导数的综合应用(A班教师资料).doc
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导数的综合应用（一）【考点透视】1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．题型一：利用导数定义求极限例1．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：（1）； （2）解：（1） （2） 题型二：利用导数几何意义求切线方程例2．已知曲线，曲线，直线与都有相切，求直线的方程解：设直线与的切点分别为，又 或， 的方程为： 或 题型三：利用导数研究函数的 单调性、极值、最值例3、函数的值域是_____________.解答过程：由得，，即函数的定义域为. ， 又， 当时，， 函数在上是增函数，而，的值域是. 例4．已知函数的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数处有极值，求的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围 解：（1）由过的切线方程为： ①②而过故 ∵ ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴ （2）当 又在[－3，1]上最大值是13。
（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0 依题意在[－2，1]上恒有≥0，即 ①当；②当；③当 综上所述，参数b的取值范围是例5．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.[解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.（Ⅱ），令，得.由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论. ①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x0+0-0+↗极大值↘极小值↗因此，函数在处取得极小值，且.要使，必有，可得.由于，故.②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：+0-0+极大值极小值因此，函数处取得极小值，且若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组 或 由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.综上，解得或.所以的取值范围是. 例6：已知(1)当时, 求证在内是减函数;(2)若在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.解: (1) ∵∴∵, ∴又∵二次函数的图象开口向上,∴在内, 故在内是减函数.(2)设极值点为则当时, ∵∴在内 在内即在内是增函数, 在内是减函数.当时在内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 当时, 同理可知, 在内且只有一个极值点, 且是极小值点. 当时, 由(1)知在内没有极值点. 故所求a的取值范围为题型四：导数与解析几何、立体几何的结合例7： 所以如图所示，曲线段OMB是函数的图像，轴于A，曲线段OMB上一点处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q.（1）试用表示切线PQ的方程；（2）设△QAP的面积为，若函数在上单调递减，试求出的最小值；O0OPMBQxyA(6, 0)（3），试求出点P横坐标的取值范围.解：（1）切线PQ的方程 （2）令y=0得 由解得 . 又0
Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设与轴的交点为，证明：①；②若，则解：（1）的导数，由此得切线的方程，（2）依题意，在切线方程中令，得，（ⅰ），∴，当且仅当时取等成立ⅱ）若，则，，且由（ⅰ），所以例11：已知为实数，函数（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围（2）若，（Ⅰ）求函数的单调区间（Ⅱ）证明对任意的，不等式恒成立解：， 函数的图象有与轴平行的切线，有实数解 ，，所以的取值范围是，，，由或；由的单调递增区间是；单调减区间为易知的最大值为，的极小值为，又在上的最大值，最小值对任意，恒有函数在区间内可导，导函数是减函数，且题型七： 数与向量的结合例12：设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使（1）求函数关系式；（2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围解：（1）（2）则在上有由；由因为在t∈上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立故k的取值范围是 。
