文档合辑-人教版高中数学必修五同课异构课件-3.4 基本不等式-八套优质课件.pptx

第1课时 基本不等式3.4基本不等式：一、自主探究，发现新知与该矩形等周长的正方形的边长为 ？与该矩形等面积的正方形的边长为 ？探究结果该不等式称为基本不等式.二、深刻认识，理解新知1.如何理解“基本”呢？对象少； 关系简；应用广.二、深刻认识，理解新知1.如何理解“基本”呢？对象少； 关系简；应用广.二、深刻认识，理解新知3.考虑变形呢？4.再考虑推广呢？探究结果该不等式称为重要不等式. 基本不等式 与 重要不等式 对比：条 件结 论等号成立条件二、深刻认识，理解新知5.从几何角度怎样认识 基本不等式呢？三、解决问题，运用新知问题：一段长为20米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大. 最大面积是多少？12345698765410916 21 24 25 24 猜想：和定相等 积最大结论：积定相等 和最小四、动手实践，深化新知五、归纳总结，概括新知基本不等式应用证明几何解释代数认识1.本节知识结构2.用 基本不等式 能解决简单 的 函数最值 问题. 应注意： 一 正 （条件） 二 定 （前提） 三 相等（保证）积定相等和最小； 和定相等积最大. 课后作业必修5 P.100 练习 14 挑战题不断探究，深入钻研基本不等式能推广吗？基本不等式还有什么用途呢？3.4 基本不等式：第1课时 基本不等式 国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议. 有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举行，它的会标是什么？第24届国际数学家大会 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、几何背景.(重点）2.基本不等式的简单应用.1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？BACDEFGH探究点1 探究基本不等式BACDEFGH则正方形ABCD的面积是_，这4个直角三角形的面积之和是_，设AE=a,BE=b,a2+b22ab提示:当且仅当a=b时，等号成立，提示:一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时，等号成立.3.你能给出它的证明吗？【提升总结】特别地，我们用,分别代替可得4.你能用不等式的性质直接推导吗？通常我们把上式写作证明：要证 只要证要证，只要证要证，只要证显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立. 基本不等式：注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号. 【提升总结】DABCE如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,则CD=,半径为.CD小于或等于圆的半径.用不等式表示为上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.几何意义：半径不小于半弦.可以叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数. 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式和定积最大【即时练习】例 已知 a0,b0,a+b=1, 求证：分析：由于不等式左边含字母a,b，右边无字母，直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实现“1”的代换？探究点2 利用基本不等式证明简单的不等式当且仅当 时取等号.【变式练习】由公式 可以引申出的常用结论：【提升总结】和定积最大等号取不到B3.若ab0,则下列不等式中总成立的是( )C3.若ab0,则下列不等式中总成立的是( )C证明：因为a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42c2a2，所以2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)，即a4b4c4a2b2b2c2c2a2，又a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc，所以2(a2b2b2c2c2a2)2(ab2cabc2a2bc)，即a2b2b2c2c2a2ab2cabc2a2bcabc(abc)所以a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc)5.求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc)1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式基本不等式 “a=b”时取“=” “a=b”时取“=”在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。

