，截面分别交平面、平面于，所以，故截面为平行四边形，A正确；对于B：四面体的外接球即为的外接球，令，由正方形的外接圆半径为，则外接球半径，所以，则，即，可得，B正确；对于C：将平面与平面展开到一个平面内，如下图，则最小为长度，又，则，C错误；对于D：平面内，过作，交延长线于，连接，所以关于直线对称的直线在平面内，其中为的对称点，易知，，，且，所以，当时，此时在延长线上，不符；所以，当与重合时，最小，D正确.故选：ABD三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分.）12. 已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第75百分位数是________.【答案】6.5##【解析】【分析】首先将数据从小到大进行排序，然后根据百分位的计算公式确定其位置，最后根据位置得出第75百分位数.【详解】对原始数据从小到大排序为：因为，所以第75百分位数为第6个和第7个的平均数，即，所以这组数据的第75百分位数是，故答案：.13. 在正三棱台中，，，棱台的高为，则该棱台的体积为________.【答案】##【解析】【分析】根据台体体积公式计算可解.【详解】，.故答案为：.14. 在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，二面角的大小为60°，则三棱锥的外接球的表面积为________.【答案】【解析】【分析】根据题意作出球心，利用正弦定理求得四边形外接圆直径，根据勾股定理即可求外接球半径，得到表面积.【详解】设的外心为，过分别作平面和平面的垂线，则垂线交点即为三棱锥的外接球的球心，设中点为，，则就是二面角的平面角，，又和均为边长为等边三角形，所以，又，所以为等边三角形，则四边形外接圆直径，所以三棱锥的外接球半径，则外接球的表面积.故答案为：.四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，在中，，点是的中点，点，分别是，的三等分点，且，.设，.（1）用，表示，；（2）若，，求.【答案】（1） （2）8【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算可求；（2）由已知先求解，然后利用，展开计算即可.【小问1详解】已知，，点是中点，则，又因为，所以，根据向量减法的三角形法则，因为，且，所以，又，根据向量减法的三角形法则；【小问2详解】已知，则，，又因为，则，所以，所以.16. 为了进一步推动体育强国和健康中国的建设，国家体育总局办公厅印发了《2025年群众体育工作要点》，为了解某地高中学生体育锻炼时长，从该地区28000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长的频率分布表，如下：分组频数频率1200.2416015503135300.06合计5001（1）求和的值；（2）估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）；（3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率.【答案】（1）； （2）0.9小时 （3）【解析】【分析】（1）由频率分布表，结合频率计算公式即可求解；（2）根据频率分布表，结合平均数计算公式即可求解；（3）根据分层抽样，可得组抽取3人，组抽取4人，利用列举法，可知7人中随机抽取2人，共有21种情况，其中这两人来自不同的组共有12种情况，即可求解.【小问1详解】根据频率分布表，结合频率的计算，得，；【小问2详解】根据样本平均数公式可得，所以估计该地区高中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时；【小问3详解】两组频率之比为，共抽取7人，由分层抽样可知：组抽取3人，组抽取4人，设组的3人分别为，，，组的4人分别为，，，，从7人中随机抽取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个，其中两人来自不同组的基本事件有：，，，，，，，，，，，共12个，所以两人来自不同组的概率.17. 如图，和都垂直于平面，且，是的中点.为等边三角形.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由中位线定理与平行四边形性质，可得线线平行，再根据面面垂直的判定与性质，可得线面平行，从而可得答案；（2）由三棱锥的体积公式求得底面等边三角形的边长，再根据线面角的定义在图中明确限面角，利用勾股定理以及锐角三角函数，可得答案【小问1详解】证明：取的中点，连接，.因为为中点，所以，平面，平面，故又，故且.所以四边形是平行四边形，所以因为是等边三角形，是中点，所以因为平面，平面，所以平面平面又平面平面，平面，所以平面，所以平面.【小问2详解】设边长为，则，又平面且，所以，解得.由（1）知，平面。