菲涅尔衍射.doc

精选优质文档-----倾情为你奉上 菲涅尔衍射常用计算方法的研究菲涅尔衍射积分有多种计算方法，其中常用的三种计算方法有傅里叶变换算法、卷积算法和角谱衍射算法，本节在对菲涅尔衍射深入研究的基础上，对上述常用的三种计算方法进行了较为详细的研究和比较，得出了在相同条件下，从运算时间的角度来看，角谱衍射算法具有一定优势的结论[36]2.4.1 傅里叶变换算法（S-FFT算法）由式（3.1.11）知，菲涅尔衍射公式是一个傅里叶变换过程 （2.4.1）式中，表示傅里叶变换这种算法只需要一次傅里叶变换便能完成衍射计算，称之为傅里叶变换算法，以下我们简称S-FFT算法（single fast Fourier transform algorithm）如果对式（2.4.1）进行离散化处理，则 （2.4.2）式中，，是衍射面的抽样间隔，，是观察面的抽样间隔，，，，分别为衍射面和抽样面的某抽样点数，且，，，和，分别为衍射面和观察面上的总抽样点数在进行S-FFT计算时，通常衍射面的尺寸、取样点数、衍射距离和光波波长都是已知的，只需要确定观察面尺寸现在仅讨论沿轴方向的情况，其结果可直接扩展到轴方向。

如果实际空间长度为米的空间取样且有个抽样点，由抽样定理得知，得到其最高空间频率为 (2.4.3)这些衍射光对应的空间频率方向为 (2.4.4)图2.4.1衍射屏最大尺寸示意图由图2.4.1和式（2.4.4）得 （2.4.5）由式（2.4.3）和式（2.4.5）联立可得观察面的最大计算尺寸为 （2.4.6）因为是傍轴计算，式（2.4.5）还可以近似为 （2.4.7）同样的式（2.4.6）可以化简为 （2.4.8）这个结果表明：使用S-FFT计算法，衍射观察面的尺寸不但是波长的函数，而且是取样点数和衍射距离的函数，当衍射距离很小时，如果保持取样数不变，则再现结果只对应观察面上临近光轴的很小区域因此，该算法主要适用于衍射距离较大的情况为了期望衍射计算结果满足奈奎斯特抽样定理，所以抽样间隔必须满足 （2.4.9） （2.4.10）将式（2.4.10）代入式（2.4.8）得 （2.4.11）式（2.4.9）和式（2.4.11）是一对矛盾，只有当 （2.4.12）才能完全满足奈奎斯特抽样定理。

同理，轴方向采样间隔应满足 （2.4.13）数值模拟计算时，取衍射面计算尺寸为，抽样点数，衍射图像为一“光”字，如下图2.4.1所示图2.4.1衍射物用一束波长的平行光照射，且衍射距离取，则由式（3.2.8）观察面尺寸 ，则模拟计算得到衍射图像为 图2.4.2 衍射图2.4.2 T-FFT算法由式（2.4.1）知，我们可以通过使用卷积的形式对菲涅尔衍射积分进行化简，由卷积定理得知，空域的卷积运算可以由傅里叶变换转化为空域的乘积来进行计算，具体计算步骤如下：第一步，进行傅里叶变换，转换到频域进行计算，得到乘积结果 （2.4.14）第二步，将乘积结果逆傅里叶变换回到空域，完成衍射计算 （2.4.15）式（2.4.14）和（2.4.15）中，是频域坐标，表示逆傅里叶变换整个运算过程采用了三次傅里叶变换，称为卷积算法，以下我们简称T-FFT算法（triple fast Fourier transform algorithm）在T-FFT算法中，观察面的尺寸与衍射面的尺寸是相同的，主要是因为与的频谱在里相乘，要求是相同频率的频谱成分相乘，其最高频率也就必须相等，由于抽样数是一样的，当然要求对应的几何尺寸相等，即 （2.4.16）对于T-FFT算法 ，仅考虑菲涅尔传递函数的傅里叶变换式的离散抽样，根据奈奎斯特抽样定理得。

数值模拟计算时，取与S-FFT同样的初始条件，则由式（2.4.16）观察面尺寸，则模拟计算得到观察面上的衍射图像为图2.4.3 衍射图2.4.3 D-FFT算法经研究表明，可以直接通过计算得到 （2.4.17）所以，菲涅尔衍射积分公式化简为 （2.4.18）由于在计算过程中，需要进行一次傅里叶变换和一次逆傅里叶变换，被称为角谱重建算法，以下我们简称D-FFT算法（Double fast Fourier transform algorithm）同样的，其观察面的尺寸需满足式（2.4.16）[33-36]数值模拟计算时，取与S-FFT同样的初始条件，则由式（2.4.16）观察面尺寸，则模拟计算得到观察面上的衍射图像为图2.4.4衍射图专心---专注---专业。