普通高等学校招生全国统一考试理科数学湖北卷.pdf

2010201020102010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试卷三大题 21 小题，全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 在用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂 黑 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效 3．填空题和解答题的作答：用 0．5 毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内 答在试题卷、草稿纸上无效 4．考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，请将本试题和答题卡一并交上 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的1．i为虚数单位，则20111 1i i+⎛⎞⎜⎟−⎝⎠=A．-iB．-1C．iD．12．已知{}21|log,1 ,|,2Uy yx xPy yxx⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则 UC P=A．1[ ,)2+∞B．10,2⎛⎞⎜⎟⎝⎠C．()0,+∞D．1(,0][ ,)2−∞+∞3．已知函数( )3sincos ,f xxx xR=−∈，若( )1f x≥，则x的取值范围为A．|,3x kxkkZππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B．|22,3xkxkkZππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C．5{ |,}66x kxkkZππππ+≤≤+∈D．5{ |22,}66xkxkkZππππ+≤≤+∈4．将两个顶点在抛物线22(0)ypx p=>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n，则 A．n=0B．n=1C．n=2D．n≥35．已知随机变量ξ服从正态分布()22N，a，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝Ａ．0．6B．0．4C．0．3D．0．26．已知定义在 R 上的奇函数( )fx和偶函数( )g x满足( )( )222f xg xaa−+=−+（a＞0,且0a≠） ．若( )2ga=，则( )2f=A．2B．154C．17 4D．2a7．如图，用 K、1A、2A三类不同的元件连接成一个系统。

当K正常工作且1A、2A至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知 K、1A、2A正常工作的概率依次为 0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为A．0．960B．0．864C．0．720D．0．5768．已知向量 a=（x+z,3）,b=（2,y-z） ，且 a⊥ b．若x,y满足不等式1xy+≤，则 z 的取值范围为 A．[-2，2]B．[-2，3]C．[-3，2]D．[-3，3]9．若实数 a,b 满足0,0,ab≥≥且0ab=，则称 a 与 b 互补，记22( , ),a bababϕ=+−−，那么(),0a bϕ=是 a 与 b 互补的A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件 C．充要条件D．即不充分也不必要的条件 10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为 衰变假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M（单位：太贝克）与时间 t（单位：年）满足函数关系：30 0( )2t M tM−=，其中 M0为 t=0 时铯 137 的含量已知 t=30 时，铯 137 含量的变化率是-10In2（太贝克／年） ，则 M（60）= A．5 太贝克B．75In2 太贝克 C．150In2 太贝克D．150 太贝克 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。

请将答案填在答题卡对应题号的位置上， 一题两空的题，其中答案按先后次序填写答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分11．181 3xx⎛⎞−⎜⎟⎝⎠的展开式中含15x的项的系数为（结果用数值表示）12．在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到一瓶已过保 质期饮料的概率为 （结果用最简分数表示） 13． 《九章算术》 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为升14．如图，直角坐标系xOy所在的平面为α，直角坐标系''xOy（其中'y轴一与y轴重合）所在的平面为β，'45xOx∠=°Ⅰ）已知平面β内有一点'(2 2,2)P，则点'P在平面α内的射影P的坐标为；（Ⅱ） 已知平面β内的曲线'C的方程是'2'2(2)220xy−+−=， 则曲线'C在平面α内的射影C的方程是 15．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色当4n≤时，在所有不同的着色方案中，黑色 正方形互不相邻. . . .的着色方案如下图所示：由此推断，当6n=时，黑色正方形互不相邻. . . .的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻. .的着色方案共有种， （结果用数值表示）三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本小题满分 10 分）设ABC∆的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知11.2.cos.4abC===（Ⅰ）求ABC∆的周长（Ⅱ）求()cosAC−的值17． （本小题满分 12 分） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下，大桥上的车 流速度 v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的的车流密度 达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流 速度为 60 千米/小时，研究表明；当20200x≤≤时，车流速度 v 是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0200x≤≤时，求函数( )v x的表达式;（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）( )( ).fxxv x=可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时）18． （本小题满分 12 分） 如图，已知正三棱柱111ABCA B C−的各棱长都是 4，E是BC的中点，动点F在侧棱1CC上，且不与点C重合． （Ⅰ）当CF=1 时，求证：EF⊥1AC； （Ⅱ）设二面角CAFE−−的大小为θ，求tanθ的最小值．19． （本小题满分 13 分）已知数列{ }na的前n项和为nS，且满足：1aa=(0)a≠，1nnarS+=(n∈N*，,1)rR r∈≠ −．（Ⅰ）求数列{ }na的通项公式；（Ⅱ） 若存在k∈N*， 使得1kS+，kS，2kS+成等差数列， 是判断： 对于任意的m∈N*， 且2m≥，1ma+，ma，2ma+是否成等差数列，并证明你的结论．20． （本小题满分 14 分）平面内与两定点1(,0)Aa−，2( ,0)A a(0)a>连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上1A、2A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；（Ⅱ）当1m= −时，对应的曲线为1C；对给定的( 1,0) (0,)mU∈ −+∞，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点。

