考研数学三知识点总结.pdf

高数高数 三角函数变换 cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinBcos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB sin(A−B)=sinAcosB−cosAsinBsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sinAcosB= 1 2 [sin(A+B)+sin(A−B)]sinxcosx= 1 2 sin2x sinAsinB= 1 2 [cos(A−B)−cos(A+B)]sin2x= 1 2 (1−cos2x) cosAcosB= 1 2 [cos(A−B)+cos(A+B)]cos2x= 1 2 (1+cos2x) cos2x=1−tan 2x 1+tan 2x sin2x= 2tanx 1+tan 2x arcsinx+arccosx=π 2 arctanx+arccotx=π 2 arctanx+arctan 1 x =π 2 圆柱体积 V =πr2h 圆锥体积 V =1 3 πr 2h 球体积 V = 4 3 πr3 椭圆面积 S=πab 抛物线y2=2px交点坐标 ( p 2 ,0) 准线 x=− p 2 点到直线距离 ∣ax0+by0+c∣ √a 2+b2 第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点。

可去间断点：间断点处左右极限存在但不等于该点函数值 f (x0+0)= f (x0−0)≠ f (x0) 跳跃间断点：间断点处左右极限存在但不相等 f (x0+0)≠ f (x0−0) 第二类间断点：间断点处左右极限至少有一个是∞ 重要极限 lim x→0 sinx x =1 lim x→∞ (1+ 1 x ) x =elim x→0 (1+x) 1 x=e x趋向于 0 时的等价无穷小 sinx∼x tanx∼x arcsinx∼x arctanx∼x 1−cosx∼ 1 2 x2 ln(1+x)∼x loga(x+1)∼ x lna e x−1∼x ax−1∼xlna n √1+x−1∼ x n (1+bx)a−1∼abx 导数公式 (a x)'=axlna (logax)'= 1 xlna (tanx)'=sec2x (cotx)'=−csc2x (secx)'=secxtanx (cscx)'=−cscxcotx (arcsinx)'= 1 √1−x 2 (arccosx)'=− 1 √1−x 2 (arctanx)'= 1 1+x2 (arccotx)'=− 1 1+x2 [sin(ax+b)](n)=ansin(ax+b+ n 2 π)[cos(ax+b)](n)=ancos(ax+b+ n 2 π) ( 1 ax+b ) (n) =(−1) nann! (ax+b)n+1 [ln(ax+b)](n)=(−1) n−1(n−1)!an (ax+b)n 积分公式 ∫ dx √x 2±a2=ln∣x+√x 2±a2∣+C ∫ dx √a 2−x2=arcsin x a +C ∫ dx x2−a2= 1 2 ln∣x−a x+a∣+C ∫ dx x2+a2= 1 a arctan x a +C∫ dx a2x2+b2 = 1 ab arctan ax b +c ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+c∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+c ∫√a 2−x2dx=a 2 2 arcsin x 2 + x 2 √a 2−x2+c ∫√x 2±a2dx=x 2 √x 2±a2±a 2 2 ln∣x+√x2±a2∣+c ∫0 π 2 sin n xdx=∫0 π 2 cosnxdx=(n−1)!! n!! π 2 (n为偶数) ∫0 π 2 sin n xdx=∫0 π 2 cosnxdx=(n−1)!! n!! (n为奇数 ) ∫0 π 2 f (sinx)dx=∫0 π 2 f (cosx)dx ∫0 π xf (sinx)dx=π 2∫0 π f (sinx)dx=π∫0 π 2 f (sinx)dx ∣∫0 x f (t)dt∣≤∫0 x ∣f (t)∣dt ∫0 a f (x)dx= 1 2∫0 a [ f (x)+ f (−x)]dx ∫ −a a f (x)dx=∫0 a [ f (x)+ f (−x)]dx f x ' (x, y) , f y ' (x ,y) 在 (x0,y0) 连续 ⇒z= f (x ,y) 在 (x0,y0) 可微 ⇒ f (x, y) 在 (x0,y0) 连续 二重积分特点 积分区域D 关于x轴对称 ∬ D f (x, y)dσ=0 f为y 的奇函数，即 f (x ,−y)=− f (x, y) ∬ D f (x, y)dσ=2∬ D1 f (x, y)dσ f 为y的偶函数，即 f (x ,−y)= f (x ,y) 积分区域D 关于y轴对称 ∬ D f (x, y)dσ=0 f为x 的奇函数，即 f (−x, y)=− f (x, y) ∬ D f (x, y)dσ=2∬ D1 f (x, y)dσ f 为x的偶函数，即 f (−x, y)= f (x ,y) 积分区域关于原点对称 ∬ D f (x, y)dσ=0 f为x，y 的奇函数，即 f (−x,−y)=− f (x, y) ∬ D f (x, y)dσ=2∬ D1 f (x, y)dσ f 为x，y的偶函数，即 f (−x,−y)= f (x, y) 函数展开式 e x=1+x+1 2! x 2+⋯+1 n! xn=∑ k=0 n xk k! sinx=x− 1 3! x3+ 1 5! x5−⋯+(−1)n−1 1 (2n−1)! x2n−1=∑ k=0 n (−1)k x2k+1 (2k+1)! cosx=1− 1 2! x2+ 1 4! x4−⋯+(−1)n 1 (2n)! x2n=∑ k=0 n (−1)k x2k (2k)! ln(1+x)=x− 1 2 x2+ 1 3 x3+⋯+(−1)n−1 1 n xn=∑ k=1 n (−1)k−1 xk k 1 1+x =∑ k=0 n (−1)kxk 1 1−x =∑ k=0 n xk 多元函数极值：驻点 (x0,y0) 满足 f x ' (x0,y0)=0 ，fy ' (x0,y0)=0 且 A= f xx ' ' (x0,y0) ,B= fxy ' ' (x0,y0),C= f yy ' ' (x0,y0) B2−AC0 时是最小值， A0时， (x0,y0) 不是极值点。

