第3讲-二次函数(入门).doc

二次函数（入门）一、知识要点1．二次函数概念 形如的函数叫做一元二次函数，简称为二次函数.在理解二次函数的定义时，应注意下述问题： （1）称为二次项，称为一次项，c称为常数项，称为二次项系数，称为一次项系数. （2）在解析式中最高项是项且系数，而b,c可以不为零，也可以为零，对于判断一个函数是否是二次函数不起作用，如（）， 都是二次函数. （3）自变量的取值范围是任何实数. （4）如果，则该函数一定不是二次函数，但不一定是一次函数，如果，才是一次函数. （5）如果一个函数的解析式形如，则这个函数一定是二次函数.反之，如果一个函数是二次函数，那么它的解析表达式一定是的形式. 2．计算函数值 根据二次函数解析式，当取某一个值时，代入二次函数解析式中计算出最后结果，即为函数值. 3．建立实际问题中的二次函数关系式 （1）审清题意：找出问题中的已知量（定量），未知量（变量）及相互关系. （2）建立函数关系式：根据题意建立函数形式，并指出函数的定义域. （3）判断是否为二次函数解析式:根据二次函数的定义及解析式的形式，判断求出的函数关系式是否为二次函数.二、例题分析：例1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）例2 已知函数 （1）当为何值时，此函数是二次函数 （2）当为何值时，此函数是一次函数例3．当m为何实数时，函数y=(m+1)x+(m－3)x+m是二次函数？例4．（1）已知二次函数为.分别计算当自变量分别取-1，时，计算函数的值； （2）已知二次函数，当，试确定对应二次函数中的值. （3）已知二次函数，当取何值时，函数的值为1.DA例5．如图所示，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=15cm，下底BC=40cm，垂直于底的腰CD=30cm，现要截成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M，P，N分别在AB，BC，CD上，求矩形MPCN的面积S关于MN的长的函数解析式.MNBPC例6 如图所示，已知的面积为5，点M在AB边上移动（点M与点A，B不重合），MN∥BC，MN交AC于点N，连结BN，设（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；AMNEFBC（2）点E，F分别是边AB，AC的中点，设的公共部分的面积为S，试用含的代数式表示S。

三、练习一、选择题 1．判断下列函数，是二次函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 2．函数是二次函数的条件是（ ） A、是常数，且 B、是常数，且 C、是常数，且 D、可以为任何常数 3．下列各式中，的二次函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 4．二次函数，当时，，则m的值是（ ） A、-1或3 B、-1 C、3 D、-3或1 5．若是二次函数，则m的值为（ ） A、1 B、-2 C、1或-2 D、2 6．已知正方形的周长为Ccm.,面积为则S与C之间的函数关系式为（ ） A、 B、 C、 D、 7．小华要送给同学生日礼物，他给这位同学买了一只杯子，为了美观，小华准备包装杯子的盒子（是个长方体）.已知盒子的长和宽相等，高是长是3倍，则包好后，重叠部分不计，外层包装纸的面积是（ ） A、设长和宽为，表面积为，则有 B、设长和宽为，表面积为，则有 C、设高为，则长和宽为，表面积为 D、设高为，则长和宽为，表面积为 8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器是的价约为万元，则与的函数关系式为（ ） A、 B、 C、 D、二、填空题 1．已知二次函数，若当时，，则当时，的值为 . 2．若是的二次函数，则取值为 . 3．一个长方形的周长是50cm，一边长是cm，这个长方形的面积与的函数关系式是 . 4．若对任何实数，二次函数的值总是非负数，则的取值范围是 . 5．在边长为4m的正方形中间挖去一个长为m的小正方形，剩下的四方框形的面积为，与之间的函数关系是 . 6．小明存入银行人民币2000元，年利率为，两年到期，本利和为元，与之间的函数关系是 .若年利率为7%，两年到期的本利共 元. 7．已知与成正比例，并且当时，，则函数的解析式是 ，并求当时， ，当时， .三、解答题1．设圆锥的高是9（cm），试写出圆锥的体积V（cm3）与底面半径之间的函数关系式。

2．天天超市购进一单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现：若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件.假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数.（1）试求与之间的关系式.（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，每月获得的利润p（元）与销售价格（元/件）的函数关系是什么？四、作业1．下列各式中，是的二次函数的有（ ） ①；②；③；④； ⑤；⑥（为常数，）；⑦（k为常数） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．圆面积公式，与之间的关系是（ ） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上答案都不对 3．判断下列函数，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 4．二次函数，当时，，则的值是（ ） A．-1或3 B．-1 C．3 D．-3或1 5．函数是二次函数，则_________。

6．火车隧道的截面是矩形加一个半圆，如图，已知截面面积为S（常量），把截面周长表示为底面宽度的函数.ABCD二次函数--一、知识要点 1．二次函数的图象． 用描点法画出二次函数的图象，如图，它是一条关于轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 2．二次函数的有关性质. 因为抛物线关于轴对称，所以轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线的顶点是图象的最低点，因为抛物线有最低点，所以函数有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 3．二次函数的图象画法. 用描点画二次函数的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量的值，然后计算出对应的值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确 4．二次函数的性质. （1）二次函数的性质，见下表：函 数图 象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值向上（0，0）轴时，随增大而增大；时，随增大而减小.当时，.向下（0，0）轴时，随增大而减小；时，随增大而增大.当时，.（2）抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧部分，随的增大而减小；在对称轴右侧部分，随的增大而增大.当时，抛物线开口向下，在对称轴左侧部分，随的增大而增大；在对称轴右侧部分，随的增大而减小；的大小决定抛物线的开口大小，越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．二、例题分析例1．（1）在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象： ①； ②； ③； ④ （2）从解析式、函数对应值表、图象三个方面对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？例2．填空1．函数y=x的图象开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x= 时，y有最 值。

2．函数y=－x的图象开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x= 时，y有最 值例3．已知抛物线经过点．（1）判断点是否在此抛物线上；（2）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标．例4．如图所示，已知直线经过轴上的点，且与抛物线相交于两点.已知点坐标为.（1）求直线和抛物线的解析式；（2）如果为抛物线上一点，使得的面积相等，求点坐标.例5．已知函数 是关于的二次函数，求：（1）满足条件的值； （2）为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当为何值时，随的增大而增大？ （3）为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当为何值时，随的增大而减小？ABCD例6．函数和函数的图象，在同一坐标系中的图象大致如图中的（ ）.例7．设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为和，且直线与轴的交点的横坐标为．求证：.例8．函数的图象与直线交于点，求： （1）和的值； （2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）取何值时，二次函数中的随的增大而增大； （4）求抛物线与直线的两交点及顶点所构成的三角形面积.三、练习一．选择题： 1．下列说法错误的是（ ）． A、二次函数，当时，有最大值 B、二次函数，当时，随的增大而增大 C、在三条抛物线的开口最小，的开口最大 D、不论是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点 2．直线与抛物线（ ）． A、只相交于一点 B、只相交于一点 C、没有交点 D、相交于两点、 3．下列抛物线中，开口方向向下且开口最大的是（ ）． A、 B、 C、 D、 4．已知二次函数当，那么自变量的取值范围是（ ）． A、 B、 C、 D、取任意实数 5．已知点在抛物线上，则的值为（ ）． A、2 B、-2 C、 D、 6．二次函数与一次函数的图象只有一个交点，则的值为（ ）. A、1 B、-1 C、 D、以上答案都不对 7．函数为的二次函数，且图象的开口向下，则的取值为（ ）. A、 B、 C、 D、以上。