《高等数学》向量代数与空间解析几何考点精讲与例题解析.docx

《高等数学》向量代数与空间解析几何考点精讲与例题解析考纲要求1. 要求（一）向量代数 （1）理解向量的概念，掌握向量的表示，会求向量的模、非零向量的方向余弦和非零向量在轴上的投影 （2）掌握向量的线性运算（加法运算与数量乘法运算） （3）会求向量的数量积与向量积 （4）会求两个非零向量的夹角，掌握两个非零向量平行、垂直的充分必要条件（二）平面与直线（1）会求平面的点法式方程、一般方程，会判定两个平面的位置关系（2）会求点到平面的距离（3）会求直线的点向式方程、一般方程和参数式方程会判定两条直线的位置关系（4）会求点到直线的距离、两条异面直线之间的距离（5）会判定直线与平面的位置关系1. 向量及其线性运算一、向量及其表示的主要内容向量的概念既有大小又有方向的量，称为向量．（1）与起点位置无关而只与大小和方向有关的向量，称为自由向量．（2）向量的大小（或长度），称为向量的模．（3）模为1的向量，称为单位向量．（4）模为0的向量，称为零向量，记作０．（5）与大小相等方向相反的向量称为的负向量，记作．（6）若两向量模相等方向相同, 则与相等．（7）若与方向相同或相反，则称与平行，记作//． 向量的线性运算（1）向量的加法：三角形法则，把向量的起点移到向量的终点，则以的起点为起点b的终点为终点的向量,称为与的和向量，记做.（2）向量的减法：若把两向量与移到同一起点，则从的终点向的终点引向量，即是与的差．（3）向量与数的乘法: 实数与向量的乘积是一个向量，记做, 它的模为：|=||||方向为如下规定：当时，与同向；当时, 与反向；当时, 为零向量．运算性质设为实数⑴ 加法交换律⑵ 加法结合律 ⑶ 数乘结合律()=()=()⑷ 分配律()=, ()=+⑸ 设b是非零向量，则∥b存在唯一实数,使．向量的坐标表示（1）向量的坐标表示式：（2）向量按基本向量的分解式：，，分别称为在轴上的分向量.向量运算的坐标表示（***）设，，则（1）（2）（3）（4）当时，；；（其中为的方向角，方向角余弦的平方和为1）（5）当时，与同向的单位向量为=（6）（其中为向量与轴的夹角）空间中两点之间的距离公式设，为空间中的两点，则点与点之间的距离为二、配套例题1. 判断题（1）与非零向量同向的单位向量只有1个.（2）与非零向量共线的单位向量只有1个.（3）是单位向量；（4）是单位向量；(5) 与三坐标轴的正向夹角相等的向量,其方向角为．解:（1）对.. （2）错.与非零向量共线的单位向量有两个为. (3)错．因为，所以不是单位向量． (4)对．由于，故是单位向量． (5)错．因为任何一个向量的三个方向角应满足关系式，而，事实上，均以作为方向角的向量是根本不存在的．2. 选择题（1）点到轴的距离为( )．A. 　B. C. D. （2）点在第 卦限．A． I B. IV C. V D. VIII（3）设为非零向量，且, 则必有（ ）A.　 B.　C.　 D.　 （4）设向量相平行，但方向相反，则当时，必有（ ）A.　 B.　 C. D. 解:（1）选C．点在轴上的投影为,故点到轴的距离为.(2) 点在第四卦限,答案B正确.(3) 选C. 当为非零向量，且，则以 为两邻边的平行四边形是矩形。