试问：在1C撒谎个，是否存在点N，使得△1F N2F的面积2||Sm a=若存在，求tan1F N2F的值；若不存在，请说明理由21． （本小题满分 14 分）（Ⅰ）已知函数( )1f xInxx=−+，(0,)x∈+∞，求函数( )f x的最大值；（Ⅱ）设,kka b(1,2k=…，)n均为正数，证明：（1）若1 122aba b++…nna b≤12bb++…nb，则12 121nkkk na aa≤⋯；（2）若12bb++…nb=1，则1 n≤12 1222 212.nkkk nnb bbbbb≤+++⋯⋯参考答案一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 50 分 AABCCBBDCD 二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 25 分11．1712．28 14513．67 6614． （2，2） ，22(1)1xy−+=15．21，43三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 （满 分 10 分）解： （Ⅰ）22212cos14444cababC=+−= +−×=∵2.c∴= ABC∴∆的周长为1225.abc++= ++=（Ⅱ）221115cos,sin1cos1( ).444CCC=∴=−=−=∵15 sin154sin28aCAc∴===,acAC时，曲线 C 的方程为22221,xy ama−=C 是焦点在 x 轴上的双曲线。

II）由（I）知，当 m=-1 时，C1的方程为222;xya+=当( 1,0)(0,)m∈ −+∞∪时，C2的两个焦点分别为12(1,0),(1,0).FamF am−++对于给定的( 1,0)(0,)m∈ −+∞∪，C1上存在点000(,)(0)N xyy≠使得2||Sm a=的充要条件是222 0002 0,0,121|| ||.2xyayam ym a⎧+=≠⎪⎨⋅+=⎪⎩由①得00 ||,ya+即-1时，不存在满足条件的点 N，当1515,00,22m⎡⎞⎛⎤−+∈⎟⎜⎢⎥⎟⎜⎣⎠⎝⎦∪时，由100200(1),(1,)NFamxyNFamxy= −+−−=+−−�������� � ，可得2222 1200(1),NF NFxm ayma⋅=−++= −���� ���� �①②令112212||,||,NFrNFrFNFθ==∠=�������� � ，则由2 2 121 21 2cos,cosmaNF NFrrmarrθθ⋅== −= −���� ���� � 可得，从而2 2 1 21sin1sintan22cos2maSrrmaθθθθ== −= −，于是由2||Sm a=，可得2212||tan||,tan.2mmam amθθ−== −即综上可得：当15,02m⎡⎞−∈⎟⎢⎟⎣⎠时，在 C1上，存在点 N，使得2 12||,tan2;Sm aF NF==且当150,2m⎛⎤+∈⎜⎥⎜⎝⎦时，在 C1上，存在点 N，使得2 12||,tan2;Sm aF NF== −且当1515( 1,)(,)22m−+−+∞∪时，在 C1上，不存在满足条件的点 N。

21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理 论证的能力，以及化归与转化的思想 （满分 14 分）解： （I）( )f x的定义域为(0,)+∞，令1'( )10,1.fxxx=− ==解得当01,'( )0,( )xfxf x时在（0，1）内是增函数；当1x>时，'( )0,( )(1,)fxf x∵，从而有ln1kkaa≤−，得ln(1,2,, )kkkkkbaa bb kn≤−=⋯，求和得1111ln.nnn k kkkk kkkaa bb===≤−∑∑∑2111,ln0,nnn k kkkk kkka bba===≤∴≤∑∑∑∵即12 12ln()0,nkkk na aa≤⋯12 121.nkkk na aa∴≤⋯（2）①先证12 121.nkkk nb bbn≥⋯令1(1,2,, ),k kaknnb==⋯则11111,nnnkkk kkka bbn===== =∑∑∑于是由（1）得1212111() ()()1nkkknnbnbnb≤⋯，即1212 121,nnkkk kkk nnnb bb+++≤=⋯ ⋯12 121.nkkk nb bbn∴≥⋯②再证12222 1212.nkkk nnb bbbbb≤+++⋯⋯记21,(1,2,, )n k kk kbSbaknS====∑⋯令，则2 1。