B2−AC=0时，不能判断，需要另外方法讨论 一阶线性微分方程：y'+ p(x)y=q(x) 公式法通解：y=e −∫p(x)dx [∫q(x)e∫ p(x)dx dx+C] 二阶常系数线性微分方程：y' '+py'+qy=0 ，特征方程： r 2+pr=q=0 Δ= p2−4q0时，有两个相异实根 r1r2 ，通解y= f (x)=C1e r1x+C 2e r2x Δ= p2−4q=0 时，有二重根r，通解 y= f (x)=(C1+C2x)erx Δ= p2−4q0 ±iβ 不是特征根，y*=Acosβx+Bsinβx ±iβ 是特征根，y*=x(Acosβx+Bsinβx) 差分一般形： yt+1+ayt= f (t) ，通解 yt=C (−a)t f (x) 形式特解形式 f (t)=Pn(t) Pn(t) 为n 次多项式 a+1≠0 ， y=Qn(t) a+1=0 ， y=tQn(t) f (t)=Mbta+b≠0，y=Abt a+b=0 ，y=Atbt f (t)=Mcosβt+Nsinβty=Acosβt+Bsinβt 渐近线 x=a 是垂直渐近线 lim x→a f (x)=∞ ，必须是a左右都趋于无穷。

x→+∞ 时， y=b 是水平渐近线 ⇔ lim x→+∞ f (x)=b x→+∞ 时， y=kx+b 是斜渐近线 ⇔ lim x→+∞ f (x) x =k ，且 lim x→+∞ [ f (x)−kx]=b 在考察水平渐近线和斜渐近线时，也要同时考察 x→−∞ 时的情况 级数∑ n=1 ∞ Un收敛的必要条件是 lim n →∞ Un=0 若级数∑ n=1 ∞ Un收敛，任意添加括号不影响敛散性，去括号会有影响 ∑ n=0 ∞ aqn，当∣q∣1 时收敛，当 p≤1 时发散 正项级数审敛法之一：比较判别法 ∑ n=1 ∞ Un和∑ n=1 ∞ V n 为正项级数，且 lim x→∞ V n Un=A 当 01 时，级数∑ n=1 ∞ Un发散 当 p=1 时，比值判别法失效 交错级数∑ n=1 ∞ (−1)nUn级数审敛——莱布尼斯判别法 若满足 Un≥Un+1 ，即 Un 单调减少，且 lim n →∞ Un=0 ，则收敛 幂级数收敛半径 l=lim n→∞∣ an+1 an∣ 或 l=lim n→∞ n √an R= 1 l ， 01 时收敛，当 q≤1 时发散 线性代数线性代数 A为 n 阶矩阵，A可逆 ⇔∣A∣≠0⇔r(A)=n ⇔Ax=0 只有零解 ⇔ A与单位矩阵 E等价 ⇔ A的特征值全不为 0 ⇔ A的行/列向量组线性无关 A是 m×n矩阵，b为 m维列向量，Ax=b对于任何b 总有解 ⇔∀b∈Rm，∃常数 