材料力学讲稿第4章弯曲强度附录1.ppt

附录 A 平面图形的几何性质§A.1 形心和静矩§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径§A.3 平行轴定理§A.4 转轴公式 主惯性矩材料力学平面图形的几何性质——反映平面图形的形状与尺寸的几何量附录A 平面图形的几何性质如：本章介绍： 平面图形几何性质的定义、计算方法和性质1.在轴向拉（压）中：2.在扭转中：3.在弯曲中：§A.1 形心和静矩一、静矩二、形心三、组合图形的静矩和形心四、静矩的性质附录A 平面图形的几何性质一、静矩§A.1 形心和静矩整个图形 A 对 x 轴的静矩：整个图形 A 对 y 轴的静矩：ydA——微面积 dA 对 x 轴的静矩xdA——微面积 dA 对 y 轴的静矩定义：（静面矩）其值：+、-、0 单位：m3二、形心（各分力对任一轴的矩等于其合力对同一轴的矩）有则 xdA 和 ydA 相当于力矩由合力矩定理将微面积 dA 看作是 力§A.1 形心和静矩三、组合图形的静矩和形心组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等）组成的平面图形如：§A.1 形心和静矩1.静矩2.形心§A.1 形心和静矩四、静矩的性质形心轴图形对形心轴的静矩为零——通过图形形心的坐标轴反之，图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴性质 1 ：§A.1 形心和静矩例 1 确定形心坐标解：取参考坐标系 xy§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径一、惯性矩与惯性积二、惯性矩与极惯性矩的关系附录A 平面图形的几何性质三、惯性积的性质四、惯性半径一、惯性矩与惯性积§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径整个图形 A 对x 轴的惯性矩整个图形 A 对 y 轴的惯性矩y2dA——微面积 dA 对 x 轴的惯性矩x2dA——微面积 dA 对 y 轴的惯性矩定义：其值：+ 单位：m41.惯性矩整个图形 A 对 x 轴和 y轴的惯性积定义：xydA——微面积 dA 对 x 轴和 y 轴的惯性积的坐标轴其值：+、-、0 单位：m4假设： x 轴和 y 轴为一对相互垂直一、惯性矩与惯性积2.惯性积§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径二、惯性矩与极惯性矩的关系即：平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过 该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和性质 2 ：若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径1. 矩形截面常用图形的惯性矩：§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径2. 圆形截面由对称性3. 环形截面§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径三、惯性积的性质当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形对这对轴的惯性积为零。

性质 3 ：§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径惯 性 矩——对某一轴而言极惯性矩——对某一点而言特别指出：惯 性 积——对某一对正交轴而言§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径——图形对 x 轴的惯性半径单位： m四、 惯性半径在力学计算中，有时把惯性矩写成即：——图形对 y 轴的惯性半径§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径§A.3 平行轴定理一、定理推导二、应用附录A 平面图形的几何性质§A.3 平行轴公式一、定理推导即：显然：性质 4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩中，以对形心轴的惯性矩为最小同理惯性矩和惯性积的平行轴定理§A.3 平行轴公式解：例 1 求 和§A.4 转轴公式 主惯性矩一、公式推导二、主惯性矩附录A 平面图形的几何性质§A.4 转轴公式 主惯性矩一、公式推导规定： 角逆时针转向为 + 两组坐标系之间的关系：代入一、公式推导规定： 角逆时针转向为 + 两组坐标系之间的关系：§A.4 转轴公式 主惯性矩显然§A.4 转轴公式 主惯性矩显然性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯性矩。

§A.4 转轴公式 主惯性矩二、主惯性矩1.定义主惯性轴——惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴主惯性矩——图形对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴——通过图形形心的主惯性轴形心主惯性矩——图形对形心主惯性轴的惯性矩性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴§A.4 转轴公式 主惯性矩2.主惯性轴的方位设主惯性轴的方位为0，对应的坐标轴为 x0、y0令得到§A.4 转轴公式 主惯性矩3. 主惯性矩因故有§A.4 转轴公式 主惯性矩4.主惯性矩的性质当Ix1取极值时，对应的方位为1 得到即：性质7：主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性矩Imax，另一个为极小惯性矩Imin令 §A.4 转轴公式 主惯性矩解：例 2 求图示图形的形心主惯性矩1.确定形心位置解：例 2 求图示图形的形心主惯性矩2.求 、 和解：例 2 求图示图形的形心主惯性矩2.求 、 和解：例 2 求图示图形的形心主惯性矩2.求 、 和解：例 2 求图示图形的形心主惯性矩3.确定形心主惯性轴方位即：或解：例 2 求图示图形的形心主惯性矩。

4.求形心主惯性矩注意：因为 ，故0对应于主惯性矩较大值附录A 平面图形的几何性质Thank You!。