中考数学二轮培优专题12 半角模型（解析版）.doc

专题12 半角模型半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题基本模型：1）90°的半角模型（常考）已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：①EF=BE+DF ②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE ③C∆CEF=2倍正方形边长④S∆ABE +S∆ADF =S∆AEF ⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G） ⑥OP2=OB2+OD2 ⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA ⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形 (11) EF=OP (12) S∆AEF=2S∆APO (13)AB2=BP×OD(14)CE•CF=2BE•DF (15) ∆EPC为等腰三角形(16) PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)证明：①思路：延长CD到点M，使DM=BE，连接AM 先根据已知条件∆ABE ≌ ∆ADM (SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM 而∠BAE+∠FAD =45°，所以∠DAM+∠FAD =45°，可证明∆AEF ≌ ∆AMF (SAS)，由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF②思路：∵∆AEF ≌ ∆AMF (SAS) ∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF ∴AF平分∠DFE 又∵∠AMF=∠AEB ∴∠AEB=∠AEF ∴AE平分∠BEF③思路：C∆CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+ EC）+（DF+ FC）=BC+DC=2BC④、⑤思路：过点A作AG⊥EF，垂足为点G 根据②证明过程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG 因此可以证明: ∆ABE ≌ ∆AGE (AAS), ∆AGF ≌ ∆ADF(AAS) 所以AB=AG=AD，S∆ABE =S∆AGE，S∆AGF =S∆ADF 则S∆AEF= S∆AGE+ S∆AGF= S∆ABE + S∆ADF⑥思路：绕点A将∆APD逆时针旋转90°得到∆ANB ,使AD，AB重合 因为∆APD ≌ ∆ANB (AAS) 所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN因为∠ADB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90°因为∠BAE+∠PAD=45° 所以∠NAB+∠BAE=45° 则∆ANO ≌ ∆APO (SAS) 所以NO=OP 在Rt∆NBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2 ，则OP2=OB2+OD2 ⑦思路：已知tan∠EAB=∠EAB+∠FAD=45° ∴tan∠FAD，∴DF:AD=1:3，即点F为CD的三等分点。

⑧思路：假设∠AEF的度数为α，∠AFE的度数为β在右图中已知表示45°角，表示角的度数为α，表示角的度数为β所以∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA⑨、⑩思路：1）∵∠EAP=∠EBO=45°，∴ABEP四点共圆 ∵∠EBA =90°，∴AE为直径，∴∠APE=90° 则AP⊥PE ∴∠AEP=180°-∠APE-∠EAP=45° ∴∆APE为等腰直角三角形 2）同理AOFD四点共圆， ∵∠ADF =90°，∴AF为直径，∴∠AOF=90° 则AO⊥OF ∴∠AFO=180°-∠AOF-∠OAF=45° ∴∆AOF为等腰直角三角形 3)∵∠EOF=∠EPF= ∠ECF =90°，∴OECFP五点共圆(11) 思路：∵∆APO∽∆AEF ∴ ,假设AP长为1，则AE=,∴EF=OP(12) 思路：∆APO∽∆AEF 相似比为，则面积的比为 ，S∆AEF=2S∆APO(13) 思路：∵∆ABP∽∆ODA ∴ ,∴AB×AD=BP×OD 则AB2=BP×OD(14) 思路：假设正方形的边长为m，BE长为a，DF长为b，则EF长为a+b根据勾股定理可得EC2+FC2=EF2 ,则(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2 化简得(m-a)(m-b)=2ab 所以CE•CF=2BE•DF (15) 思路：根据⑩证明过程可知∆APE为等腰直角三角形，所以AP=PE 再证明∆ADP ≌ ∆CDP (SAS)，所以AP=PC，则PE=PC 所以∆EPC为等腰三角形 (16) 思路：过点E作EX⊥BD，垂足为点X, 过点A作AY⊥BD，垂足为点Y，连接PE先证明∆APY ≌ ∆PEX (AAS) (“一线三垂直模型”)，所以AY=PX∵AY= ,∴PX= 所以BX+DP= PX=2）120°半角模型模型一：已知∆ABC为等边三角形，DB=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，则MN=BM+NC证明(思路)：延长AC至点E，使CE=BM连接DE 先证明∆MBD ≌ ∆ECD (SAS)，所以DM=DE，BM=CE，∠BDM=∠CDE ∵∠BDC=120°，∠MDN=60 ∴∠BDM+∠CDN=60° ∴∠CDE +∠CDN=60°则∠EDN=60°再证明∆DNM ≌ ∆DNE (SAS) ∴MN=NE 而NE=NC+CE 所以MN= NC+MB模型二：已知∆ABC为等边三角形，DB=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，则MN=NC-BM证明(思路)：线段AC取一点E，使CE=BM连接DE、MN 先证明∆MBD ≌ ∆ECD (SAS)，所以DM=DE，∠BDM=∠CDE ∵∠BDC=120°，∠MDN=60 ∴∠BDN+∠CDE=60° ∴∠EDN=120°-∠BDN-∠CDE=60°再证明∆NBD ≌ ∆NED (SAS) ∴MN=NE 而NE=NC-CE 所以MN= NC-MB3）135°半角模型在Rt∆ABC中，点E、点D分别为AB、AC边上动点，四边形AEFD是正方形，且∠BFC=135°，则CB=CD+BE证明(思路)：延长DA至点M，使DM=BE，连接FM 先证明∆FDM ≌ ∆FEB(SAS)，所以BF=FM，∠DFM=∠2 ∵∠1+∠2=360°-90°-135°=135°∴∠1+∠DFM =135°则∠CFM=∠CFB 再证明∆CMF ≌ ∆CBF(SAS), ∴MC=BC 则CB=CD+BE【提高测试】1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．【详解】解：如图，将关于AE对称得到，则，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即与的面积之和为21，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．2．（2022·安徽·校联考一模）如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】运用正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质综合推理判断．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠BAD=90°，∵∠PAQ＝45°，∴∠BAP+∠QAD =45°，∵BM是正方形的外角的平分线，∴∠MBC=135°，∴∠BAP+∠APB=45°，∴∠QAD＝∠APB，∴②正确；∵BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，∴∠ABP=∠QDA=135°，∵∠QAD＝∠APB，∴△ABP∽△QDA，∴BP：DA=BA：DQ，∴BP•DQ＝，∴①错误；∵△ABP∽△QDA，∴BP：DA=BA：DQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∴BP：BC=DC：DQ，∵BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，∴∠PBC=∠QDC=45°，∴△BPC∽△DCQ，∴∠BCP=∠DQC，∴∠PCQ=360°-∠BCD-∠BCP-∠DCQ=270°-（∠DQC+∠DCQ）=270°-（180°-∠CDQ）=135°.∴③正确；如图，将△AQD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接PF．则△ABF≌△ADQ．∴∠1=∠3，AF=AQ，BF=DQ，∠AFB=∠AQD．∴∠PAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠PAQ=45°．∴∠PAF=∠PAQ．又∵AP=AP，∴△APF≌△APQ．∴PF=PQ．∵∠PBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AQD+∠3）+45°=90°．∴在Rt△BPF中，，∴．∴④正确；故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质．熟练掌握上述性质，灵活运用旋转构图求解是解题的关键.3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④【答案】C【分析】利用旋转性质可得△ABF≌△ACD，根据全等三角形的性质一一判断即可．【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确无法判断BE＝CD，故①错误，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）如图，点M。