郁达夫1. 掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理.了解它的变式：(1)a2+b22ab(a，bR)； (2) (a，bR+)；(3) (ab0)； (4) (a，bR).以上各式当且仅当ab时取等号，并注意各式中字母的取值要求. 2.理解四个“平均数”的大小关系；a，bR+，则 其中当且仅当ab时取等号.复习: 变式 x 0 , 所以 当且仅当 时, 即x =1时取等号, 所以当 x =1时, 的值最小, 最小值为2. 练习 1. x0 , 当 x 取什么值时, 的值最小?最小值是多少?解: 因为 x 0. 当且仅当 时, 即 x = - 1时取等号, 所以当 x = - 1时, 的值最大, 最大值为 - 2. 变式 x 0 , 当 x 取什么值时, 的值最大? 最大值是多少?已知x,y都是正数, 求证:(1)如果积 xy 是定值P,那么当x =y时,和 x+y有最小值(2)如果和 x+y是定值S,那么当x =y时,积 xy 有最大值证明:x, y都是正数, (1)积xy为定值P时, 有上式当x=y时取”=”号, 因此,当x=y时,和x+y有最小值(2)和x+y为定值S时, 有上式当x=y时取”=”号, 因此,当x=y时,积xy有最大值极值定理:注意：用均值不等式求最值的条件: 一正二定三相等用均值不等式求最值的规则: 和定积最大,积定和最小例1:解:如果给定条件为X4结论有变化吗?等号成立，C,E练习:极值定理可以理解为:用极值定理求最值的三个必要条件 :一“正”、二“定”、三“相等”解:例2:练习1:解:练习2:解4ab9练习3:D例3:解:练习3:一段长为lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?解:练习4:证明一练习:证明二练习:证明三算术平均数与几何平均数 n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 如:解:(错解:原因是取不到等号)正解:第2课时 基本不等式的应用 张先生打算建造一个面积为6 000平方米的矩形饲养场，进行猪养殖，现在需要进行周边院墙的建设，经过计算，他的儿子说建成正方形的院墙最省，而他认为建成长300米、宽200米的矩形的院墙最省，你认为谁说的对？要解决这个问题，可用基本不等式来解决，这一节我们就学习基本不等式的有关应用. 1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题.（重点）2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式.（重点）3.会求给定条件的最值问题.分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.例1 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？探究点1 基本不等式在求最值中的应用解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m. 结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.当xy的值是常数 时，当且仅当x=y时，x+y有最小值【提升总结】分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy m2.即求xy的最大值.例1 (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？解析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2(x + y)= 36, x+ y=18，矩形菜园的面积为xy m2 .当且仅当x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2 .结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值【提升总结】注意：各项皆为正数； 和为定值或积为定值； 注意等号成立的条件.一“正”，二“定”，三“等”.最值定理结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.【变式练习】例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4 800 m3,深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析：水池呈长方体形，高为3 m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.由容积为4 800 m3 ，可得3xy=4 800,因此xy=1 600.由基本不等式与不等式的性质，可得解：设底面的长为x m，宽为y m,水池总造价为z元，根据题意，有 所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.【变式练习】C1.化正型探究点2 基本不等式在求最大、最小值中的应用 特别提醒： 如果所求因式都是负数，通常采用添负号变为正数的处理方法.关注因式是负数解: 因为 x 0. 当且仅当 时, 即 x = - 1时取等号, 所以当 x = - 1时, 的值最大, 最大值为 - 2. x 0,y0,且2x+y=1,求 的最小值.3.整体代换型这个解法正确吗？ 不正确. 过程中两次运用了基本不等式中取“=”过渡，而这两次取“=”的条件是不同的，故结果错误.分析：本题给定约束条件，来求注意到故可以采用对目标函数乘“1”构造使用基本不等式的条件.的最小值, 不正确. 过程中两次运用了基本不等式中取“=”过渡，而这两次取“=”的条件是不同的，故结果错误.分析：本题给定约束条件，来求注意到故可以采用对目标函数乘“1”构造使用基本不等式的条件.的最小值, 对于给定条件求最值的问题，常可采用乘“1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件.【提升总结】【变式练习】范围是（ ）D1.（20KK福建高考）若ABCDC4把握基本不等式成立的三个条件：1.不具备“正值”条件时，需将其转化为正值.2.不具备“定值”条件时，需构造定值条件.（构造：互为相反数、互为倒数）3.不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域.预备十二分的力量，才能希望有十分的成功。

张太雷 3.4基本不等式： 第1课时基本不等式【知识提炼】重要不等式与基本不等式a=b几何平均数算术平均数2ab【即时小测】1.思考下列问题(1)基本不等式中的a，b可以是代数式吗？提示：可以，但代数式的值必须是正数，否则不成立.(2) 与 是等价的吗？提示：不等价，前者条件是a0，b0，后者是a，bR.2.下列不等式正确的是()【解析】选C.因为a2+ 中a20，所以 即 所以a2+ 2，故选C.3.下列不等式中，对任意实数x都成立的是()A.lg(x2+1)lgxB.x2+12xC. 1D.logax+logxa2【解析】选C.A中，x0时不成立；在B中，x=1时不成立；对于D，当logax0，b0)：a2+12a； 2；ab ； 其中正确的有_.【解析】a2+1=a2+122a，故错；由 2，可得a+b2 ，显然错误；ab 2aba2+b2，正确； 2aba2+b2，正确.答案：【知识探究】知识点 基本不等式观察如图所示的内容，回答下列问题：问题1：基本不等式中对于a，b有何限定条件？问题2：如何用几何法推导出基本不等式？【总结提升】对基本不等式的理解(1)对于条件的理解a，b必须为正数.当a=b且只有在这唯一的条件下等号才成立.(2)几何解释以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB。