李雅普诺夫稳定性的基本定理.ppt

李雅普诺夫第一法(1/7)3.2.1 李雅普诺夫第一法q 李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型)稳定性的方法它的基本思路是:Ø 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态附 近进行线性化,ü 即在平衡态求其一次Taylor展开式,ü 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性Ø 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性李雅普诺夫第一法(2/7)下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用q 设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x) 其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元 素对x有连续的偏导数参看课本P167李雅普诺夫第一法(5/7)p 李雅普诺夫第一法的基本结论是:1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都具 有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系统 的稳定性与高阶项R(x)无关2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正 实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态的 稳定性与高阶项R(x)无关。

3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定李雅普诺夫第一法(6/7)q 由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态 方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性Ø 值得指出的区别是:ü 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺 夫方法讨论状态稳定性问题Ø 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值, 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 统,而不能推广至时变系统李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1试确定系统在原点处的稳定性q 解 1： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态Ø将系统在原点处线性化,则系统矩阵为q 例3-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:因此,系统的特征方程为 |I-A|=2+K1+K2=0李雅普诺夫第一法(8/7)2. 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充 分条件为: K1>0 和 K2>0.参看课本P168李雅普诺夫第二法(1/3)3.2.2 李雅普诺夫第二法q 由李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性 系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无 能为力,而且该方法不易推广到时变系统。

Ø 下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析 都适用的李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法(2/3)q 李雅普诺夫第二法又称为直接法Ø 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的ü 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能 量将随着时间推移而衰减当趋于平衡态时,其能量 达到最小值ü 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能 量,其储存的能量将越来越大Ø 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性李雅普诺夫第二法(3/3)q 在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些Ø 数学预备知识,然后介绍一些Ø 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍Ø 李雅普诺夫稳定性定理数学预备知识(1/1)1. 数学预备知识q 下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预 备知识:Ø 函数的正定性Ø 二次型函数和对称矩阵的正定性Ø 矩阵正定性的判别方法实函数的正定性(1/4)—函数定号性定义(1) 实函数的正定性q 实函数正定性问题亦称为函数定号性问题Ø 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件下 恒为负的。

Ø 下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性定义q 定义3-5 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x都有V(x)>0;当且仅当x=0时,才有 V(x)=0,Ø 则称函数V(x)为区域上的正定函数  实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义q 从定义可知,所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函数 由正定函数的定义,我们相应地可定义Ø 负定函数、Ø 非负定(又称半正定或正半定)函数、Ø 非正定函数(又称半负定或负半定)和Ø 不定函数参看课本P169实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义q 定义3-6 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x,都有V(x)0, Pt0时不恒为零,那么ü该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定 的,否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定ü此时,随着||x||→,有V(x,t)→,则该系统在原 点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定 的 稳定性定理(1/4)参看课本P173 例3.6(3) 不稳定性定理q 定理3-6 设系统的状态方程为x’=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。

若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条 件:1) V’(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不 稳定的;2) 若V’(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的 x(t0)0, V’(x,t)在t>t0时不恒为零,那么该平衡态xe亦是不 稳定的 □不稳定性定理(1/2)q 例3-7 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性 不稳定性定理(2/2)—例5-7q 解 显然,原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态,如果我们选择李 雅普诺夫函数为则由于V’(x)非负定,但其只在x1=0,x2=0时才恒为零,而在其他状态 不恒为零,因此由定理3-6的2)可知,系统的该平衡态为不稳定的 参看课本P174 例3.8q 下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法作一小结不稳定性定理(5/2)—稳定性定理小结V(x) V’(x)结论正定(>0)负定(0)半负定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解)该平衡态渐近稳定正定(>0)半负定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解)该平衡态稳定 但非渐近稳定正定(>0)正定(>0)该平衡态不稳定正定(>0)半正定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解)该平衡态不稳定。