数学分析三试卷及答案.doc

《数学分析》(三）――参考答案及评分标准一 计算题(共8题，每题9分，共72分)1. 求函数在点（0，0）处的二次极限与二重极限.解： ，因此二重极限为……（4分)因为与均不存在，故二次极限均不存在 ……（9分）2. 设 是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数，求.解： 对两方程分别关于求偏导:， ……(4分).解此方程组并整理得 ……（9分）3. 取为新自变量及为新函数,变换方程设 (假设出现的导数皆连续).解：看成是的复合函数如下： ……（4分）代人原方程，并将变换为整理得： ……（9分)4. 要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？解： 设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值,其中目标函数： ，约束条件： ……(3分) 构造Lagrange函数：.令 ……（6分） 解得，故有 由题意知问题的最小值必存在,当底面半径为高为时，制作圆桶用料最省。

……(9分)5. 设，计算.解：由含参积分的求导公式 ……（5分） . ……（9分）6. 求曲线所围的面积，其中常数解：利用坐标变换 由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积 ……（3分）则 ……（6分) ……(9分)7 计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线(为一椭圆），从轴的正向看去,是逆时针方向 解： 取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为 ……（3分） 由Stokes公式得 ……(6分） ……(9分)8. 计算积分，为椭球的上半部分的下侧.解:椭球的参数方程为,其中且 . ……(3分)积分方向向下，取负号，因此, ……(6分） ……（9分） 二。

证明题（共3题，共28分）9分） 讨论函数在原点(0，0)处的连续性、可偏导性和可微性.解：连续性：当时，，当,从而函数在原点处连续. ……（3分)可偏导性:， ，即函数在原点处可偏导. ……（5分）可微性： 不存在，从而函数在原点处不可微. ……（9分）10.（9分） (9分) 设满足:（1)在上连续，（2），（3)当固定时,函数是的严格单减函数.试证：存在,使得在上通过定义了一个函数，且在上连续.证明:(i）先证隐函数的存在性由条件(3）知,在上是的严格单减函数,而由条件(2)知，从而由函数的连续性得 , .现考虑一元连续函数由于，则必存在使得, 同理，则必存在使得， 取，则在邻域内同时成立 , ……（3分）于是，对邻域内的任意一点，都成立 , 固定此,考虑一元连续函数由上式和函数关于的连续性可知,存在的零点使得＝0。

而关于严格单减,从而使＝0的是唯一的再由的任意性，证明了对内任意一点，总能从找到唯一确定的与相对应，即存在函数关系或此证明了隐函数的存在性……(6分)（ii）下证隐函数的连续性设是内的任意一点,记对任意给定的，作两平行线， 由上述证明知 ， .由的连续性，必存在的邻域使得 ， ， 对任意的,固定此并考虑的函数,它关于严格单减且， 于是在内存在唯一的一个零点使，即 对任意的,它对应的函数值满足这证明了函数是连续的 ……(9分)11.（10分)判断积分在上是否一致收敛,并给出证明证明：此积分在上非一致收敛证明如下：作变量替换，则. ……(3分)不论正整数多么大,当时，恒有 ……(5分）因此， ……（7分） ，当时因此原积分在上非一致收敛 ……(10分)注：不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。

原因如下：尽管对任意的积分一致有界，且函数关于单调，但是当时,关于并非一致趋于零事实上，取 相应地取,则,并非趋于零《 数学分析[3] 》模拟试题一、 解答下列各题(每小题5分，共40分)1、 设求；2、求3、设求在点处的值；4、求由方程所确定的函数在点处的全微分；5、求函数在点处的梯度；6、求曲面在点（1，2，0）处的切平面和法线方程；7、计算积分:；8、计算积分：；二、 （10分）求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面三、 （10分）若是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求四、 (10分)计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 五、 （10分)计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向六、 （10分)计算,其中是半球面七、 （10分）讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性参考答案一、解答下列各题（每小题5分，共40分）1、 设求;解：；2、求；解：3、设求在点处的值；解：4、求由方程所确定的函数在点处的全微分；解：在原方程的两边求微分,可得将代入上式,化简后得到5、求函数在点处的梯度；解：.6、求曲面在点(1，2，0）处的切平面和法线方程；解：记在点（1,2,0）处的法向量为：则切平面方程为:即法线方程为：，即.7、计算积分:；解：而在上连续,且在［1,2]上一致收敛，则可交换积分次序，于是有原式。

8、计算积分:；解：交换积分顺序得:八、 求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面解：设长方体在第一卦限的顶点坐标为（x，y，z），则长方体的体积为：拉格朗日函数为 由 解得：根据实际情况必有最大值，所以当长方体在第一卦限内的顶点坐标为时体积最大.九、 若D是由和两坐标轴围成的三角形区域,且，求解：十、 计算，其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 .解：十一、 计算,其中为，的全部边界曲线,取逆时针方向解：由格林公式：所以十二、 计算,其中是半球面.解：十三、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性解：，而收敛，所以由M判别法知，在内的一致收敛.《 数学分析［3］ 》模拟试题十四、 解答下列各题（每小题5分，共40分）1、设，求；2、，求;3、设，求；4、设是方程所确定的与的函数，求;5、求函数在点处沿从点到点的方向导数；6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标.7、计算积分:；8、计算积分：；二、 （10分）原点到曲线的最大距离和最小距离三、(10分）已知，其中为球体：，求四、（10分)计算,其中D是由圆周所围成的区域.五、（10分）计算,其中为圆周，取逆时针方向。

六、（10分）计算，其中为锥面被拄面所割下部分.七、 (10分)讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性参考答案十五、 解答下列各题（每小题5分，共40分）1、设,求;解:2、,求；解：3、设，求；解：4、设是方程所确定的与的函数，求；解：方程两边求微分,得5、求函数在点处沿从点到点的方向导数；解:方向即向量的方向，因此x轴到方向的转角故所求方向导数为:6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标.解：设P点的坐标为，则P点处的切平面为又因该平面与平面平行，则有 ，，即7、计算积分：；解：而在上连续,且在[2，3］上一致收敛，则可交换积分次序,于是有原式8、计算积分：;解：交换积分顺序得:三、 原点到曲线的最大距离和最小距离解：设P（x,y,z）为曲线上任意点，则目标函数为,约束条件为，建立拉格朗日函数：由 得驻点：和，根据实际情况必有最大值和最小值,四、 已知，其中为球体：,求解：用球坐标计算,得故四、计算，其中D是由圆周所围成的区域解：由对称性知:故五、计算，其中为圆周，取逆时针方向解：由格林公式：所以 六、计算，其中为锥面被拄面所割下部分解：在xoy面上的投影为八、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性.解：当时，，而收敛，所以由M判别法知，在内的一致收敛.《数学分析(三) 》参考答案及评分标准第 11 页 共 14 页。