金老师教育高中数学新教材同步选择性必修第三册 第7章 §7.2 离散型随机变量及其分布列.docx

§7.2　离散型随机变量及其分布列学习目标　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.4.理解两点分布．知识点一　随机变量的概念、表示及特征1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点．(2)所有可能取值是明确的．知识点二　离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．知识点三　离散型随机变量的分布列及其性质1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．2．分布列的性质(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.知识点四　两点分布如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为X01P1－pp我们称X服从两点分布或0－1分布．思考　随机变量X只取两个值，该分布是两点分布吗？答案　不一定，如果X只取0和1，则是两点分布，否则不是．1．离散型随机变量的取值是任意的实数．(　×　)2．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　√　)3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　×　)4．电池的使用寿命X是离散型随机变量．(　×　)一、随机变量的概念及分类例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；(2)某单位办公室一天中接到的次数；(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(4)一瓶果汁的容量为500±2 mL.解　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．(2)某单位办公室一天中接到的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．(4)由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量．反思感悟　判断离散型随机变量的方法(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．跟踪训练1　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．解　(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．二、求离散型随机变量的分布列例2　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．解　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C＝10(种)情况．(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A)＝＝，即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.故X的分布列为X012P反思感悟　求离散型随机变量的分布列关键有三点(1)随机变量的取值．(2)每一个取值所对应的概率．(3)用所有概率之和是否为1来检验．跟踪训练2　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．解　X的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝，第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝，第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝，第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝，第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝，所以X的分布列为X12345P三、分布列的性质及应用例3　设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求P.解　由题意，所给分布列为X1Pa2a3a4a5a(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.(2)方法一　P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.方法二　P＝1－P＝1－＝.延伸探究本例条件不变，求P.解　∵0，3－8c＝3－＝>0；当c＝时，9c2－c＝9×2－>1，3－8c＝3－<0(不适合，舍去)．故c＝.故所求分布列为X01P1．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是(　　)A.X012P0.70.150.15B.X－2024P0.50.20.30C.X123P－D.X123Plg 1lg 2lg 5答案　C解析　C项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点．所以C项不是随机变量的分布列．2．(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是(　　)A．到2020年5月1日止，我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C．某人在车站等出租车的时间D．某人投篮10次，可能投中的次数答案　ABC3．设离散型随机变量X的分布列如下：X1234Pp则p的值为(　　)A. B. C. D.答案　C解析　由分布列的性质可知p＝1－－－＝.4．已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________．答案　0,1,2解析　由题意Y＝X且X∈{0,2,4}，得Y∈{0,1,2}．5．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.答案　0.8解析　因为Y＝3X－2，所以当Y＝－2时，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.1．知识清单：(1)随机变量的概念、特征．(2)离散型随机变量的概念．(3)离散型随机变量的分布列的概念及其性质．(4)两点分布．2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误．1．(多选)下面是离散型随机变量的是(　　)A．某机场候机室中一天的游客数量XB．某外卖员一天内收到的点餐次数XC．某水文站观察到一天中长江的最高水位XD．某立交桥一天经过的车辆数X答案　ABD解析　ABD中随机变量X所有可能取的值我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量，C中X可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变量．2．设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于(　　)A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7答案　A解析　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标答案　C解析　ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C.4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)A．0 B. C. D.答案　B解析　设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝.故p(ξ＝0)＝1－p＝.5．离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则P等于(　　)A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55答案　B解析　根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1，可解得x＝2，y＝5，故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35.6．一用户在打时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码所用的次数为X，随机变量X的可能值有________个．答案　24解析　后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个)．7．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么P(X＝1)＝________，n＝________.答案　0.1　10解析　由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.8．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P(X<2)＝________.答案　解析　P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＝.9．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取。