而矩形的两条对角线长度相等，故必有．(4) 选A. 以及为三条边的三角形的边长，必须满足关系式.但是，当互相平行，方向相反，且时，必有．3. 计算题（1） 求关于点（轴,轴,轴,坐标面,坐标面,坐标面）的对称点．解: 设对称点,由中点公式得 ．解得 =-3, =7, =0，即所求点的坐标为．（其他留给同学自己求）（2） 求点与原点及各坐标轴之间的距离．解: 点在轴、轴、轴上的投影分别为、、，故点到各坐标轴的距离分别为 ．（3）求点关于各坐标面、坐标轴、坐标原点的对称点的坐标．分析：关于轴对称的，不变，其他变成相反数关于坐标面对称的，，不变，变相反数，其他类似解: 点关于面的对称点是()；关于面的对称点是();关于面的对称点是()；点关于轴的对称点是()； 关于轴的对称点是()；关于轴的对称点是()；点关于坐标原点的对称点是()．（4） 在平面上，求与三个点，和等距离的点．解: 设所求点为，其坐标为 , 按题意有 ，即 即 亦即 解得 ．故所求点的坐标为．（5）设向量，① 用的模及方向余弦表示；② 求与向量反向平行,且长度为75的向量.解: ① ② 按题意所求向量为，且 ，解得 ，则有向量2.数量积 向量积一、主要内容数量积(1) 称为在上的投影，记作，即（投影是一个数）(2) 称为向量与的数量积(3) 数量积的坐标表达式(4) 两向量夹角余弦的坐标表达式(5) 数量积的性质① ②③,其中为实数④ 向量积(1) 向量积定义 ：若的模为，的方向垂直与所确定的平面，且、、符合右手法则，则称为与的向量积，记作．注：(2)向量积坐标表示 （3）向量积性质① ②③④∥＝０ （）二、配套例题1. 判断题(1) ； (2) ＝０或＝０；(3) 若 则；(4) 若且则；(5) 分析： 这是一组关于向量的各种运算的等式.判定等式是否成立，先要看等式两边是否同时是数量，或同时是向量；其次，若同时是数量，则看数值是否相等，若同时是向量，则判断模是否相等，方向是否相同；若一边是数量，另一边是向量，则显然不相等.解:(1)错．由于左端是向量，右端是数量，故等式不成立．(2)错．因为 故结论不成立．(3)错．两向量与的模相等，但方向不一定相同，故结论不一定成立，， 但.(4)错．由可知，且，此等式成立，当且仅当∥, 而不一定有，如，但.实际上，将的起点移到同一点，只要的终点落在与平行的任一直线上，就有∥,从而，但.(5)错.因为向量不能比较大小，该不等式没有意义.2. 选择题（1）向量与的数量积=（ ）.A. B. C. D. （2）非零向量满足，则有（ ）．A. ∥ B. (为实数) C. D. ．（3）设与为非零向量，则是（ ）．A. ∥的充要条件 B. ⊥的充要条件; C. 的充要条件 D. ∥的必要但不充分的条件．（4）设，则向量在轴上的分向量是（ ）．A. 7 B. 7 C. –1 D. -9解：（1）选C.因为 （2）选C.因为． （3）选A.因为∥. （4）选B.因为.3. 计算题1.设其中且⊥,试问：（1）为何值时，⊥？(2）为何值时，以，为邻边的平行四边形面积为6？解：（1）由 可知当时，亦即⊥． （2）据题意知 + ，解之得 ．2.设，向取何值时，最小？并证明当最小时，．解： 令，而，所以 令得惟一驻点，而，故是的极小值点，且是最小值点因此当时，最小，此时也最小．当时，因为 ，故 ．3．设，求（1）及；（2）夹角的余弦. 解：（1） ， （2）．4．设在下列条件下求的值（1），（2）∥解: （1）要使 ，需 ， 解得 ．（2）要使 ∥，需 ， 解得 ．5．设向量的模为4，与轴的夹角分别为、、，求向量的坐标．解: 6．已知四点、、、，求（1）；（2）与、同时垂直的单位向量.解: 由题意可知 ，(1)， =． （2）取 ，则设为垂直于向量和，从而与、同时垂直的单位向量为7．已知向量和计算（1）； （2）； （3）解:（1）=． （2）． （3）．8．已知，，求的面积．解: 利用向量积的几何意义知,而 ， 故= ．9．求以与为两邻边的平行四边形的面积。

解: 由向量积的几何意义有 =，而，故==．10．已知,且,的夹角为,求.解: 设，=.则，由题意可知 ， = ，即 ，所以 ．3. 平面及其方程一、主要内容 平面方程⑴ 平面的点法式方程 ，其中为平面上一点， 为平面的法向量.⑵ 平面的一般方程 平面与平面的位置关系设平面与平面的法向量分别为，，⑴ ∥∥⑵ ⊥⊥⑶ ，其中为平面与的夹角4.空间直线及其方程一、主要内容空间直线方程⑴ 空间直线的一般方程两平面交线，L的方向向量为.⑵ 空间直线的对称式方程，其中为上一点， 为L的方向向量.⑶ 空间直线的参数式方程，其中是参数.空间两直线间关系两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角.设两直线与的方向向量分别为⑴∥；⑵；⑶（为与的夹角）.⑷ 设，若，则与异面空间直线与平面间的关系直线与它在平面上的投影直线的夹角(),称为直线与平面的夹角.设直线L的方向向量为，平面的法向量为则⑴；（为直线与平面的夹角）⑵ L∥；⑶.二、配套例题1.填空题（1）已知两条直线的方程分别是，则过且平行于的平面方程是 __________.解：（1）取上的点，取.则由点法式可得所求平面方程为．（2）过点且与直线垂直的平面方程是 __________.解：（2）化参数方程为对称方程：，则所求平面的法向量为 ，依点法式得，即．2. 选择题（1）设空间直线的对称式方程为 ，则该直线必（ ）.A．过原点且垂直于轴； B. 过原点且垂直于轴；C. 过原点且垂直于轴； D. 过原点且平行于轴.（2）设空间三直线的方程分别为,,, 则必有（ ）A． ∥ B. ∥ C. D.解：（1）选A.由题设知给定直线的方向向量为 ，轴的方向向量为 ，由，知，即直线垂直于轴.又因给定直线 就是平面与的交线，该直线显然通过原点.综上所述知,所给。