C1,C2,⋯Cn ，使 (a1,a2,⋯an)( C1 C2 ⋮ Cn) =b ⇔ A的列向量 a1,a2,⋯,an 可以表示任一m维列向量 ⇔∃n×m 矩阵B，使AB=E ⇔ 向量组 a1,a2,⋯,an 与 ε1=( 1 0 ⋮ 0) ,ε2=( 0 1 ⋮ 0) ⋯εn=( 0 ⋮ 0 1) 等价 ⇔ 向量组秩 r(a1,a2,⋯,an)=r(A)=m ⇔ A行向量线性无关 范德蒙行列式 ∣ 111⋯1 x1x2x3⋯xn x1 2 x2 2 x3 2 ⋯xn 2 ⋮⋮ x1 n−1 x2 n−1 x3 n−1 ⋯xn n−1∣ =∏ 1≤ j≤i≤n (xi−x j) ∣kA∣=k n∣A∣ ∣AB∣=∣A∣∣B∣ ∣A*∣=∣A∣n−1 ∣A−1∣=∣A∣ −1 (kA)*=k n−1 A* A*=∣A∣A−1 (A*)−1=(A−1)*= A ∣A∣ (A *)*=∣A∣n−2 A (An)−1=(A−1)n (kA) −1=1 k A−1 (AB)−1=B−1A−1 (A −1)T=(AT)−1 (A*)T=(AT)* (kA)T=kAT (AB)T=BTAT (A+B)T=AT+BT AA*=A*=∣A∣E A=(a b cd ) 的伴随阵 A*=( d−b −ca ) 即主对角线互换，副对角线变号。

∣ A0 *B∣=∣ A* 0B∣ =∣A∣∣B∣ ， ∣ 0A B*∣=∣ *A B0∣ =(−1)mn∣A∣∣B∣ (B 0 0C) n =( Bn0 0C n) ( B0 0C) −1 =(B n 0 0C−1) ( 0B C0 ) −1 =( 0C−1 B−10 ) r(A*)=n，若 r(A)=n r(A*)=1 ，若 r(A)=n−1 r(A*)=0，若 r(A)0 是必要条件） ⇔ A的顺序主子式全大于零（ aii0 是必要条件） ⇔ 存在可逆矩阵C，使得A=C TC 对于二次型A，r(A)=正、负惯性指数之和 概率概率 分布参数定义域分布率期望方差 0-1 分布P1，0pkq1−kppq 二项分布 （B） n，p0,1,⋯,nCn k pkqn−knpnpq 几何分布p1,2,⋯pqk−11 p q p2 超几何分布n，N，MCM k CN−M n−k CN n np （p=M/N） npq N−n N−1 柏松分布 （P） λ0自然数 λk k! e−λ λλ 均匀分布 （U） a，b（a，b）1 b−a a+b 2 (b−a)2 12 指数分布 （E） λ(0,+∞) λe−λ x 1 λ 1 λ2 正态分布 （N） μ,σ(−∞,+∞) 1 √2π σ e −(x−μ) 2 2σ 2 μσ 标准正态分布μ=0,σ=1(−∞,+∞。